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4.矩阵的行列式-特殊矩阵的行列式求值

(1)设存在以下n阶行列式|A1|

|A1|=|λ11λ22λ33λ44...λnn|

|A1|的每行均只有1个元素,故所形成的排列方式仅有1种:λ11λ22λ33λ44......λnn

λ11λ22λ33λ44......λnn中,列号对应的逆序数总和t=0

则:

|A1|=(1)ti=1nλii=(1)0i=1nλii=λ11λ22λ33λ44......λnn

(2)设存在以下行列式|A2|

|A2|=|λ1nλ2(n1)λ3(n2)λ4(n3)...λn1|

|A2|的每行均只有1个元素,故所形成的排列方式仅有1种:λ1nλ2(n1)λ3(n2)λ4(n3)......λn1

λ1nλ2(n1)λ3(n2)λ4(n3)......λn1中,列号为完全逆序,故逆序数总和为:

t=1+2+3+...+(n3)+(n2)+(n1)=n(n1)2

则:

|A2|=(1)ti=1nλii=(1)n(n1)2i=1nλi(ni+1)=λ1nλ2(n1)λ3(n2)λ4(n3)......λn1

(3)设存在以下行列式|A3|

|A3|=|a11a21a22a31a32a33......an1an2an3...ann|

|A3|中:

由于第1行只有1个元素:a11,故第1行元素列号仅能形成1种排列方式,

第2行有2个元素,但仅有a22能够与第1行中的a11进行排列,

第3行有3个元素,但仅有a33能够与第1、2行中的a11a22排列,

……以此类推,第n行中仅有ann能够与a11a22a33...等元素进行排列。

故:

|A3|=i=1naii

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