线性代数笔记14.施密特正交化

14.施密特正交化

14.1 规范正交化

14.1.1 规范正交化的定义

$$\mathrm{设}：\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{空}\mathrm{间}V(V\subset R^n)$$

$$n\mathrm{维}\mathrm{向}\mathrm{量}A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)\mathrm{是}V\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{基}$$

$$\mathrm{若}：V\mathrm{中}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{规}\mathrm{范}\mathrm{正}\mathrm{交}\mathrm{基}E=(e_1,e_2,e_3...,e_n)，\mathrm{使}A\mathrm{与}E\mathrm{等}\mathrm{价}$$

$$\mathrm{则}：\mathrm{称}A\mathrm{可}\mathbf{\text{规范正交化}}\mathrm{为}E$$

14.1.2 规范正交化的过程

设：存在向量空间$V(V\subset R^n)$

n维向量$A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$是V中的一个基

n维向量$B=(b_1,b_2,b_3,...,b_n)$是$V$中的一个基，$B$中元素两两正交，且$A$等价于$B$

n维向量$E=(e_1,e_2,e_3,...e_n)$是n维向量$B$单位化以后得到的规范正交基

则B与A满足以下关系：

$$b_1=a_1，b_2=a_2-b_1\cdot \frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}$$

$$b_3=a_3-b_1\cdot \frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]}-b_2\cdot \frac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]}$$

$$......$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& b_n=a_n-b_1\cdot \frac{[b_1,a_n]}{[b_1,b_1]}-b_2\cdot \frac{[b_2,a_n]}{[b_2,b_2]}-...b_{n-1}\cdot \frac{[b_{n-1},a_n]}{[b_{n-1},b_{n-1}]}\end{array}$$

E与B满足以下关系：

$$e_1=\frac{b_1}{||b_1||}，e_2=\frac{b_2}{||b_2||}$$

$$......$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& e_n=\frac{b_n}{||b_n||}\end{array}$$

14.1.3规范正交化示例

设向量空间$V$中存在向量$A=(a_1,a_2,a_3)$，且：

$$a_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]，a_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right]，a_3=\left[\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\end{array}\right]$$

则对向量A进行规范正交化的过程如下：

设$V$中存在向量$B$，$B$中元素两两正交，且$B$等价于$A$，则有：

$$b_1=a_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]$$

$$b_2=a_2-b_1\cdot \frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}$$

$$=\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]\cdot \frac{4}{6}$$

$$=\left[\begin{array}{c}-\frac{10}{6}\\ \frac{10}{6}\\ \frac{10}{6}\end{array}\right]=\frac{5}{3}\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$$

$$b_3=a_3-b_1\cdot \frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]}-b_2\cdot \frac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]}$$

$$=\left[\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]\cdot \frac{1}{3}-\frac{5}{3}\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\cdot -\frac{25}{3}\cdot \frac{9}{75}$$

$$=\left[\begin{array}{c}\frac{11}{3}\\ -\frac{5}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right]+\frac{5}{3}\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

向量B规范正交化为向量$E=(e_1,e_2,e_3,...e_n)$，得：

$$e_1=\frac{b_1}{||b_1||}=a_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}$$

$$e_2=\frac{b_2}{||b_2||}=\frac{5}{3}\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\cdot \sqrt{\frac{9}{75}}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$$

$$e_3=\frac{b_3}{||b_3||}=2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\cdot \sqrt{\frac{1}{8}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$$

14.2 正交阵

14.2.1 正交阵的定义

设存在n阶矩阵A，且A满足：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& A^T\cdot A=E\end{array}$$

则称A为$\mathrm{正}\mathrm{交}\mathrm{阵}$

14.2.2 正交阵与规范正交基

设空间$V(V\subset R^n)$上存在某正交阵的行向量$A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$

则有：

$$A\cdot A^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1{a_1}^T& a_1{a_2}^T& ...& a_1{a_n}^T\\ a_2{a_1}^T& a_2{a_2}^T& ...& a_2{a_n}^T\\ & & ...\\ a_n{a_1}^T& a_n{a_2}^T& ...& a_n{a_n}^T\end{array}\right]=E$$

由单位矩阵性质可知：

$$a_i{a_i}^T=1（i=1,2,3,...,n）\Rightarrow a_i\mathrm{是}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{向}\mathrm{量}$$

$$a_i{a_j}^T=0（i\ne j）\Rightarrow a_i\mathrm{与}{a}_j\mathrm{正}\mathrm{交}$$

则由规范正交基性质可知：
行向量A即为V的一个规范正交基（列向量同理，证明过程略），可得：

$$\mathrm{若}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{空}\mathrm{间}V(V\subset R^n)，\mathrm{则}：$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& n\mathrm{阶}\mathrm{正}\mathrm{交}\mathrm{阵}\mathrm{的}\mathrm{行}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{或}\mathrm{列}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{可}\mathrm{构}\mathrm{成}V\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{规}\mathrm{范}\mathrm{正}\mathrm{交}\mathrm{基}\end{array}$$