12.矩阵的秩及相关性质
12.1 k阶子式
12.1.1 k阶子式示例
设存在以下矩阵:
在矩阵中任选k行。如k=3,则有:
以上分别选中第1行、第3行、第m行;第1列、第2列、第n列,则所选行列交叉处元素形成的行列式为:
称以上行列式为矩阵X的3阶子式
12.1.2 k阶子式的定义
在
12.2 矩阵的秩
12.2.1 矩阵的秩的定义
若矩阵X中存在一个不为0的r阶子式D,且矩阵X的所有r+1阶子式均为0
则称数r为矩阵X的秩,记为R(X);D为矩阵X的最高阶非零子式。
12.2.2 矩阵的秩相关性质
-
-
阶方阵 的 阶子式为 ,且:
12.3 矩阵求秩的方法
12.3.1 常规矩阵求秩
求以下矩阵A的秩R(A):
由计算可知,
A的2阶子式中,取较简单的进行计算:
由此,可知R(A)=2。
12.3.2 行阶梯形矩阵求秩
求以下行阶梯形矩阵B的秩R(B):
由
故取
由此,可知R(B)=3
12.3.3 矩阵求秩方法总结
由常规求秩方法和行阶梯矩阵求秩方法的对比可知:
-
常规求秩方法受限于复杂行列式的计算
-
而行阶梯矩阵求秩方法通过灵活运用行列式相关性质,简化了行列式计算过程,从而使矩阵求秩过程更为直观(秩=非0行个数)
12.4 线性方程组与矩阵求秩
12.4.1 线性方程组与矩阵求秩示例
设某线性方程组
对矩阵(A,b)进行线性变换(过程略)可得:
由以上结果矩阵可得方程组:
由方程组中③式可得:方程组无解
又由行阶梯矩阵相关性质可得:
故:原方程组无解,且原方程组对应的矩阵中:
12.4.2 线性方程组与矩阵求秩相关定理
设存在以下线性方程组(m个方程,n个元):
则方程可转化为以向量
向量方程
若向量方程为齐次方程(
12.5 矩阵的秩相关性质总结
设存在矩阵
- 秩的取值范围:
{ }(注:零矩阵的秩为0) - 转置矩阵求秩:
- 等价矩阵求秩:
- 初等变换求秩:
- 拼接矩阵的秩范围:
- 列向量拼接矩阵的秩范围:
- 矩阵相加的秩范围:
- 矩阵相乘的秩范围:
- 矩阵相乘为零矩阵:
分类:
机器学习-线性代数基础
标签:
矩阵的秩
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