数学基础（五）－－群、环、域

上一节后面提到几个关于元素阶的定理，为什么要强调元素的阶呢？因为由元素的阶可以产生所谓的离散对数问题（简称DLP），而DLP是密码学的数学基础之一。

先回顾一下对数的概念，如果a的n次方等于b，那么称n是以a为底b的对数，给出a、b，要求n的值，就称为求解对数问题，简称对数问题。那群中的对数问题又是什么？

前面已知，有限群中任意一个元素的阶都存在，并且元素的阶整除于群中元素的个数（即有限群的阶）。
如果群中存在一个特殊的元素（假设记为a），满足：a的阶正好等于群的阶，则称此群为循环群，相应称a为循环群的生成元。

生成元有什么用？设|a|=n=|G|，则可以证明，集合{1(单位元)、a1、a2、an-1}恰好等于集合G。如果我们定义a0=1，则
生成元从0、1、2……n-1一直取幂，最终将得到（或生成）群中的所有元素。这也是称之为生成元的理由。
很容易验证，Zn关于+运算是一个循环群，生成元就是[1]。

现在可以回答循环群的对数问题了，对于循环群G，给出任意元素b和生成元a，求解满足ak=b的正整数k
这一问题就称为此循环群上的DLP，相应地，称k为b关于a的离散对数

对于某些特定的循环群，求解其上的DLP十分简单，比如对于群(Zn,+)，任意元素[k]关于循环元[1]的DLP求解就很简单，其离散对数就是k本身。
对于另外一些特殊的循环群，求解DLP则变得十分困难，后面即将碰到有限域，其上的DLP求解就是个例子。

在讨论另一个代数概念--环--之前，我们先放松下，再来研究研究老朋友Zn。
已知，Zn关于运算+构成一个（循环）（交换）群，我们再在Zn的元素之间定义一个新的运算法则*(通常称为乘法运算)如下：
[i]*[j]≡[i*j]，其中i、j为等价类的代表元素

定理：Zn上的乘法运算*结果是唯一的，即*是等价类之间的一个代数运算
证明：设A、B是Zn的等价类，i、j是A的代表元素，s、t是B的代表元素，故i～j，s～t
根据～的定义，i=j+k*n，s=t+l*n（其中k、l∈Z），两式左右分别相乘，得
i*s=j*t+p*n，其中p∈Z，根据定义，i*s～j*t，即[i*s]=[j*t]，这说明[i]*[s]=[j]*[t]

*运算满足以下性质：
1、对于元素A,B,C∈Zn，有(A*B)*C=A*(B*C)，即运算*满足结合律
证明：分别取A、B、C的代表元a、b、c，则A*(B*C)=[a]*([b]*[c])=[a]*[b*c]=[a*b*c]
　　　同理(A*B)*C=([a]*[b])*[c]=[a*b]*[c]=[a*b*c]，左右两边相等，得证

2、[1]是Zn中（关于乘法）的单位元，即满足：[1]*A=A*[1]=A，其中A为Zn中任意元素

现在我们把Zn上的加法+和乘法*运算一并考虑，发现满足左、右分配律：
对任何A,B,C∈Zn，满足A*(B+C)=(A*B)+(A*C)，(B+C)*A=(B*A)+(C*A)
证明：A*(B+C)=[a]*([b]+[c])=[a]*[b+c]=[a*(b+c)]=[a*b+a*c]=[a*b]+[a*c]=[a]*[b]+[a]*[c]=A*B+A*C
同理可证另一个分配律成立

下面正式给出环的定义
[环]：R是一个关于+（称为加法运算）的交换群，同时R上还存在另一个称为乘法的代数运算（用*表示），并且满足下列条件，则称R为一个环
1、乘法*满足结合律：即对任何a、b、c∈R，有a*(b*c)=(a*b)*c
2、加法+和乘法*满足左、右分配律. 即对任何a、b、c∈R，满足a*(b+c)=(a*b)+(a*c)，(b+c)*a=(b*a)+(c*a)
说明：
1、我们完全可以把+称为乘法运算，把*称为加法运算，或者把+换为*，把*换成+，只是为了区分这2个代数运算。你现在能深深体会到，符号不重要，重要的是要表示的内容。
2、括号是为了强调先进行其中的运算，如果我们人为对*赋予比+更高的运算优先级，就可以去掉部分括号，变为：a*(b+c)=a*b+a*c，(b+c)*a=b*a+c*a
3、当我们进行环的乘法运算时，其代表符号*常省略不用，即我们直接用ab来表示a*b，这样可以更省一步，记为：a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca，a(bc)=(ab)c

根据环的定义和上面已经证明的定理，可知Zn关于+、*构成环。

[交换环]：环R若满足乘法交换律（即对运算*是可交换的），则称R为交换环。
[含厶环]：环R如果关于乘法*存在单位元，则称R为含厶环。

环Zn是交换环，也是含厶环。

对于环而言，加法单位元可以不等于乘法单位元。比如环Zn就是如此。

加法和乘法通过分配律纠缠到一起后，就产生了一些奇特的性质。

定理：环的加法单位元e乘以任何元素(无论是左乘还是右乘)都等于加法单位元自身
证明：任取a∈环R，根据加法单位元的性质，e+a*e=a*e=a*(e+e)=a*e+a*e，两边消去a*e，得a*e=e
同理，e+e*a=e*a=(e+e)*a=e*a+e*a，两边消去e*a，得e*a=e。
从这个意义上来说，加法单位元很像数字0(0乘以任何数都等于0)，所以又称为乘法零元，并经常用符号0来表示。

根据环的定义，环对于加法运算要求较高，必须构成加法交换群，但对于乘法运算没有这个要求，比如说不一定要构成乘法群
对于Zn中的乘法，已知其满足群的四条性质中的三条（运算封闭、满足结合律、存在单位元），甚至还满足乘法交换律
我们自然会想，是否存在逆元，即对于任意元素A∈Zn，是否存在元素B∈Zn，满足：A*B=[1]=B*A（如果满足的话就构成群）

遗憾的是，这一结论并不成立，[0]就没有乘法逆元。我们注意到，[0]是加法的单位元，因而也是乘法零元
定理：Zn的乘法零元[0]无逆元
反证：设[0]存在逆元[x]，[1]是Zn的乘法单位元，则[0]*[x]=[1]，因而[0]=[1]，矛盾。

只好把[0]排除掉，我们自然进一步会问：Zn中排除[0]后剩下的元素，是否都有逆元？
遗憾的是，这一结论仍不能普遍成立，举个反例，设n=6，取A=[4]，则Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}中
任何一个元素与A相乘(即进行*运算)，都不会等于[1]，从而A不存在逆元。读者可以手工一一验证。

尽管如此，我们发现，将条件适当放宽，仍可以使Zn中的部分元素关于乘法运算*构成群。
下面先给出定义：
Zn*≡{[k]|(k,n)=1}
说明
1、符号(,)表示两个数的最大公因子（也称最大公约数）。此定义中，(k,n)=1表示k与n互素，换言之，k与n没有大于1的公因子
2、可以证明，只要等价类中的任意一个元素与n互素，则该等价类中的任意元素都与n互素，因而代表元素的选择无关紧要
举例：Z6*={[1],[5]}，Z7*={[1],[2],[3],[4],[5],[6]}。Zn*是Zn的子集。

定理：Zn*关于*运算构成群--通常称为乘法群。
证明：根据群的定义，我们需要证明以下几个性质
1、Zn*元素对于运算*封闭的，即对任意[a]、[b]∈Zn*，满足[a*b]∈Zn*
　 直接验证，(a,n)=1且(b,n)=1，则由初等数论，可知(a*b,n)=1，即[a*b]∈Zn*
2、对于运算*是可结合的。
　 自然满足，见上面说明
3、Zn*中存在单位元。
　 单位元就是[1]
4、对于任意[a]∈Zn*，存在X∈Zn*，满足[a]*X=[1]=X*[a]
　 (a,n)=1，由初等数论，存在整数r,s，满足r*a+s*n=1并且(r,n)=1，从而[r*a+s*n]=[1]
　 左边=[r*a]+[s*n]=[r]*[a]+[s]*[n]=[r]*[a]+[s]*[0]=[r]*[a]+[0]=[r]*[a]，X=[r]就是[a]的逆元

如果n=素数p，则Zp*=Zp-{[0]}，即Zp除去[0]后的所有元素都可逆。

[域]：一个具有乘法单位元的交换环R，若至少含有一个非零元，并且每个非零元a都可逆，则称R为一个域。
换言之，乘法交换环R中除去乘法零元，剩下的元素关于乘法构成一个交换群，则称R为域。

[有限域]：元素个数有限的域，称为有限域。

对于素数p，Zp={[0],[1],[2]……[p-1]}是有限域。

定理：有限域的乘法群是一个循环群。

对于素数p，Zp*={[1],[2]……[p-1]}是循环群。
事实上，这里的素数p，可以放宽到p的幂，我们就不再深究。

前面我们已讨论在Zn中引入+运算后，等价类代表元素的选择，现在又引入*运算，代表元素的选择是否与原来的方案相容呢？
继续按照以前的思路，[i]*[j]≡[i*j]——i,j仍然限制在0,n-1之间
现在要计算i*j，仍将i*j除以n，得到余数r，r就是经过乘法运算后的等价类代表元素，证明如下
设i*j=k*n+r，则i*j-r=k*n，由定义，i*j～r，从而[i*j]=[r]，

计算两个等价类的乘积，并得到对应的代表元素如下
设等价类的代表元素分别为a、c，且b、d分别是a、c模n的余数，则[a]=[b]，[c]=[d]，[a*c]=[a]*[c]=[b]*[d]=[b*d]=[(b*d)(mod n)]
换言之，求两个整数之积的模n的余数，可以先分别计算这两个整数模n的余数，然后把两个余数相乘，再对积取余数，就得到想要的结果。