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1.矩阵的基本概念&意义&特殊矩阵&基本运算

1.1 矩阵的定义:

矩阵是由m×n个数排成的数表。

如以下矩阵:

X=[x11x12x13...x1nx21x22x23...x2nx31x32x33...x3n......xm1xm2xm3...xmn]

其中:

(1) X为矩阵名称,亦可记为Xmn

(2) xij(i=1,2,3,...,m;j=1,2,3,...,n)为矩阵X中的元素,简称元

(3)xij可称为X的(i,j)元;X矩阵亦可记为(xij)矩阵或(xij)mn矩阵

1.2矩阵的意义

若存在变量xi,变量yj,系数aij,其中(i=1,2,3,...,m),(j=1,2,3,...,n)

则可用矩阵表示xiyj的线性变换:

{y1=a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxny2=a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxny3=a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn......ym=am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn

1.3特殊矩阵

1.3.1 单位矩阵

若存在变量xi,变量yj,其中(i=1,2,3,...,m),(j=1,2,3,...,n),且xiyj的线性变换满足:

{y1=x1y2=x2y3=x3......ym=xn

则称xiyj的变换为,对应的矩阵称为,用字母E或字母I表示:

E=[10...000010...000010...0......000...10000...01]

1.3.2 对角矩阵

若存在变量xi,变量yj,其中(i=j=1,2,3,...,n),且xiyj的线性变换满足:

{y1=λ1x1y2=λ2x2y3=λ3x3......yn=λnxn

则对应的矩阵称为,可用任意大写字母表示:

A=[λ10...0000λ20...0000λ30...0......000...0λn]

1.4矩阵的基本运算

设存在以下矩阵:

Xmn=[x11x12x13...x1nx21x22x23...x2nx31x32x33...x3n......xm1xm2xm3...xmn]

Ynm=[y11y12y13...y1my21y22y23...y2my31y32y33...y3m......yn1yn2yn3...ynm]

1.4.1 矩阵的加法运算

  • 根据已知的X、Y矩阵,若m=n,可得:

X+Y=[x11+y11x12+y12x13+y13...x1n+y1nx21+y21x22+y22x23+y23...x2n+y2nx31+y31x32+y32x33+y33...x3n+y3n......xm1+ym1xm2+ym2xm3+ym3...xmn+ymn]

  • 矩阵的加法运算律:

(1)X+Y=Y+X

(2)(X+Y)+Z=X+(Y+Z)

1.4.2 矩阵的乘法运算

  • 根据已知的X矩阵,数λ与矩阵X相乘可得:

λX=[λx11λx12λx13...λx1nλx21λx22λx23...λx2nλx31λx32λx33...λx3n......λxm1λxm2λxm3...λxmn]

  • 根据已知的X矩阵、Y矩阵相乘可得:

XmnYnm=Zmm[z11z12z13...z1mz21z22z23...z2m...zm1zn2zn3...zmm]

:zij=k=1nxikykj

  • 矩阵的乘法运算律

(1)(λμ)A=λ(μA)

(2)(λ+μ)A=λA+μA

(3)λ(A+B)=λA+λBλ(AB)=(λA)B=A(λB)

(4)(AB)C=A(BC)

(5)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA

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