不定积分简陋入门

dy=dy=ydx=d(x+a)d ax=adxf dx=FdF=f dx

不定积分

定义

我们作为OIer,并不需要知道严谨的数学定义,我们只需要知道d是两种算符,这里给出粗略的解释:d表示微小变化量,联系导数的定义:f(x)x0处的导数为(不妨认为f(x)可导)

f(x)=limΔxx0f(x0+Δx)f(x0)Δx=f(x0+dx)f(x0)dx=dfdx

于是有

f=f(x)df=fdx

这就是微积分基本定理,其中f叫原函数

值得一提得是

(f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dxkf(x)=kf(x)d ax=a·dx

就是d的逆运算,即满足

dy=dy

不难推出

dx=d(x+a)

这条性质其实十分重要且易忘

积分本质就是求一个函数的原函数,微分就是求原函数的对应函数,对于微分我们容易求出,对于积分,我们则需要一定的技巧

顺带一提,积分后需要加常数,显然这是不影响微分的结果的,但这是人们常常忘记的

不定积分的求法

初等变换

主要考察初等变换能力,这里只给出一道例题

sin2xdx

sin2x dx=(1cos2x)2dx=12(1cos2x)dx=14(1cos2x)d2x=x2+sinx·cosx2+C

第一类换元法

其实就是运用微积分基本定理

dF=fdx

从右往左变换,有时可以简化问题

举例

tanx dx

tanx dx=sinxcosxdx=1cosxdcosx=lncosx+C

第二类换元法

类似的,我们选择从左往右计算,即把d里的拿出去,不能理解请参考第一类换元法

一道例题

1x+1dx

发现只是带了一个常数,有

dx=d(x+1)

于是就迎刃而解了

1x+1dx=1x+1d(x+1)=lnx+1+C

再来一道例题

1x2x21dx

先给出第一类换元法的解法,以供参考

1x2x21dx=1x311x2dx=(1x)311(1x)2dx=u311u2d1u=u1u2du=1u2+C=x21x+C

上文中,我们令u=1x,大大化简了运算

接下来,采用第二换元法,我们考虑三角换元来消去根号,令

x=sect=1cost

t代换原式中的x,得

1x2x21dx=cos2ttantcosttantdt=cost dt=sint+C=x21x+C

分部积分法

这是一种神秘的方法

考虑函数乘积的求导法则:

(fg)=fg+fg

类似的,我们可以得到:

u dv=uvv du

证明不难,在此略过

一道巧妙的题目

ln xx3dx

A=ln xx3dx=1x3d(xlnxx)=lnx1x2(xlnxx)d(1x3)=lnx1x2+3lnx1x3dx=lnx1x232x2+3lnxx3dx=lnx1x232x2+3A2A=lnx1x232x2A=2lnx+14x2

停不下来了,再来一题

exsinxdx

似乎不好直接做,考虑构造形式上“共轭”的一个积分,令

A=exsinxdxB=excosxdx

显然

A=sinxdexB=cosxdex

A分部积分

A=sinxdex=exsinxexd sin x=exsinxexcosxdx=exsinxBA+B=exsinx

再对B分部积分

B=cosxdex=excosxexd cosx=excosx+exsinxdx=excosx+AA+B=excosx

整理得

{A+B=exsinxA+B=excosx

不难解得

{A=sinxcosx2exB=sinx+cosx2ex

exsinxdx=sinxcosx2ex+C

温馨提醒:

适度积分怡情,过度积分伤身,合理积分,请勿沉迷

致谢

感谢人形魔芋,Gyan的查错和llmmkk,人形魔芋对于排版的建议

posted @   嘉年华_efX  阅读(1003)  评论(0编辑  收藏  举报
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