4.矩阵的行列式-特殊矩阵的行列式求值
（1）设存在以下n阶行列式\(|A_1|\)：
\[|A_1|=
\begin{vmatrix}
\lambda_{11}\\
& \lambda_{22}\\
&& \lambda_{33}\\
&&&\lambda_{44}\\
&&&&...\\
&&&&&\lambda_{nn}
\end{vmatrix}
\]
\(|A_1|\)的每行均只有1个元素，故所形成的排列方式仅有1种：\(\lambda_{11}\lambda_{22}\lambda_{33}\lambda_{44}......\lambda_{nn}\)，
\(\lambda_{11}\lambda_{22}\lambda_{33}\lambda_{44}......\lambda_{nn}\)中，列号对应的逆序数总和\(t=0\)
则：
\[|A_1|=(-1)^t\prod_{i=1}^n\lambda_{ii}=(-1)^0\prod_{i=1}^n\lambda_{ii}=\lambda_{11}\cdot\lambda_{22}\cdot\lambda_{33}\cdot\lambda_{44}......\cdot\lambda_{nn}
\]
（2）设存在以下行列式\(|A_2|\)：
\[|A_2|=
\begin{vmatrix}
&&&&&\lambda_{1n}\\
&&&&\lambda_{2(n-1)}\\
&&&\lambda_{3(n-2)}\\
&&\lambda_{4(n-3)}\\
&...\\
\lambda_{n1}
\end{vmatrix}
\]
\(|A_2|\)的每行均只有1个元素，故所形成的排列方式仅有1种：\(\lambda_{1n}\lambda_{2(n-1)}\lambda_{3(n-2)}\lambda_{4(n-3)}......\lambda_{n1}\)，
\(\lambda_{1n}\lambda_{2(n-1)}\lambda_{3(n-2)}\lambda_{4(n-3)}......\lambda_{n1}\)中，列号为完全逆序，故逆序数总和为：
\[t=1+2+3+...+(n-3)+(n-2)+(n-1)=\frac{n\cdot(n-1)}{2}
\]
则：
\[|A_2|=(-1)^t\prod_{i=1}^n\lambda_{ii}=(-1)^{\frac{n\cdot(n-1)}{2}}\cdot\prod_{i=1}^n\lambda_{i(n-i+1)}\\=\lambda_{1n}\cdot\lambda_{2(n-1)}\cdot\lambda_{3(n-2)}\cdot\lambda_{4(n-3)}......\cdot\lambda_{n1}
\]
（3）设存在以下行列式\(|A_3|\)：
\[|A_3|=
\begin{vmatrix}
a_{11} & & && \\
a_{21} & a_{22} & && \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} &&\\
& & ......\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}\\
\end{vmatrix}
\]
\(|A_3|\)中：
由于第1行只有1个元素：\(a_{11}\)，故第1行元素列号仅能形成1种排列方式，
第2行有2个元素，但仅有\(a_{22}\)能够与第1行中的\(a_{11}\)进行排列，
第3行有3个元素，但仅有\(a_{33}\)能够与第1、2行中的\(a_{11}、a_{22}\)排列，
……以此类推，第n行中仅有\(a_{nn}\)能够与\(a_{11}、a_{22}、a_{33}...\)等元素进行排列。
故：
\[|A_3|=\prod_{i=1}^na_{ii}
\]
