随笔分类 - 机器学习-线性代数基础
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摘要：20.SVD分解及其应用 20.1 奇异值的概念 设存在复数矩阵\(A_{mn}\)，且\(R(A)=r\) 则对矩阵\((A^H\cdot A)_{nn}\)的特征值进行分析如下： 设存在n阶行向量\(x\)，则可将\((A^H\cdot A)_{nn}\)转换为二次型，可得： \[\qquad
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摘要：19. 矩阵对角化-矩阵的正定性及其应用 19.1 矩阵的正定性 设存在二次型：\(f(x)=x^T\cdot A\cdot x\)，其中\(A\)为对称阵 19.1.1 定义 对于\(f(x)\)及\(A\)有： 正定/负定 \[若 f(x)>0且x\neq0，则对称阵A是正定的，且f(x)称为正
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摘要：18. 矩阵对角化-二次型 18.1 二次方程的标准化思想 在解析几何中，对于二次曲线： \[ax^2+bxy+cy^2=1 \]若需将其标准化，则可通过坐标旋转变换： \[\begin{cases} x=x'cos\theta-y'sin\theta\\ y=x'sin\theta+y'cos\t
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摘要：17.矩阵对角化-对称阵压缩 17.1 对称阵压缩的思想 设存在n阶对称阵A 现需对A中元素进行存储，则由对称阵性质知，A中有效元素个数=\(\frac{n\cdot(n+1)}{2}\)，即共需存储\(\frac{n\cdot(n+1)}{2}\)个元素 而由矩阵对角化性质可知，对于n阶对称阵A，
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摘要：16.矩阵对角化-相似矩阵 16.1 相似矩阵 16.1.1 相似矩阵的定义 设存在n阶矩阵A、B，且存在可逆矩阵P，使： \[\tag{1} P\cdot A\cdot P^{-1}=B \]则称\(矩阵B是A的相似矩阵\)，或\(矩阵A与矩阵B相似\)。 称\(P\)为\(相似变换矩阵\) 称\
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摘要：15 特征值和特征向量 15.1 定义 设存在n阶矩阵A: \[A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &...& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a
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摘要：14.施密特正交化 14.1 规范正交化 14.1.1 规范正交化的定义 \[设：存在向量空间V(V \subset R^n) \]\[n维向量A=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)是V中的一个基 \]\[若：V中存在一个规范正交基E=(e_1,e_2,e_3...,e_n)，使A与E等价
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摘要：13.向量的线性相关性&内积&范数&正交 13.1 向量组的线性相关性 13.1.1 定义 对于任意向量组\(A:a_1,a_2,a_3,...,a_n\)，存在不全为0的数\(k_i(i=1,2,3,...,m)\)，使： \[\tag{1} \sum_{i=1}^mk_i\cdot a_i=0
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摘要：12.矩阵的秩及相关性质 12.1 k阶子式 12.1.1 k阶子式示例 设存在以下矩阵： \[X_{mn}= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & ... & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & ... & x_{
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摘要：11.三种初等矩阵及其性质 11.1 三种初等矩阵 设存在列向量A： \[A= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ ...\\ a_i\\ ...\\ a_j\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} \]则以下\(X_1,X_2,X_3\)三种
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摘要：10.矩阵的初等变换 10.1 矩阵初等变换的规则 对于任意存在第\(i,j\)两行、或第\(i,j\)两列的矩阵，满足以下初等变换规则： 10.1.1 对调 对调\(i,j\)两行，记为：\(r_i \leftrightarrow r_j\) 对调\(i,j\)两列，记为：\(c_i \leftr
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摘要：9.矩阵的逆-分块矩阵 9.1 分块矩阵的加法 设矩阵\(A、B均为m\times n\)的矩阵，且A、B均按相同的方式划分为\(s \times t\)块，其中： \[A= \begin{bmatrix} A_{11} &...&A_{1t}\\ &...&\\ A_{s1} &...&A_{st
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摘要：8.矩阵的逆 8.1 相关性质 性质1：若矩阵A可逆，则\(A^{-1}\)也可逆： \[(A^{-1})^{-1}=A \] 性质1的证明：\(A \cdot A^{-1}=E\) 性质2：若矩阵A可逆，则\(\lambda \cdot A\)也可逆： \[(\lambda \cdot A)^{-
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摘要：7.矩阵的逆-定义和定理 7.1 逆矩阵的定义 对于n阶矩阵A，存在一个n阶矩阵B，使： \[AB=BA=E \]则称矩阵A是可逆的。 且B是A的逆矩阵，简称“逆阵”，记为： \[B=A^{-1} \]7.2 对逆矩阵的理解 若存在矩阵\(A_{n×n}\)、\(X_{n×1}\)、\(Y_{n×1
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摘要：6.矩阵的行列式-代数余子式 6.1 余子式和代数余子式 设存在n阶行列式\(|A|\)，并存在\(|A|\)中的元素\(a_{ij}\) 则\(|A|\)中，除去元素\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列所有元素后，剩下元素所形成的行列式称为\(a_{ij}\)的\(余子式\)，
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摘要：5.矩阵的行列式-相关性质 若存在行列式： \[|A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &...& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}
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摘要：4.矩阵的行列式-特殊矩阵的行列式求值 （1）设存在以下n阶行列式\(|A_1|\)： \[|A_1|= \begin{vmatrix} \lambda_{11}\\ & \lambda_{22}\\ && \lambda_{33}\\ &&&\lambda_{44}\\ &&&&...\\ &&&
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摘要：3.矩阵的行列式-二阶行列式&克莱姆法则&n阶行列式计算 3.1 二阶行列式 定义： \[形如 \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} 的式子为二阶行列式，其中\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad
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摘要：2.矩阵的迹&转置&对称矩阵 2.1 矩阵的迹 定义： \(n \times n\)矩阵主对角线上元素的总和称为\(矩阵的迹\) 矩阵X的迹记为\(tr(X)\) 示例： 设存在以下\(n \times n\)的矩阵： \[X_{n \times n}= \begin{bmatrix} x_{11}
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摘要：1.矩阵的基本概念&意义&特殊矩阵&基本运算 1.1 矩阵的定义： 矩阵是由\(m \times n\)个数排成的数表。 如以下矩阵： \[A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a
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