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10.矩阵的初等变换

10.1 矩阵初等变换的规则

对于任意存在第i,j两行、或第i,j两列的矩阵,满足以下初等变换规则:

10.1.1 对调

  • 对调i,j两行,记为:rirj
  • 对调i,j两列,记为:cicj
  • 以上运算均可逆

10.1.2 乘以 k (kR,k0)

  • 第i行乘以k,记为:ri×kkR,k0
  • 第i列乘以k,记为:ci×kkR,k0
  • 以上运算均可逆

(第j行、第j列同理)

10.1.3 行相加减/列相加减

  • 在第i行之上,加减k倍第j行,记为:ri±k×rjkR,k0
  • 在第i列之上,加减k倍第j列,记为:ci±k×cjkR,k0
    (在第j行、第j列之上加减同理)
  • 以上运算均可逆

10.1.4 矩阵等价

设存在矩阵Amn,Bmn,并存在可逆矩阵PmmQnn,则由后续内容(方阵可逆性质)可知:

  • (A经过有限次行变换后可变换为B) (P×A=B) AB

  • (A经过有限次列变换后可变换为B) (A×Q=B) AB

  • (A经过有限次行列变换后可变换为B) (P×A×Q=B) AB

10.1.5 矩阵等价的规则

设存在矩阵A,B,C,则其满足以下矩阵等价规则:

  • 反身性:AA
  • 对称性:ABBA
  • 传递性::(AB)(BC)AC

10.1.6 初等变换示例

设存在以下矩阵:

X=[21112112144622436979]

该矩阵对应一个四元线性方程组,每列分别对应未知数x1,x2,x3,x4

现需通过线性变换求解该方程组,首先对x1对应列进行消元,过程如下:

r1r2

X=[11214211124622436979]

r3×12

X=[11214211122311236979]

r2r3

X=[11214022202311236979]

r32×r1

X=[11214022200553636979]

r43×r1

X=[11214022200553603343]

至此,x1对应列已消元完成,继续对x2对应列进行消元:

r2×12:

X=[11214011100553603343]

r3+5×r2

X=[11214011100002603343]

r43×r2

X=[11214011100002600013]

至此,x2对应列已消元完成,同时x3对应列也已消元完成,继续对x4对应列进行消元:

r3r4

X=[11214011100001300026]

r42r3

X=[11214011100001300000]

进一步优化,使4个未知数对应列均为1或-1:

r1r2

X=[10104011100001300000]

进一步优化,消去多余元:

r2r3:

(1)X=[10104011030001300000]

根据以上结果(1)式,可得如下方程组:

{x1x3=4x2x3=3x4=3

方程组中x3出现次数较多,可设x3=c(任意常数),则存在如下矩阵X表示原线性方程组的解:

(2)X=[x1x2x3x4]=[4+c3+cc3]=[4+c3+cc3]=c[1110]+[4303]

10.2 矩阵的标准形

10.2.1 定义

设存在矩阵F如下:

F=[Er0...000...0............0000]

矩阵F中,左上角为一单位矩阵,其余元素均为0,称这样的矩阵为

10.2.2 特性

m×n

过程如下:

对10.1.5中矩阵变换结果(1)式继续进行列变换可得:

c3c4,直接扩充左上角单位矩阵:

X=[10014010130010300000]

c4+c1+c2,消去c4中元素:

X=[10004010030010300000]

c54c13c2+3c3,消去c5中元素:

X=[10000010000010000000]

经过以上变换过程,矩阵X变换成为了矩阵的标准形。

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