10.矩阵的初等变换
10.1 矩阵初等变换的规则
对于任意存在第\(i,j\)两行、或第\(i,j\)两列的矩阵，满足以下初等变换规则：
10.1.1 对调
- 对调\(i,j\)两行，记为：\(r_i \leftrightarrow r_j\)
- 对调\(i,j\)两列，记为：\(c_i \leftrightarrow c_j\)
- 以上运算均可逆
10.1.2 乘以 \(k\) (\(k\in R,\;k \neq 0\))
- 第i行乘以k，记为：\(r_i \times k（k\in R,\;k \neq 0）\)
- 第i列乘以k，记为：\(c_i \times k（k\in R,\;k \neq 0）\)
- 以上运算均可逆
（第j行、第j列同理）
10.1.3 行相加减/列相加减
- 在第\(i\)行之上，加减\(k\)倍第j行，记为：\(r_i \pm k\times r_j\)（\(k\in R,\;k \neq 0\)）
- 在第\(i\)列之上，加减\(k\)倍第j列，记为：\(c_i \pm k\times c_j\)（\(k\in R,\;k \neq 0\)）
（在第j行、第j列之上加减同理）
- 以上运算均可逆
10.1.4 矩阵等价规则
- 若存在矩阵A，则A等价于A，记为：A ~ A
- 若矩阵A与矩阵B等价，则此等价具有对称性，记为：A ~ B&B ~ A
- 若矩阵A与矩阵B等价，矩阵B与矩阵C等价，则此等价具有传递性，记为：A ~ B & B ~ C \(\Rightarrow\) A ~ C
10.1.5 初等变换示例
设存在以下矩阵：
\[X=
\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1 & 1 & 2\\
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
4 & -6 & 2 & -2 & 4\\
3 & 6 & -9 & 7 & 9\\
\end{bmatrix}
\]
该矩阵对应一个四元线性方程组，每列分别对应未知数\(x_1,x_2,x_3,x_4\)
现需通过线性变换求解该方程组，首先对\(x_1\)对应列进行消元，过程如下：
\(r_1 \leftrightarrow r_2\)：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
2 & -1 & -1 & 1 & 2\\
4 & -6 & 2 & -2 & 4\\
3 & 6 & -9 & 7 & 9\\
\end{bmatrix}
\]
\(r_3 \times \frac {1} {2}\)：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
2 & -1 & -1 & 1 & 2\\
2 & -3 & 1 & -1 & 2\\
3 & 6 & -9 & 7 & 9\\
\end{bmatrix}
\]
\(r_2-r_3\)：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
0 & 2 & -2 & 2 & 0\\
2 & -3 & 1 & -1 & 2\\
3 & 6 & -9 & 7 & 9\\
\end{bmatrix}
\]
\(r_3-2\times r_1\)：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
0 & 2 & -2 & 2 & 0\\
0 & -5 & 5 & -3 & -6\\
3 & 6 & -9 & 7 & 9\\
\end{bmatrix}
\]
\(r_4-3\times r_1\)：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
0 & 2 & -2 & 2 & 0\\
0 & -5 & 5 & -3 & -6\\
0 & 3 & -3 & 4 & -3\\
\end{bmatrix}
\]
至此，\(x_1\)对应列已消元完成，继续对\(x_2\)对应列进行消元：
\(r_2 \times \frac 1 2\):
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & -5 & 5 & -3 & -6\\
0 & 3 & -3 & 4 & -3\\
\end{bmatrix}
\]
\(r_3+5\times r_2\)：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2 & -6\\
0 & 3 & -3 & 4 & -3\\
\end{bmatrix}
\]
\(r4-3\times r_2\)：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2 & -6\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3\\
\end{bmatrix}
\]
至此，\(x_2\)对应列已消元完成，同时\(x_3\)对应列也已消元完成，继续对\(x_4\)对应列进行消元：
\(r_3 \leftrightarrow r_4\)：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 0 & 2 & -6\\
\end{bmatrix}
\]
\(r_4-2r_3\)：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\]
进一步优化，使4个未知数对应列均为1或-1：
\(r_1-r_2\)：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 & 4\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\]
进一步优化，消去多余元：
\(r_2-r_3\):
\[\tag{1}
X=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 & 4\\
0 & 1 & -1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\]
根据以上结果（1）式，可得如下方程组：
\[\begin{cases}
x_1-x_3=4\\
x_2-x_3=3\\
x_4=-3
\end{cases}
\]
方程组中\(x_3\)出现次数较多，可设\(x_3=c\)（任意常数），则存在如下矩阵\(X'\)表示原线性方程组的解：
\[\tag{2}
X'=
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
4+c\\
3+c\\
c\\
-3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
4+c\\
3+c\\
c\\
-3
\end{bmatrix}
=
c\cdot
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1\\
0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
4\\
3\\
0\\
-3
\end{bmatrix}
\]
10.2 矩阵的标准形
10.2.1 定义
设存在矩阵\(F\)如下：
\[F=
\begin{bmatrix}
Er&0&...&0\\
0&0&...&0\\
...&...&...&...\\
0&0&0&0
\end{bmatrix}
\]
矩阵\(F\)中，左上角为一单位矩阵，其余元素均为0，称这样的矩阵为\(矩阵的标准形\)
10.2.2 特性
\[若存在任意m\times n的矩阵，则其经过有限次初等行列变换后总可变换为矩阵的标准形
\]
证明过程如下：
对10.1.5中矩阵变换结果（1）式继续进行列变换可得：
\(c_3 \leftrightarrow c_4\)，直接扩充左上角单位矩阵：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 & 4\\
0 & 1 & 0 & -1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 0 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\]
\(c_4+c_1+c_2\)，消去\(c_4\)中元素：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 4\\
0 & 1 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & 0 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\]
\(c_5-4c_1-3c_2+3c_3\)，消去\(c_5\)中元素：
\[X=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\]
经过以上变换过程，矩阵X变换成为了矩阵的标准形。
10.3 初等变换对应的三种矩阵
设存在以下矩阵：
\[A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
a_i\\
...\\
a_j\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
则以下\(X_1,X_2,X_3\)三种矩阵分别与A相乘便可对A进行三种初等变换：
10.3.1 矩阵\(X_1\)：对应\(a_i \leftrightarrow a_j\)
设存在如下n阶矩阵\(X_1\)，使相应单位矩阵的第i行和第j行产生变化：
\[\tag{1}
X_1=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 1 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 1&0&...&0&0&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & ...&x_{ii}=0&...x_{ij}=1&0&...&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0&0&0&...&x_{ji}=1&...x_{jj}=0&0&...&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&1
\end{bmatrix}
\]
以上矩阵\(X_1\)将相应单位矩阵的元素\(x_{ii},x_{jj}\)变为0，\(x_{ij},x_{ji}\)变为1
则通过\(X_1 \cdot A\)可对A进行初等变换\(a_i \leftrightarrow a_j\)：
\[X_1 \cdot A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
a_j\\
...\\
a_i\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
故形如\(X_1\)的矩阵可对应初等变换：\(a_i \leftrightarrow a_j\)
10.3.2 矩阵\(X_2\)：对应\(\lambda \cdot A\)
设存在如下n阶矩阵\(X_2\)，使相应单位矩阵的第\(i\)行产生变化：
\[X_2=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & ...&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0 & ...&0&0\\
0 & 0 & 1 & 0 & ...&0&0\\
...&&...&&...\\
0 & 0 & 0 & 0 & x_{ii}=\lambda&0...&0\\
...&&...&&...\\
0 & 0 & 0 & 0 & ...&0&1
\end{bmatrix}
\]
矩阵\(X_2\)中，将相应单位矩阵的元素\(x_{ii}\)的值由1变为\(\lambda\)
则通过\(X_2 \cdot A\)可对A进行初等变换\(\lambda \cdot A\)：
\[X_2 \cdot A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
\lambda \cdot a_i\\
...\\
a_j\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
故形如\(X_2\)的矩阵可对应初等变换：\(\lambda \cdot A\)
10.3.3矩阵\(X_3\)：对应\(a_i+k \cdot a_j\)
设存在如下n阶矩阵\(X_3\)，使相应单位矩阵的第\(i\)行产生变化：
\[X_3=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 1 & 0&0&...&0&0&0\\
0 & 0 & 0 & 1&0&...&0&0&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & ...&1&0...x_{ij}=\lambda&0&...&0\\
&...&...&...&...&...&...\\
0 & 0 & 0 & 0&0&...&0&0&1
\end{bmatrix}
\]
矩阵\(X_3\)中，将相应单位矩阵的元素\(x_{ij}\)的值由0变为\(\lambda\)，而元素\(x_{ii}\)的值保持1不变，使矩阵相乘时第i行共产生2个元素相加
则通过\(X_3 \cdot A\)可对A进行初等变换\(a_i+\lambda \cdot a_j\)
\[X_3 \cdot A=
\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
...\\
a_i+\lambda \cdot a_j\\
...\\
a_j\\
...\\
a_n
\end{bmatrix}
\]
故形如\(X_3\)的矩阵可对应初等变换：\(a_i+k \cdot a_j\)
