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6.矩阵的行列式-代数余子式

6.1 余子式和代数余子式

设存在n阶行列式|A|,并存在|A|中的元素aij

|A|中,除去元素aij所在的第i行和第j列所有元素后,剩下元素所形成的行列式称为aij,记为Mij

且存在Aij=(1)i+jMijAij称为aij

6.2 代数余子式在行列式求值中的应用

6.2.1 通过某元素的代数余子式求行列式的值

设存在如下行列式

|A|=|a1100...0a21a22a23...a2na31a32a33...a3n......an1an2an3...ann|

若|A|中,第1行元素除a11外均为0,则根据下三角元素行列式求值方法及后续分块矩阵知识点,可得:

(1)|A|=|a1100...0a21a22a23...a2na31a32a33...a3n......an1an2an3...ann|=a11|a1100...0a21a22a23...a2na31a32a33...a3n......an1an2an3...ann|=a11M11=a11A11

根据以上推论,若存在以下包含元素aij的行列式:

|A|=|a11a12...a1j...a1na21a22...a2j...a2na31a32...a3j...a3n......00...aij0...0......an1an2...anj...ann|

若|A|'中,第i行元素除aij外均为0

则根据行列互换的性质,可先将第i行分别与第(i1),(i2),(i3),...,1行互换:

|A|=(1)|a11a12...a1j...a1na21a22...a2j...a2na31a32...a3j...a3n......00...aij0...0a(i1)1a(i1)2...a(i1)j...a(i1)na(i+1)1a(i+1)2...a(i+1)j...a(i+1)n......an1an2...anj...ann|

......

=(1)i1|00...aij0...0a11a12a1j...a1na21a22a2j...a2n......a(i1)1a(i1)2...a(i1)j...a(i1)na(i+1)1a(i+1)2...a(i+1)j...a(i+1)n......an1an2anj...ann|

再将第j列分别与第(j1),(j2),...,1列互换:

|A|=(1)(i1)+1|00...aij00...0a11a12...a1ja1(j1)...a1na21a22...a2ja2(j1)...a2n......a(i1)1a(i1)2...a(i1)ja(i1)(j1)...a(i1)na(i+1)1a(i+1)2...a(i+1)ja(i+1)(j1)...a(i+1)n......an1an2...anjan(j1)...ann|

...

=(1)(i1)+(j1)|aij00...00...0a1ja11a12...a1(j1)...a1na2ja21a22...a2(j1)...a2n......a(i1)ja(i1)1a(i1)2...a(i1)(j1)...a(i1)na(i+1)ja(i+1)1a(i+1)2...a(i+1)(j1)...a(i+1)n......anjan1an2...an(j1)...ann|

根据公式(1)可得:

|A|=aij(1)(i1)+(j1)Mij=aij(1)(i+j)Mij=aijAij

对任意行列式|A|及其中任意元素aij,存在:

(2)|A|=aijAij

**注意区分:|A|为矩阵A的行列式,Aij为元素aij的代数余子式

6.2.2 行列式的按行/按列展开(行列式的降阶)

设存在以下包含第i行的行列式|A|

|A|=|a11a12...a1j...a1na21a22...a2j...a2na31a32...a3j...a3n......ai1ai2...aij...ain......an1an2...anj...ann|

则根据行列式的行相加规则,有:

|A|=|a11a12...a1j...a1na21a22...a2j...a2na31a32...a3j...a3n......ai10...0...0......an1an2...anj...ann|

+|a11a12...a1j...a1na21a22...a2j...a2na31a32...a3j...a3n......0ai2...0...0......an1an2...anj...ann|

+......+|a11a12...a1j...a1na21a22...a2j...a2na31a32...a3j...a3n......00...aij...0......an1an2...anj...ann|

+......+|a11a12...a1j...a1na21a22...a2j...a2na31a32...a3j...a3n......00...0...ain......an1an2...anj...ann|

则根据下三角元素行列式及分块矩阵求值方法得:

(3)|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin=x=1naixAix

同理可得同一列元素也具有:

(4)|A|=a1iA1i+a2iA2i+...+aniAni=x=1naxiAxi

6.2.3 行列式的【异乘变零】定理

设存在以下包含第i行和第j行的行列式

|A|=|a11a12a13...a1na21a22a23...a2na31a32a33...a3n......ai1ai2ai3...ain......aj1aj2aj3...ajn......an1an2an3...ann|

根据行列式的【异乘变零】定理,有:

(5)x=1naixAjx=0

**【异乘变零】定理的证明过程略(题主不认同牵强附会的证明方法)

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