∫dy=d∫y=ydx=d(x+a)d ax=a⋅dx∫f dx=F⇒dF=f dx
不定积分
定义
我们作为OIer,并不需要知道严谨的数学定义,我们只需要知道d和∫是两种算符,这里给出粗略的解释:d表示微小变化量,联系导数的定义:f(x)在x0处的导数为(不妨认为f(x)可导)
f′(x)=limΔx→x0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f(x0+dx)−f(x0)dx=dfdx
于是有
f′=f′(x)df=f′dx
这就是微积分基本定理,其中f叫原函数
值得一提得是
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx∫kf(x)=k∫f(x)d ax=a⋅dx
而∫就是d的逆运算,即满足
∫dy=d∫y
不难推出
dx=d(x+a)
这条性质其实十分重要且易忘
积分本质就是求一个函数的原函数,微分就是求原函数的对应函数,对于微分我们容易求出,对于积分,我们则需要一定的技巧
顺带一提,积分后需要加常数,显然这是不影响微分的结果的,但这是人们常常忘记的
不定积分的求法
初等变换
主要考察初等变换能力,这里只给出一道例题
求∫sin2xdx
∫sin2x dx=∫(1−cos2x)2dx=12∫(1−cos2x)dx=14∫(1−cos2x)d2x=x2+sinx⋅cosx2+C
第一类换元法
其实就是运用微积分基本定理
dF=fdx
从右往左变换,有时可以简化问题
举例
求∫tanx dx
∫tanx dx=∫sinxcosxdx=−∫1cosxdcosx=−ln∣cosx∣+C
第二类换元法
类似的,我们选择从左往右计算,即把d里的拿出去,不能理解请参考第一类换元法
一道例题
求∫1x+1dx
发现只是带了一个常数,有
dx=d(x+1)
于是就迎刃而解了
∫1x+1dx=∫1x+1d(x+1)=ln∣x+1∣+C
再来一道例题
求∫1x2√x2−1dx
先给出第一类换元法的解法,以供参考
∫1x2√x2−1dx=∫1x3√1−1x2dx=∫(1x)31√1−(1x)2dx=∫u31√1−u2d1u=∫−u√1−u2du=√1−u2+C=√x2−1x+C
上文中,我们令u=1x,大大化简了运算
接下来,采用第二换元法,我们考虑三角换元来消去根号,令
x=sect=1cost
用t代换原式中的x,得
∫1x2√x2−1dx=∫cos2ttantcosttantdt=∫cost dt=sint+C=√x2−1x+C
分部积分法
这是一种神秘的方法
考虑函数乘积的求导法则:
(fg)′=f′g+fg′
类似的,我们可以得到:
∫u dv=uv−∫v du
证明不难,在此略过
一道巧妙的题目
求∫ln xx3dx
A=∫ln xx3dx=∫1x3d(x⋅lnx−x)=lnx−1x2−∫(x⋅lnx−x)d(1x3)=lnx−1x2+3∫lnx−1x3dx=lnx−1x2−32x2+3∫lnxx3dx=lnx−1x2−32x2+3A−2A=lnx−1x2−32x2A=−2lnx+14x2
停不下来了,再来一题
求∫exsinxdx
似乎不好直接做,考虑构造形式上“共轭”的一个积分,令
A=∫exsinxdxB=∫excosxdx
显然
A=∫sinxdexB=∫cosxdex
对A分部积分
A=∫sinxdex=exsinx−∫exd sin x=exsinx−∫excosxdx=exsinx−BA+B=exsinx
再对B分部积分
B=∫cosxdex=excosx−∫exd cosx=excosx+∫exsinxdx=excosx+A−A+B=excosx
整理得
{A+B=exsinx−A+B=excosx
不难解得
{A=sinx−cosx2exB=sinx+cosx2ex
即
∫exsinxdx=sinx−cosx2ex+C
温馨提醒:
适度积分怡情,过度积分伤身,合理积分,请勿沉迷
致谢
感谢人形魔芋,Gyan的查错和llmmkk,人形魔芋对于排版的建议
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