10.矩阵的初等变换
10.1 矩阵初等变换的规则
对于任意存在第
10.1.1 对调
- 对调
两行,记为: - 对调
两列,记为: - 以上运算均可逆
10.1.2 乘以 ( )
- 第i行乘以k,记为:
- 第i列乘以k,记为:
- 以上运算均可逆
(第j行、第j列同理)
10.1.3 行相加减/列相加减
- 在第
行之上,加减 倍第j行,记为: ( ) - 在第
列之上,加减 倍第j列,记为: ( )
(在第j行、第j列之上加减同理) - 以上运算均可逆
10.1.4 矩阵等价
设存在矩阵
-
(
经过有限次行变换后可变换为 ) ( ) -
(
经过有限次列变换后可变换为 ) ( ) -
(
经过有限次行列变换后可变换为 ) ( )
10.1.5 矩阵等价的规则
设存在矩阵
- 反身性:
- 对称性:
- 传递性::
10.1.6 初等变换示例
设存在以下矩阵:
该矩阵对应一个四元线性方程组,每列分别对应未知数
现需通过线性变换求解该方程组,首先对
至此,
至此,
进一步优化,使4个未知数对应列均为1或-1:
进一步优化,消去多余元:
根据以上结果(1)式,可得如下方程组:
方程组中
10.2 矩阵的标准形
10.2.1 定义
设存在矩阵
矩阵
10.2.2 特性
过程如下:
对10.1.5中矩阵变换结果(1)式继续进行列变换可得:
经过以上变换过程,矩阵X变换成为了矩阵的标准形。
分类:
机器学习-线性代数基础
标签:
矩阵的逆标准形
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