线性代数笔记16. 矩阵对角化-相似矩阵

16.矩阵对角化-相似矩阵

16.1 相似矩阵

16.1.1 相似矩阵的定义

设存在n阶矩阵A、B，且存在可逆矩阵P，使：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& P\cdot A\cdot P^{-1}=B\end{array}$$

则称$\mathrm{矩}\mathrm{阵}B\mathrm{是}A\mathrm{的}\mathrm{相}\mathrm{似}\mathrm{矩}\mathrm{阵}$，或$\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{与}\mathrm{矩}\mathrm{阵}B\mathrm{相}\mathrm{似}$。

称$P$为$\mathrm{相}\mathrm{似}\mathrm{变}\mathrm{换}\mathrm{矩}\mathrm{阵}$

称$P\cdot A\cdot P^{-1}$为对矩阵A进行的$\mathrm{相}\mathrm{似}\mathrm{变}\mathrm{换}$。

16.1.2 相关定理：矩阵A与B相似 $\Rightarrow$ 矩阵A与B的特征值相同

证明过程如下：

$$\mathrm{设}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{相}\mathrm{似}\mathrm{变}\mathrm{换}\mathrm{矩}\mathrm{阵}P，\mathrm{则}\mathrm{由}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{与}B\mathrm{相}\mathrm{似}\mathrm{可}\mathrm{得}：$$

$$P\cdot A\cdot P^{-1}=B$$

$$\Rightarrow |P\cdot A\cdot P^{-1}-\lambda \cdot E|=|B-\lambda \cdot E|$$

$$\mathrm{由}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{可}\mathrm{逆}\mathrm{的}\mathrm{性}\mathrm{质}\mathrm{得}：$$

$$|P\cdot A\cdot P^{-1}-\lambda \cdot P\cdot E\cdot P^{-1}|=|B-\lambda \cdot E|$$

$$|P\cdot P^{-1}\cdot (A-\lambda \cdot E)|=|B-\lambda \cdot E|$$

$$\mathrm{由}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{式}\mathrm{相}\mathrm{关}\mathrm{性}\mathrm{质}\mathrm{得}：$$

$$|P\cdot P^{-1}|\cdot |(A-\lambda \cdot E)|=|B-\lambda \cdot E|$$

$$\mathrm{则}\mathrm{有}：|(A-\lambda \cdot E)|=|(B-\lambda \cdot E)|$$

$$\mathrm{故}：\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{与}B\mathrm{相}\mathrm{似}\Rightarrow \mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{与}B\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{值}\mathrm{相}\mathrm{同}$$

16.2 矩阵对角化

16.2.1 矩阵对角化的定义

设存在n阶矩阵A、相似变换矩阵P、n阶对角矩阵$\mathrm{\Lambda }$，若对矩阵A进行相似变换，使矩阵A与矩阵$\mathrm{\Lambda }$相似，则称矩阵A可对角化为矩阵$\mathrm{\Lambda }$，即：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& P\cdot A\cdot P^{-1}=\mathrm{\Lambda }\end{array}$$

16.2.2 矩阵对角化定理1：n阶矩阵A的特征值各不相等$\Rightarrow$ n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量$\iff$（n阶矩阵A能进行对角化$\wedge$矩阵P可逆）

由特征值/特征向量的【性质6】可得：n阶矩阵A的特征值各不相等 $\Rightarrow$ n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。

下面证明：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量$\iff$（n阶矩阵A能进行对角化$\wedge$矩阵P可逆）

$$$$

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$$\mathrm{设}\mathrm{存}\mathrm{在}n\mathrm{阶}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A、\mathrm{相}\mathrm{似}\mathrm{变}\mathrm{换}\mathrm{矩}\mathrm{阵}P（P\mathrm{可}\mathrm{逆}）、n\mathrm{阶}\mathrm{对}\mathrm{角}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{\Lambda }，\mathrm{则}：$$

$$A\mathrm{能}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{对}\mathrm{角}\mathrm{化}\iff P\cdot A\cdot P^{-1}=\mathrm{\Lambda }$$

$$\mathrm{由}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{可}\mathrm{逆}\mathrm{的}\mathrm{性}\mathrm{质}，\mathrm{得}：$$

$$P\cdot A=P\cdot \mathrm{\Lambda }$$

$$\mathrm{即}：A\cdot \left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ ...\\ p_n\end{array}\right]=\mathrm{\Lambda }\cdot \left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ ...\\ p_n\end{array}\right]$$

$$A\cdot \left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ ...\\ p_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\lambda }_{11}\\ & {\lambda }_{22}\\ & & {\lambda }_{33}\\ & & & {\lambda }_{44}\\ & & & & ...\\ & & & & & {\lambda }_{nn}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ ...\\ p_n\end{array}\right]$$

$$A\cdot \left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ ...\\ p_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ ...\\ p_n\end{array}\right]\cdot {\lambda }_{ii}(i=1,2,3,...,n)$$

$$\mathrm{由}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{值}/\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{相}\mathrm{关}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{可}\mathrm{得}：$$

$$\mathrm{上}\mathrm{式}\mathrm{中}，P\mathrm{即}\mathrm{为}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{向}\mathrm{量}，\mathrm{而}{\lambda }_{ii}\mathrm{即}\mathrm{为}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{值}。$$

$$\mathrm{由}\mathrm{上}\mathrm{可}\mathrm{得}：n\mathrm{阶}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{有}n\mathrm{个}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{无}\mathrm{关}\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{向}\mathrm{量}\Rightarrow （n\mathrm{阶}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{能}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{对}\mathrm{角}\mathrm{化}\wedge \mathrm{矩}\mathrm{阵}P\mathrm{可}\mathrm{逆}）$$

$$\mathrm{反}\mathrm{之}，\mathrm{若}\mathrm{相}\mathrm{似}\mathrm{变}\mathrm{换}\mathrm{矩}\mathrm{阵}P\mathrm{可}\mathrm{逆}，\mathrm{则}\mathrm{有}：（n\mathrm{阶}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{能}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{对}\mathrm{角}\mathrm{化}\wedge \mathrm{矩}\mathrm{阵}P\mathrm{可}\mathrm{逆}）\Rightarrow n\mathrm{阶}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{有}n\mathrm{个}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{无}\mathrm{关}\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{向}\mathrm{量}$$

$$\mathrm{即}：n\mathrm{阶}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{有}n\mathrm{个}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{无}\mathrm{关}\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{向}\mathrm{量}\iff （n\mathrm{阶}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{能}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{对}\mathrm{角}\mathrm{化}\wedge \mathrm{矩}\mathrm{阵}P\mathrm{可}\mathrm{逆}）$$

16.2.3 矩阵对角化定理2：设存在对称矩阵A，且A具有两个特征值${\lambda }_1、{\lambda }_2$，两个特征向量$p_1、p_2$，则有：${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\Rightarrow [p_1,p_2]=0$

16.2.4 矩阵对角化求解示例

设存在以下对称矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$$

若存在对角矩阵$\mathrm{\Lambda }$、正交阵$P$，使：$P\cdot A\cdot P^{-1}=\mathrm{\Lambda }$

求此对角矩阵$\mathrm{\Lambda }$、正交阵$P$。

求解过程如下：

$$\mathrm{设}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{值}\mathrm{为}\lambda ，\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{为}x$$

$$\mathrm{则}\mathrm{有}：|A-\lambda \cdot E|=$$

$$\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & -1& 1\\ -1& -\lambda & 1\\ 1& 1& -\lambda \end{array}\right|\stackrel{r_1-r_2}{⟹}\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & \lambda -1& 0\\ -1& -\lambda & 1\\ 1& 1& -\lambda \end{array}\right|\stackrel{c_2+c_1}{⟹}\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 0& 0\\ -1& -(\lambda +1)& 1\\ 1& 2& -\lambda \end{array}\right|=0$$

$$\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{式}\mathrm{按}\mathrm{第}1\mathrm{行}\mathrm{展}\mathrm{开}\mathrm{有}：$$

$$(1-\lambda )\cdot [\lambda \cdot (\lambda +1)-2]$$

$$=(1-\lambda )\cdot [{\lambda }^2+\lambda -2]$$

$$=(1-\lambda )\cdot (\lambda -1)(\lambda +2)$$

$$\mathrm{解}\mathrm{得}：{\lambda }_1={\lambda }_2=1，{\lambda }_3=-2$$

$$\mathrm{①}\mathrm{对}\mathrm{于}{\lambda }_1={\lambda }_2=1，\mathrm{有}：$$

$$(A-\lambda \cdot E)=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right]$$

$$\mathrm{对}\mathrm{上}\mathrm{式}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}，\mathrm{有}：$$

$$(A-\lambda \cdot E)=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right]\stackrel{r_1-r_2}{⟹}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right]\stackrel{r_1\leftrightarrow r_3}{⟹}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& -1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\stackrel{r_2+r_1}{⟹}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$\mathrm{则}\mathrm{有}：(A-\lambda \cdot E)\cdot x=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$$

$$\mathrm{由}\mathrm{上}\mathrm{式}\mathrm{得}：x_1+x_2-x_3=0$$

$$\mathrm{则}\mathrm{有}：{\lambda }_1\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{的}\mathrm{基}\mathrm{础}\mathrm{解}\mathrm{系}{\xi }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]\cdot k(k\in R,k\ne 0)$$

$${\lambda }_2\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{的}\mathrm{基}\mathrm{础}\mathrm{解}\mathrm{系}{\xi }_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\cdot k(k\in R,k\ne 0)$$

$$\mathrm{将}{\xi }_1、{\xi }_2\mathrm{正}\mathrm{交}\mathrm{化}\mathrm{为}{\eta }_1、{\eta }_2，\mathrm{则}\mathrm{有}：$$

$${\eta }_1={\xi }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]$$

$${\eta }_2={\xi }_2-{\eta }_1\cdot \frac{[{\eta }_1,{\xi }_2]}{[{\eta }_1,{\eta }_1]}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]+\frac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$$

$$\mathrm{将}{\eta }_1、{\eta }_2\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{化}\mathrm{为}{p}_1、p_2，\mathrm{则}\mathrm{有}：$$

$$p_1=\frac{{\eta }_1}{||{\eta }_1||}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]$$

$$p_2=\frac{{\eta }_2}{||{\eta }_2||}=\frac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]\cdot \frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$$

$$\mathrm{②}\mathrm{对}\mathrm{于}{\lambda }_3=-2，\mathrm{有}：$$

$$(A-\lambda \cdot E)=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$$

$$\mathrm{对}\mathrm{上}\mathrm{式}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}，\mathrm{有}：$$

$$\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]\stackrel{r_1+r_2}{⟹}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ -1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]\stackrel{r_1-r_3}{⟹}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]\stackrel{r_3+r_2}{⟹}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -1& 2& 1\\ 0& 3& 3\end{array}\right]\stackrel{r_1\leftrightarrow r_3}{⟹}\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ -1& 2& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\stackrel{r_2-\frac{2}{3}{r}_1}{⟹}\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ -1& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$\stackrel{\frac{1}{3}{r}_1}{⟹}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\stackrel{-1r_2}{⟹}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$\mathrm{则}：(A-\lambda \cdot E)\cdot x=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$$

$$\mathrm{由}\mathrm{上}\mathrm{式}\mathrm{得}：\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3=0\\ x_1+x_3=0\end{array}$$

$$\mathrm{则}{\lambda }_3\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{的}\mathrm{基}\mathrm{础}\mathrm{解}\mathrm{系}{\xi }_3\mathrm{可}\mathrm{为}：{\xi }_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$$

$$\mathrm{将}{\xi }_3\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{化}\mathrm{为}{p}_3，\mathrm{有}：$$

$$p_3=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$$

$$\mathrm{由}\mathrm{①}\mathrm{②}\mathrm{中}\mathrm{求}\mathrm{解}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{的}{p}_1，p_2，p_3\mathrm{可}\mathrm{得}：$$

$$\mathrm{正}\mathrm{交}\mathrm{阵}P=(p_1,p_2,p_3)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{6}}{6}& -\frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{6}}{6}& -\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 0& \frac{\sqrt{6}}{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]$$

$$\mathrm{由}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{对}\mathrm{角}\mathrm{化}\mathrm{定}\mathrm{理}1\mathrm{有}：A\cdot P=\mathrm{\Lambda }\cdot P，\mathrm{且}\mathrm{\Lambda }\mathrm{为}A\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{向}\mathrm{量}$$

$$\mathrm{则}\mathrm{有}：\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$$

$${\eta }_2=\frac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$$