9.矩阵的逆-分块矩阵
9.1 分块矩阵的加法
设矩阵\(A、B均为m\times n\)的矩阵，且A、B均按相同的方式划分为\(s \times t\)块，其中：
\[A=
\begin{bmatrix}
A_{11} &...&A_{1t}\\
&...&\\
A_{s1} &...&A_{st}\\
\end{bmatrix}
\]
\[B=
\begin{bmatrix}
B_{11} &...&B_{1t}\\
&...& \\
B_{s1} &...&B_{st}\\
\end{bmatrix}
\]
则：
\[A+B=
\begin{bmatrix}
A_{11}+B_{11} &...&A_{1t}+B_{1t}\\
& ...&\\
A_{s1}+B_{s1} &...&A_{st}+B_{st}\\
\end{bmatrix}
\]
9.2 分块矩阵的乘法
（1）设A为\(m\times n\)的矩阵，\(\lambda \in R\)，将A划分为\(s \times t\)块：
\[A=\begin{bmatrix}
A_{11} &...&A_{1t}\\
&...&\\
A_{s1} &...&A_{st}\\
\end{bmatrix}
\]
则：
\[\lambda \cdot A=
\begin{bmatrix}
\lambda A_{11} &...& \lambda A_{1t}\\
&...&\\
\lambda A_{s1} &...& \lambda A_{st}\\
\end{bmatrix}
\]
（2）设矩阵\(A、B均为m\times n\)的矩阵，且A、B均按相同的方式划分为\(s \times t\)块，其中：
\[A=
\begin{bmatrix}
A_{11} &...&A_{1t}\\
&...&\\
A_{s1} &...&A_{st}\\
\end{bmatrix}
\]
\[B=
\begin{bmatrix}
B_{11} &...&B_{1t}\\
&...& \\
B_{s1} &...&B_{st}\\
\end{bmatrix}
\]
则：
\[A\times B=
\begin{bmatrix}
C_{11} &...&C_{1t}\\
&...&\\
C_{s1} &...&C_{st}\\
\end{bmatrix}
\]
\[其中每块均按矩阵乘法规则进行计算：\\
\begin{cases}
C_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31}+...+A_{1t}B_{s1}\\
...\\
C_{s1}=A_{s1}B_{11}+A_{s2}B_{21}+A_{s3}B_{31}+...+A_{st}B_{s1}\\
...
\end{cases}
\]
9.3 分块矩阵的转置
设A为\(m\times n\)的矩阵，将A划分为\(s \times t\)块：
\[A=
\begin{bmatrix}
A_{11} &...&A_{1t}\\
&...&\\
A_{s1} &...&A_{st}\\
\end{bmatrix}
\]
则：
\[A^T=
\begin{bmatrix}
A^T_{11} &...&A^T_{1t}\\
&...&\\
A^T_{s1} &...&A^T_{st}\\
\end{bmatrix}
\]
9.4 分块对角阵
设A为\(m\times n\)的矩阵，若A中的元素分块后可形成如下的对角矩阵：
\[A=
\begin{bmatrix}
A_1 &0&...&0 &0 &0 \\
0 &A_2 & 0 &...&0 &0\\
0 & 0 & A_3 &0 &... &0\\
& & &......\\
0 & 0 & 0 &... &0 & A_n
\end{bmatrix}\\
\]
则称A为分块对角阵，其性质与对角矩阵相同，如下：
\[性质1：|A|=|A_1|\cdot |A_2|\cdot ......\cdot |A_n|\\
\]
\[性质2：
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
A^{-1}_1 &0&...&0 &0 &0 \\
0 &A^{-1}_2 & 0 &...&0 &0\\
0 & 0 & A^{-1}_3 &0 &... &0\\
& & &......\\
0 & 0 & 0 &... &0 & A^{-1}_n
\end{bmatrix}\\
\]
9.5 协方差矩阵
设存在样本\(x_i \in R^n(i=1,2,3,...,N)\),且存在一矩阵\(X_{N\times n}\)，满足：
\[X_{N\times n}=
\begin{bmatrix}
x^T_1\\
\\
x^T_2\\
\\
x^T_3\\
...\\
\\
x^T_N\\
\end{bmatrix}
\]
则：
\[X^T_{n\times N}=
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & ... & x_N
\end{bmatrix}
\]
\[\Rightarrow (X^T\cdot X)_{NN}=\sum_{i=1}^N x^T_i \cdot x_i
\]
\[称(X^T\cdot X)为样本的协方差矩阵
\]
