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9.矩阵的逆-分块矩阵

9.1 分块矩阵的加法

设矩阵ABm×n的矩阵,且A、B均按相同的方式划分为s×t块,其中:

A=[A11...A1t...As1...Ast]

B=[B11...B1t...Bs1...Bst]

则:

A+B=[A11+B11...A1t+B1t...As1+Bs1...Ast+Bst]

9.2 分块矩阵的乘法

(1)设A为m×n的矩阵,λR,将A划分为s×t块:

A=[A11...A1t...As1...Ast]

则:

λA=[λA11...λA1t...λAs1...λAst]

(2)设矩阵ABm×n的矩阵,且A、B均按相同的方式划分为s×t块,其中:

A=[A11...A1t...As1...Ast]

B=[B11...B1t...Bs1...Bst]

则:

A×B=[C11...C1t...Cs1...Cst]

{C11=A11B11+A12B21+A13B31+...+A1tBs1...Cs1=As1B11+As2B21+As3B31+...+AstBs1...

9.3 分块矩阵的转置

设A为m×n的矩阵,将A划分为s×t块:

A=[A11...A1t...As1...Ast]

则:

AT=[A11T...A1tT...As1T...AstT]

9.4 分块对角阵

设A为m×n的矩阵,若A中的元素分块后可形成如下的对角矩阵:

A=[A10...0000A20...0000A30...0......000...0An]

则称A为分块对角阵,其性质与对角矩阵相同,如下:

1|A|=|A1||A2|......|An|

2A1=[A110...0000A210...0000A310...0......000...0An1]

9.5 协方差矩阵

设存在样本xiRn(i=1,2,3,...,N),且存在一矩阵XN×n,满足:

XN×n=[x1Tx2Tx3T...xNT]

则:

Xn×NT=[x1x2x3...xN]

(XTX)NN=i=1NxiTxi

(XTX)

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