3.矩阵的行列式-二阶行列式&克莱姆法则&n阶行列式计算
3.1 二阶行列式
定义：
\[形如
\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}
的式子为二阶行列式，其中\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}=ad-bc
\]
应用：
设存在以下二元线性方程组：
\[\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2
\end{cases}
\]
根据二元线性方程组的消元法求解方程可得：
\[x_1=\frac {b_1a_{22}-b_2a_{12}} {a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\\
\]
\[x_2=\frac {b_2a_{11}-b_1a_{21}} {a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
\]
记：
\[D=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}，
D_1=
\begin{vmatrix}
b_{1} & a_{12}\\
b_{2} & a_{22}
\end{vmatrix}，
D_2=
\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{1}\\
a_{21} & b_{2}
\end{vmatrix}
\]
则：
\[x_1 = \frac {D_1} {D}，
x_2 = \frac {D_2} {D}
\]
3.2 克莱姆法则
定义
设存在以下n元线性方程组：
\[\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\
...\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\\
\end{cases}
\]
以上方程组中：
若\(b_1,b_2,...,b_n\)均不为0，则方程为\(非齐次方程\)
若\(b_1,b_2,...,b_n\)均为0，则方程为\(齐次方程\)
根据行列式相关性质，记：
\[D=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} &...& a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} &...& a_{3n}\\
& & ......\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}\\
\end{vmatrix}
\]
则：
\[D_1=
\begin{vmatrix}
b_{1} & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\
b_{2} & a_{22} & a_{23} &...& a_{2n}\\
b_{3} & a_{32} & a_{33} &...& a_{3n}\\
& & ......\\
b_{n} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}\\
\end{vmatrix}
\]
\[......\\
D_n=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} &...& b_{1}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} &...& b_{2}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} &...& b_{3}\\
& & ......\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& b_{n}\\
\end{vmatrix}
\]
且：
\[x_1=\frac {D_1}{D}，x_2=\frac{D_2}{D}，...，x_n=\frac{D_n}{D}
\]
推论
由上，可得：
对于非齐次方程，有：
\[\tag{1}
D\neq0 \Leftrightarrow 方程有唯一解
\]
对于齐次方程，有：
\[\tag{2}
D\neq0 \Leftrightarrow 方程仅有0解，无非0解
\]
3.3 n阶行列式的计算
3.3.1 全排列
定义：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。
设存在一组数列\(S\)={\(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)}，其中\(a_i \in N且i=1，2，3，...,n\)
则数列S中的数值共有\(A^n_n=n!\)种排列方式，将S中数值的全排列记为：
\[\tag {1}p_1p_2p_3...p_n
\]
3.3.2 逆序数
设存在数列\(S、S_i\)；数值\(a_i\)、\(t_i\)、\(t\)，其中：
\(S\)={\(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)}；
若对于数列S中的任意一项数值\(a_i（i=1，2，3，...,n）\)，满足\(a_i\in N\) ，则记\(S_i\)为数列\(S\)的前\((n-i)\)项所在的子序列；
记\(t_i\)为\(S_i\)中数值大于\(a_i\)的项的个数，称\(t_i\)为\(a_i\)的逆序数；
数列S的逆序数总和记为：
\[\tag {2}t=\sum^{n}_{i=1}t_i
\]
3.3.3 求n阶行列式
设存在以下n阶行列式|A|：
\[|A|=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} &...& a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} &...& a_{3n}\\
& & ......\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}\\
\end{vmatrix}
\]
\(|A|\)的每一行中，元素列号所形成的数列\(J\)={\(1,2,3,...,n\)}，
数列\(J\)中的数值共有：\(n!\) 种排列方式，设这些数值的全排列为：\(p_1p_2p_3...p_n\)，
\(p_1p_2p_3...p_n\)中，任意一种排列方式的逆序数总和 \(t=\sum_{i=1}^{n}t_i\)
则：
\[\tag{3}|A|=\sum (-1)^ta_{1p_1}\cdot a_{2p_2}\cdot a_{3p_3}...\cdot a_{np_n}
\]
