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2.矩阵的迹&转置&对称矩阵

2.1 矩阵的迹

定义:

  • n×n矩阵主对角线上元素的总和称为
  • 矩阵X的迹记为tr(X)

示例:

设存在以下n×n的矩阵:

Xn×n=[x11x12x13...x1nx21x22x23...x2nx31x32x33...x3n......xn1xn2xn3...xnn]

则:

tr(X)=x11+x22+x33+...+xnn=i=0nxii

矩阵的迹运算律

(1)tr(AB)=tr(BA)

证明:

AB=CBA=D

tr(AB)=tr(C)=i=1ncii=i=1nj=1naijbji

tr(BA)=tr(D)=i=1nj=1nbijaji=j=1ni=1najibij=i=1nj=1naijbji

tr(AB)=tr(BA)

2.2 矩阵的转置

定义:

  • 把一个矩阵的行换成同序数的列,得到一个新的矩阵。
  • 矩阵X的转置记为XT

性质:

  • 若X为m×n的矩阵,则XTn×m的矩阵
  • x为矩阵X中的元素,xT为矩阵XT中的元素,则xijT=xji

示例:

设存在以下m×n的矩阵:

Xm×n=[x11x12x13...x1nx21x22x23...x2nx31x32x33...x3n......xm1xm2xm3...xmn]

则:

Xn×mT=[x11x21x31...xm1x12x22x32...xm2x13x23x33...xm3......x1nx2nx3n...xmn]

矩阵的转置运算律

(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(λA)T=λAT

(4)(AB)T=BTAT

对运算律(4)进行证明:

Am×tBt×nAm×tBt×n=Cn×ncij=k=1taikbkj

cijT=cji=k=1tajkbki

Bn×sTAs×nT=Dn×ndij=k=1tbikTakjT=k=1tbkiajk=k=1tajkbki=cijT

(AB)T=BTAT

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