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11.三种初等矩阵及其性质

11.1 三种初等矩阵

设存在列向量A:

A=[a1a2a3a4...ai...aj...an]

则以下X1,X2,X3三种矩阵分别与A相乘后,可对A进行三种初等变换:

11.1.1 矩阵X1:对应aiaj

设存在如下n阶矩阵X1,使相应单位矩阵的第i行和第j行产生变化:

(1)X1=[10000...00001000...00000100...00000010...000..................000...xii=0...xij=10...0..................000...xji=1...xjj=00...0..................00000...001]

以上矩阵X1将相应单位矩阵的元素xii,xjj变为0,xij,xji变为1

则通过X1A可对A进行初等变换aiaj

X1A=[a1a2a3a4...aj...ai...an]

故形如X1的矩阵可对应初等变换:aiaj

11.1.2 矩阵X2:对应λA

设存在如下n阶矩阵X2,使相应单位矩阵的第i行产生变化:

(2)X2=[1000...000100...000010...00.........0000xii=λ0...0.........0000...01]

矩阵X2中,将相应单位矩阵的元素xii的值由1变为λ

则通过X2A可对A进行初等变换λA

X2A=[a1a2a3a4...λai...aj...an]

故形如X2的矩阵可对应初等变换:λA

11.1.3矩阵X3:对应ai+kaj

设存在如下n阶矩阵X3,使相应单位矩阵的第i行产生变化:

(3)X3=[10000...00001000...00000100...00000010...000..................000...10...xij=λ0...0..................00000...001]

矩阵X3中,将相应单位矩阵的元素xij的值由0变为λ,而元素xii的值保持1不变,使矩阵相乘时第i行共产生2个元素相加

则通过X3A可对A进行初等变换ai+λaj

X3A=[a1a2a3a4...ai+λaj...aj...an]

故形如X3的矩阵可对应初等变换:ai+kaj

11.2 三种初等矩阵的性质

设存在矩阵Amn,以及初等矩阵X

则跟据11.1的内容可知,初等矩阵X对矩阵A进行的初等变换具有以下性质:

性质1:矩阵相乘时,X作行则行变换,X作列则列变换:

(4)XmmAmnA

AmnXnnA

性质2:初等矩阵的逆阵也是初等矩阵

可通过:XX1=E 对11.1中的X1,X2,X3进行证明(证明过程略)

性质3:方阵可逆的性质(方阵拆解为有限个初等矩阵相乘)

设存在方阵Ann,以及有限个初等矩阵P1,P2,P3,...,Pn

则:

(5)AnnA=P1P2P3...Pn

性质3的证明:

A=P1P2P3...Pn

AP11P21P31...Pn1=E

由性质2及10.2矩阵标准形的特性:

P11P21P31...A...Pn1=F

由矩阵的逆的性质:

A=P1P2P3...PnF

由A是方阵:

|A|=|P1P2P3...Pn||F|

由A'可逆
|A|0|F|0

则根据行列式按行展开的性质:

F0F=E

|A|=|P1P2P3...Pn|A

则:

AnnA=P1P2P3...Pn

性质3推论:方阵变换为单位矩阵

由性质3的式(5):

P11P21P31...Pn1A=E

则:

AAnnE

(6)AE

EA

11.3 初等矩阵性质的应用

设存在以下矩阵:

A=[021302230]

现需求A1的值,证明A可逆。

根据初等矩阵的性质,可求解如下:

设存在3阶可逆方阵P=P1P2P3...Pn

则有:PA=E,PE=A1

A,E可同时进行行变换,可设矩阵(A,E)如下:

(A,E)=[021100302010230001]

则经过有限次行变换后可得以下结果(变换过程略):

(A,E)=[100634010423001946]

A可逆,且:

A1=[634423946]

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