11.三种初等矩阵及其性质
11.1 三种初等矩阵
设存在列向量A:
则以下
11.1.1 矩阵 :对应
设存在如下n阶矩阵
以上矩阵
则通过
故形如
11.1.2 矩阵 :对应
设存在如下n阶矩阵
矩阵
则通过
故形如
11.1.3矩阵 :对应
设存在如下n阶矩阵
矩阵
则通过
故形如
11.2 三种初等矩阵的性质
设存在矩阵
则跟据11.1的内容可知,初等矩阵X对矩阵A进行的初等变换具有以下性质:
性质1:矩阵相乘时,X作行则行变换,X作列则列变换:
性质2:初等矩阵的逆阵也是初等矩阵
可通过:
性质3:方阵可逆的性质(方阵拆解为有限个初等矩阵相乘)
设存在方阵
则:
性质3的证明:
由性质2及10.2矩阵标准形的特性:
由矩阵的逆的性质:
由A是方阵:
由A'可逆
则根据行列式按行展开的性质:
则:
性质3推论:方阵变换为单位矩阵
由性质3的式(5):
则:
11.3 初等矩阵性质的应用
设存在以下矩阵:
现需求
根据初等矩阵的性质,可求解如下:
设存在3阶可逆方阵
则有:
故
则经过有限次行变换后可得以下结果(变换过程略):
故
分类:
机器学习-线性代数基础
标签:
初等矩阵
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