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13.向量的线性相关性&内积&范数&正交

13.1 向量组的线性相关性

13.1.1 定义

对于任意向量组A:a1,a2,a3,...,an,存在不全为0的数ki(i=1,2,3,...,m),使:

(1)i=1mkiai=0

则称向量组A是线的,否则称A是线

13.1.2 线性相关示例

  • 示例1:

设存在不全为0的数k1,k2,且存在以下列向量组:

a1=[01]a2=[10]

根据线性相关的定义,可得:

k1a1+k2a2=k2+k10

a1,a2线

  • 示例2:

设存在不全为0的数k1,k2,且存在以下列向量组:

a1=[12]a2=[24]

k1a1+k2a2=0,则有:

k1a1+k2a2=k1[12]+k2[24]=[00]

{k1+2k2=02k1+4k2=0

0k1=2k2=1

a1,a2线

13.2 向量组与矩阵的秩

13.2.1 定理

设存在向量组a1,a2,a3,...,am,且其构成的矩阵为:

A=[a1a2a3...am]

则有:

(2)线R(A)<m

(3)线R(A)=m

13.2.2 示例:n维单位坐标向量组的线性相关性

设存在n维单位坐标向量组:e1,e2,e3,...,en

则n维单位坐标向量组构成单位矩阵E,由:

|E|=1|E|0R(E)=n

n线

13.3 向量的内积

13.3.1 内积的定义

设存在以下n维向量:

X=[x1x2x3...xn]Y=[y1y2y3...yn]

则有:

(4)[x,y]=XTY=i=1nxiyi

[x,y]向量x与向量y的内积。

13.3.2 内积相关性质

向量的内积具有以下性质:

(1)[x,y]=[y,x](2)[λx,y]=λ[x,y](3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z](4){[x,x]=0,x=0[x,x]>0,x0(5)西[x,y]2[x,x][y,y]

13.4 向量的范数

13.4.1 范数的定义

设存在n维向量x,令:

(5)||x||=[x,x]=x12+x22+...+xn2

则称||x||为向量x

13.4.2 范数的性质

向量的范数具有以下性质:

(1){||x||=0x=O||x||>0xO(2)||λx||=|λ|||x||(3)||x+y||||x||+||y||

13.4.3 单位向量的定义

设存在n维向量x,则有:

(6)||x||=1x

13.5 向量的正交

13.5.1 向量正交的定义

设存在n维向量x,y

若:

(7)[x,y]=0

则称x与y正交。

  • 推论:x=Ox

13.5.2 正交与线性相关性的定理

  • 定理:

设存在n维非零向量:A=(a1,a2,a3,...,an),且存在A中的任意元素aiajaiaj,则有:

(8)([ai,aj]=0)(aiaj0)A线

  • 定理证明:

0k1,k2,k3,...,kn

A线i=1nkiai0

([ai,aj]=0)(aiaj0)i=1nkiai0

i=1nkiai0i=1nkiaia1T0

[ai,aj]=0k1a1a1T0k1[a12]k10

k2,k3,...,kn0:

([ai,aj]=0)(aiaj0)i=1nkiai0A线

13.6 规范正交基

13.6.1 规范正交基的定义

设n维向量E=(e1,e2,...,en)是向量空间VVRn)中的一个基,若E中向量均是单位向量,且两两正交,则称E是V的一个规范正交基。

13.6.2 规范正交基示例

设存在以下向量E=(e_1,e_2,e_3,e_4),其中元素均为单位向量,且两两正交:

e1=[121200]e2=[121200]e3=[001212]e4=[001212]

则称E=(e_1,e_2,e_3,e_4)是R4的一个规范正交基

13.6.3 规范正交基相关性质

E=(e1,e2,...,en)是向量空间V($V \subset R^n V$中任一元素均能由E进行线性表示。

aV中一元素,则a可表示为:

(9)a=k1e1+k2e2+...+knen

  • 推论:系数ki的求法

ae1T=k1e1e1T=k1

(10)ki=aeiTi=1,2,3,...,n

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