13.向量的线性相关性&内积&范数&正交
13.1 向量组的线性相关性
13.1.1 定义
对于任意向量组
则称向量组A是
13.1.2 线性相关示例
- 示例1:
设存在不全为0的数
根据线性相关的定义,可得:
- 示例2:
设存在不全为0的数
设
13.2 向量组与矩阵的秩
13.2.1 定理
设存在向量组
则有:
13.2.2 示例:n维单位坐标向量组的线性相关性
设存在n维单位坐标向量组:
则n维单位坐标向量组构成单位矩阵E,由:
13.3 向量的内积
13.3.1 内积的定义
设存在以下n维向量:
则有:
称
13.3.2 内积相关性质
向量的内积具有以下性质:
13.4 向量的范数
13.4.1 范数的定义
设存在n维向量
则称
13.4.2 范数的性质
向量的范数具有以下性质:
13.4.3 单位向量的定义
设存在n维向量
13.5 向量的正交
13.5.1 向量正交的定义
设存在n维向量
若:
则称x与y正交。
- 推论:
13.5.2 正交与线性相关性的定理
- 定理:
设存在n维非零向量:
- 定理证明:
13.6 规范正交基
13.6.1 规范正交基的定义
设n维向量
13.6.2 规范正交基示例
设存在以下向量E=(e_1,e_2,e_3,e_4),其中元素均为单位向量,且两两正交:
则称E=(e_1,e_2,e_3,e_4)是
13.6.3 规范正交基相关性质
若
如
- 推论:系数
的求法
分类:
机器学习-线性代数基础
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