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8.矩阵的逆

8.1 相关性质

性质1:若矩阵A可逆,则A1也可逆:

(A1)1=A

  • 性质1的证明:AA1=E

性质2:若矩阵A可逆,则λA也可逆:

(λA)1=1λA1

  • 性质2的证明:λA1λA1=E

性质3:若矩阵A、矩阵B均可逆,且A、B为同阶矩阵,则 AB亦可逆:

(AB)1=B1A1

  • 性质3的证明:ABB1A1=AEA1=E

性质4:若A可逆,则AT也可逆:

(AT)1=(A1)T

  • 性质4的证明:AT(A1)T=(A1A)T=ET=E

8.2 特殊的逆阵

(1)二阶矩阵的逆阵

设存在二阶矩阵A:

A=[abcd]

则:

|A|=adbc

A=[A11A21A12A22]=[dbca]

A1=A|A|=1adbc[dbca]

(2)单位矩阵E的逆阵

E1=E

(3)对角矩阵的逆阵

设存在对角矩阵A:

A=[λ10...0000λ20...0000λ30...0......000...0λn]

则存在A1,使AA1=E

A1=[λ110...0000λ210...0000λ310...0......000...0λn1]

8.3 矩阵的逆在线性回归算法中的应用

设:

存在数值yi,aj,xij,其中:

yiR1(i=1,2,3,...,N)ajR(j=1,2,3,...,n)xijRn(i=1,2,3,...,N;j=1,2,3,...,n)

yi,aj,xij满足:

{y1=a1x11+a2x12+a3x13+...+anx1ny2=a1x21+a2x22+a3x23+...+anx2ny3=a1x31+a2x32+a3x33+...+anx3n...yN=a1xN1+a2xN2+a3xN3+...+anxNn

yi,aj,xij可对应以下矩阵Y、A、X:

Y=[y1y2y3...yN],A=[a1a2a3...an],X=[x11x12x13...x1nx21x22x23...x2nx31x32x33...x3n......xN1xN2xN3...xNn]

yi,aj,xij的关系用矩阵可表示为:Y=AX

若现已知存在矩阵YXX1,则在n=N的情况下可求得矩阵A:

A=YX1

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