8.矩阵的逆
8.1 相关性质
性质1：若矩阵A可逆，则\(A^{-1}\)也可逆：
\[(A^{-1})^{-1}=A
\]
-
性质1的证明：\(A \cdot A^{-1}=E\)
性质2：若矩阵A可逆，则\(\lambda \cdot A\)也可逆：
\[(\lambda \cdot A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\cdot A^{-1}
\]
-
性质2的证明：\(\lambda \cdot A\cdot \frac{1}{\lambda}\cdot A^{-1}=E\)
性质3：若矩阵A、矩阵B均可逆，且A、B为同阶矩阵，则 \(A\cdot B\)亦可逆：
\[(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}
\]
-
性质3的证明：\(A \cdot B \cdot B^{-1} \cdot A^{-1}=A \cdot E \cdot A^{-1}=E\)
性质4：若A可逆，则\(A^T\)也可逆：
\[(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
\]
-
性质4的证明：\(A^T \cdot (A^{-1})^T=(A^{-1} \cdot A)^T=E^T=E\)
8.2 特殊的逆阵
（1）二阶矩阵的逆阵
设存在二阶矩阵A:
\[A=
\begin{bmatrix}
a &b \\
c &d \\
\end{bmatrix}
\]
则:
\[|A|=ad-bc
\]
\[A^*=\begin{bmatrix}
A_{11} &A_{21} \\
A_{12} &A_{22}\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
d &-b \\
-c &a\\
\end{bmatrix}\\
\]
\[\Rightarrow A^{-1}= \frac {A^*}{|A|}=\frac {1}{ad-bc} \cdot
\begin{bmatrix}
d &-b \\
-c &a\\
\end{bmatrix}\\
\]
（2）单位矩阵E的逆阵
\[E^{-1}=E
\]
(3)对角矩阵的逆阵
设存在对角矩阵A：
\[A=
\begin{bmatrix}
\lambda_1 &0&...&0 &0 &0 \\
0 &\lambda_2 & 0 &...&0 &0\\
0 & 0 & \lambda_3 &0 &... &0\\
& & &......\\
0 & 0 & 0 &... &0 &\lambda_n
\end{bmatrix}\\
\]
则存在\(A^{-1}\)，使\(A \cdot A^{-1}=E\)：
\[A^{-1}=
\begin{bmatrix}
\lambda_1^{-1} &0&...&0 &0 &0 \\
0 &\lambda_2^{-1} & 0 &...&0 &0\\
0 & 0 & \lambda_3^{-1} &0 &... &0\\
& & &......\\
0 & 0 & 0 &... &0 &\lambda_n^{-1}
\end{bmatrix}\\
\]
8.3 矩阵的逆在线性回归算法中的应用
设:
存在数值\(y_i,a_j,x_{ij}\),其中：
\[y_i \in R^1(i=1,2,3,...,N)\\
a_j \in R(j=1,2,3,...,n)\\
x_{ij} \in R^n(i=1,2,3,...,N;j=1,2,3,...,n)
\]
且\(y_i,a_j,x_{ij}\)满足：
\[\begin{cases}
y_1=a_1x_{11}+a_2x_{12}+a_3x_{13}+...+a_nx_{1n}\\
y_2=a_1x_{21}+a_2x_{22}+a_3x_{23}+...+a_nx_{2n}\\
y_3=a_1x_{31}+a_2x_{32}+a_3x_{33}+...+a_nx_{3n}\\
...\\
y_N=a_1x_{N1}+a_2x_{N2}+a_3x_{N3}+...+a_nx_{Nn}\\
\end{cases}
\]
则\(y_i,a_j,x_{ij}\)可对应以下矩阵Y、A、X:
\[Y=
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
...\\
y_N
\end{bmatrix},
A=\begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
...\\
a_n
\end{bmatrix},
X=
\begin{bmatrix}
x_{11} & x_{12} & x_{13} & ... & x_{1n}\\
x_{21} & x_{22} & x_{23} & ... & x_{2n}\\
x_{31} & x_{32} & x_{33} & ... & x_{3n}\\
&&......\\
x_{N1} & x_{N2} & x_{N3} & ... & x_{Nn}\\
\end{bmatrix}
\]
\(y_i,a_j,x_{ij}\)的关系用矩阵可表示为：\(Y=A\cdot X\)
若现已知存在矩阵\(Y、X、X^{-1}\)，则在n=N的情况下可求得矩阵A：
\[A=Y\cdot X^{-1}
\]
