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7.矩阵的逆-定义和定理

7.1 逆矩阵的定义

对于n阶矩阵A,存在一个n阶矩阵B,使:

AB=BA=E

则称矩阵A是可逆的。
且B是A的逆矩阵,简称“逆阵”,记为:

B=A1

7.2 对逆矩阵的理解

若存在矩阵An×nXn×1Yn×1,使:

Y=AX

现需求矩阵A,设存在矩阵Xn×11,使:

XX1=E

则:

X1Y=X1XAX1Y=EAA=X1Y

7.3 逆矩阵相关定理

7.3.1 定理1:若矩阵A可逆,则:|A|0

定理1的证明:

AA.A1=E|A|.|A1|=|E|=1|A|0

7.3.2 定理2:若|A|0,则矩阵A可逆,且A1=A|A|

  • 注:A为矩阵A的伴随阵

定理2的证明:

A=[a11a12a13...a1na21a22a23...a2n...an1an2a13...ann]

A=[A11A21A31...An1A12A22A32...An2...A1nA2nA3n...Ann]

  • 注:A中包含|A|中每个元所对应的代数余子式,且为方便A×A的矩阵相乘计算,A进行过转置,具体参考以下证明过程。

A×A=[C11C12C13...C1nC21C22C23...C2n...Cn1Cn2Cn3...Cnn]

:{C11=a11A11+a12A12+a13A13+...+a1nA1n=|A|C22=a21A21+a22A22+a23A23+...+a2nA2n=|A|C33=a31A31+a32A32+a33A33+...+a3nA3n=|A|...Cnn=an1An1+an2An2+an3An3+...+annAnn=|A|

ijCij0

A×A=[|A|0......000|A|......0000|A|...000.............000.......|A|0000......|A|]=|A|×E

A×A=|A|×E

(1)A×A|A|=EA1=A|A|(|A|0)

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