7.矩阵的逆-定义和定理
7.1 逆矩阵的定义
对于n阶矩阵A，存在一个n阶矩阵B，使：
\[AB=BA=E
\]
则称矩阵A是可逆的。
且B是A的逆矩阵，简称“逆阵”，记为：
\[B=A^{-1}
\]
7.2 对逆矩阵的理解
若存在矩阵\(A_{n×n}\)、\(X_{n×1}\)、\(Y_{n×1}\)，使：
\[Y=AX
\]
现需求矩阵A，设存在矩阵\(X^{-1}_{n×1}\)，使：
\[XX^{-1}=E
\]
则:
\[X^{-1}\cdot Y=X^{-1}\cdot XA \\\Rightarrow X^{-1}\cdot Y=E\cdot A \\\Rightarrow A=X^ {-1}\cdot Y
\]
7.3 逆矩阵相关定理
7.3.1 定理1：若矩阵A可逆，则：\(|A|\neq0\)
定理1的证明：
\[由A可逆，得：\\
A.A^{-1}=E\\
{\Rightarrow}|A|.|A^{-1}|=|E|=1\\
{\Rightarrow}|A|\neq0
\]
7.3.2 定理2：若\(|A|\neq0\)，则矩阵A可逆，且\(A^{-1}={A^*\over|A|}\)
-
注：\(A^*\)为矩阵A的伴随阵
定理2的证明：
\[设：
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} &a_{12} &a_{13} ... &a_{1n}\\
a_{21} &a_{22} &a_{23} ... &a_{2n} \\
...\\
a_{n1} &a_{n2} &a_{13} ... &a_{nn}\\
\end{bmatrix}\\
\]
\[A^*=
\begin{bmatrix}
A_{11} &A_{21} &A_{31} ... &A_{n1}\\
A_{12} &A_{22} &A_{32} ... &A_{n2} \\
...\\
A_{1n} &A_{2n} &A_{3n} ... &A_{nn}\\
\end{bmatrix}\\
\]
-
注：\(A^*\)中包含|A|中每个元所对应的代数余子式，且为方便\(A\times A^*\)的矩阵相乘计算，\(A^*\)进行过转置，具体参考以下证明过程。
\[设：
A\times A^*=
\begin{bmatrix}
C_{11} &C_{12} &C_{13} ... &C_{1n}\\
C_{21} &C_{22} &C_{23} ... &C_{2n} \\
...\\
C_{n1} &C_{n2} &C_{n3} ... &C_{nn}\\
\end{bmatrix}
\]
\[根据代数余子式相关定理可得:\\
\begin{cases}
C_{11}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+...+a_{1n}A_{1n}=|A|\\
C_{22}=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}+...+a_{2n}A_{2n}=|A|\\
C_{33}=a_{31}A_{31}+a_{32}A_{32}+a_{33}A_{33}+...+a_{3n}A_{3n}=|A|\\
...\\
C_{nn}=a_{n1}A_{n1}+a_{n2}A_{n2}+a_{n3}A_{n3}+...+a_{nn}A_{nn}=|A|\\
\end{cases}\\
\]
\[又根据代数余子式【异乘变零】定理可得：其余任意i\neq j的C_{ij}均为0
\]
\[则有：
A\times A^*=
\begin{bmatrix}
|A| & 0 &...... &0 &0\\
0 &|A| & ...... &0 &0 \\
0 &0 &|A| &... &0\\
0&0&.......&......&0\\
0&0&.......&|A|&0\\
0 &0 &0 &...... &|A|\\
\end{bmatrix}
=|A|\times E
\]
\[由A\times A^*=|A|\times E可得：\\
\]
\[\tag{1}
A\times {A^*\over |A|}=E
\Rightarrow A^{-1}={A^* \over |A|}\quad(|A|\neq 0)
\]
