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3.矩阵的行列式-二阶行列式&克莱姆法则&n阶行列式计算

3.1 二阶行列式

定义:

|abcd||abcd|=adbc

应用:

设存在以下二元线性方程组:

{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2

根据二元线性方程组的消元法求解方程可得:

x1=b1a22b2a12a11a22a12a21

x2=b2a11b1a21a11a22a12a21

记:

D=|a11a12a21a22|D1=|b1a12b2a22|D2=|a11b1a21b2|

则:

x1=D1Dx2=D2D

3.2 克莱姆法则

定义

设存在以下n元线性方程组:

{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...an1x1+an2x2+...+annxn=bn

以上方程组中:

b1,b2,...,bn均不为0,则方程为

b1,b2,...,bn均为0,则方程为

根据行列式相关性质,记:

D=|a11a12a13...a1na21a22a23...a2na31a32a33...a3n......an1an2an3...ann|

则:

D1=|b1a12a13...a1nb2a22a23...a2nb3a32a33...a3n......bnan2an3...ann|

......Dn=|a11a12a13...b1a21a22a23...b2a31a32a33...b3......an1an2an3...bn|

且:

x1=D1Dx2=D2D...xn=DnD

推论

由上,可得:

(1)()(D0)

(2)()(D0)00

  • 注:若不满足以上条件,则非齐次方程可能出现无限多解,齐次方程也可能出现非0解。

3.3 n阶行列式的计算

3.3.1 全排列

定义:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排列起来,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。

设存在一组数列S={a1,a2,a3,...,an},其中aiNi=123...,n

则数列S中的数值共有Ann=n!种排列方式,将S中数值的全排列记为:

(1)p1p2p3...pn

3.3.2 逆序数

设存在数列SSi;数值aitit,其中:

S={a1,a2,a3,...,an};

若对于数列S中的任意一项数值aii=123...,n,满足aiN ,则记Si为数列S的前(ni)项所在的子序列;

tiSi中数值大于ai的项的个数,称tiai的逆序数;

数列S的逆序数总和记为:

(2)t=i=1nti

3.3.3 求n阶行列式

设存在以下n阶行列式|A|:

|A|=|a11a12a13...a1na21a22a23...a2na31a32a33...a3n......an1an2an3...ann|

|A|的每一行中,元素列号所形成的数列J={1,2,3,...,n},

数列J中的数值共有:n! 种排列方式,设这些数值的全排列为:p1p2p3...pn

p1p2p3...pn中,任意一种排列方式的逆序数总和 t=i=1nti

则:

(3)|A|=(1)ta1p1a2p2a3p3...anpn

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