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12.矩阵的秩及相关性质

12.1 k阶子式

12.1.1 k阶子式示例

设存在以下矩阵:

Xmn=[x11x12x13...x1nx21x22x23...x2nx31x32x33...x3n......xm1xm2xm3...xmn]

在矩阵中任选k行。如k=3,则有:

Xmn=[x11x12x13...x1nx21x22x23...x2nx31x32x33...x3n......xm1xm2xm3...xmn]

以上分别选中第1行、第3行、第m行;第1列、第2列、第n列,则所选行列交叉处元素形成的行列式为:

|x11x12x1nx31x32x3nxm1xm2xmn|

称以上行列式为矩阵X的3阶子式

12.1.2 k阶子式的定义

m×n的矩阵中,任取k行和k列(行列数均为k),则所选行列交叉处的k2个元素所形成的行列式成为原矩阵的k阶子式,且k阶子式共有CmkCnk

12.2 矩阵的秩

12.2.1 矩阵的秩的定义

若矩阵X中存在一个不为0的r阶子式D,且矩阵X的所有r+1阶子式均为0

则称数r为矩阵X的秩,记为R(X);D为矩阵X的最高阶非零子式。

12.2.2 矩阵的秩相关性质

  • |X|=|XT|R(X)=R(XT)

  • n阶方阵An阶子式为|A|,且:{R(A)=n|A|0AR(A)<n|A|=0A

12.3 矩阵求秩的方法

12.3.1 常规矩阵求秩

求以下矩阵A的秩R(A):

A=[123235471]

由计算可知,|A|=0,故R(A)<3

A的2阶子式中,取较简单的进行计算:

|1223|=10

由此,可知R(A)=2。

12.3.2 行阶梯形矩阵求秩

求以下行阶梯形矩阵B的秩R(B):

B=[21032031250004300000]

B的第4行为全0行|B|=0R(B)<4

故取B前3行中较简单的3阶子式(上三角行列式)进行计算:

|213032004|=2×3×4=240

由此,可知R(B)=3

12.3.3 矩阵求秩方法总结

由常规求秩方法和行阶梯矩阵求秩方法的对比可知:

  • 常规求秩方法受限于复杂行列式的计算

  • 而行阶梯矩阵求秩方法通过灵活运用行列式相关性质,简化了行列式计算过程,从而使矩阵求秩过程更为直观(秩=非0行个数)

12.4 线性方程组与矩阵求秩

12.4.1 线性方程组与矩阵求秩示例

设某线性方程组Ax=b对应以下矩阵:

A=[1221248024233606]

b=[1234]

(A,b)=[12211248022423336064]

对矩阵(A,b)进行线性变换(过程略)可得:

(A,b)=[12211002100000100000]

由以上结果矩阵可得方程组:

{x12x2+2x3x4=12x3+x4=00=1

由方程组中③式可得:方程组无解
又由行阶梯矩阵相关性质可得:R(A)=2,R(A,b)=3

故:原方程组无解,且原方程组对应的矩阵中:R(A)<R(A,b)

12.4.2 线性方程组与矩阵求秩相关定理

设存在以下线性方程组(m个方程,n个元):

{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...am1x1+am2x2+...+amnxn=bm

则方程可转化为以向量x为未知元的向量方程:

(1)Ax=b

向量方程Ax=b满足以下定理:

  • R(A)<R(A,b)Ax=b
  • R(A)=R(A,b)=nAx=b
  • R(A)=R(A,b)<nAx=b

若向量方程为齐次方程(Ax=0),则满足以下定理:

  • R(A)<nAx=0

12.5 矩阵的秩相关性质总结

设存在矩阵Amn,Bmn,Xnk,并存在可逆矩阵PmmQnn,零矩阵O,则:

  • 秩的取值范围:0R(A)min{m,n}(注:零矩阵的秩为0)
  • 转置矩阵求秩: R(AT)=R(A)
  • 等价矩阵求秩:ABR(A)=R(B)
  • 初等变换求秩:(PQ)R(P×A×Q)=R(A)
  • 拼接矩阵的秩范围:max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B)
  • 列向量拼接矩阵的秩范围:R(b)=1R(A)R(A,b)R(A)+1
  • 矩阵相加的秩范围:R(A+B)R(A)+R(B)
  • 矩阵相乘的秩范围:R(AX)min{R(A),R(X)}
  • 矩阵相乘为零矩阵:AX=OR(A)+R(X)<n
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