突然理解一些作者该写的不写，摸鱼的却写完的心情了……

Definition

这里的定义非常友好，国内外正好相反。所以这里不会说函数的凹凸性，统一说 $\text{convex}$ 和 $\text{concave}$。

这里，我们参考外文书中的规范，$t\in(0,1),f\big(tx+(1-t)y\big)\le tf(x)+(1-t)f(y)$ 定义了 $\text{convex function}$。不等号反向的是 $\text{concave function}$。

有几个等价的定义

首先证明这样的定义是等价的。

1

$t\in(0,1),f\big(tx+(1-t)y\big)\le tf(x)+(1-t)f(y)\Leftrightarrow f(\frac{x+y}{2})\le \frac{f(x)+f(y)}{2}$

左边推出右边是显然的，取 $t=\frac12$ 即可。

右边推出左边的一个自然的想法是用二进制逼近。

发现

接下来处理分子就可以了。

首先，和上面一样，一个分子 $S$ 如果对某个 $n$ 成立，对于更大的也成立。

可以发现，$n=1$ 的时候 $0,1$ 是成立的，可以考虑证明对于任意 $n$，$2^{n-1}+k$ 还是成立的。

于是，取 $1\le k<2^{n-1}$（$k=0$ 的情况是显然的）

然后用二进制逼近任意实数就可以了。

$\#$ 这个做法有点蠢，等会给个更好的做法。

2

$t\in(0,1),f\big(tx+(1-t)y\big)\le tf(x)+(1-t)f(y)\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)\ge 0$

考虑证明，$\forall x<y,f^\prime(x)\le f^\prime(y)$。

一个直观的想法是证明 $m:=\frac12x+\frac12y,\frac{f(m)-f(x)}{m-x}\le\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\le\frac{f(y)-f(m)}{y-m}$。

这个其实比较容易，只需要注意到 $m-x=\frac12(y-x)=y-m$ 然后取 $t=\frac12$ 即可。

重复使用这个不等式，可以得到 $a=(1-\frac{1}{2^n})x+\frac{1}{2^n}y,b=\frac1{2^n}x+(1-\frac1{2^n})y,\frac{f(a)-f(x)}{a-x}\le\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\le\frac{f(y)-f(b)}{y-b}$，这个就是左右导数的定义，然后你都二阶导了一阶导肯定是存在的，于是就得证了。

3

$f^{\prime\prime}(x)\ge0\Rightarrow f(\frac{x+y}{2})\le \frac{f(x)+f(y)}{2}$

不妨设 $x<y$，记 $u=\frac{x+y}{2}$，在 $(x,u),(u,y)$ 上分别用一下拉格朗日中值定理。

于是就有

注意到 $u-x=y-u$ 就结束了。

4

现在给出 $\mathrm{1}$ 中所说更好的做法。

直观地看，函数是 $\text{convex}$ 的等价于函数图像在弦下面，弦方程显然是 $l(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$。

考虑 $g(x)=f(x)-l(x)$，证明 $g(x)_{\max}\le 0$ 即可。

因为 $l(x)$ 是一个线性函数，容易发现 $f(\frac{x+y}{2})\le \frac{f(x)+f(y)}{2}\Rightarrow g(\frac{x+y}{2})\le \frac{g(x)+g(y)}{2}$。

如果最大值在端点处取到，因为 $g(a)=g(b)=0$，那就做完了。

考虑在 $x_0\in(a,b)$ 处取到最大值，不失一般性，$x_0\in(a,\frac{a+b}{2})$。

这时有

于是 $g(x)_{\max}=g(x_0)\le 0$。得证。

连续性

$\text{convex function}$ 在内闭区间上是 $\text{Lipschitz}$ 连续的。也就是 $\forall x,y\in[a,b],|f(x)-f(y)|=O(|x-y|)$。

这里好像需要介绍一下内闭区间，首先 $[a,b]$ 这样是闭区间，然后内的意思是 $[a,b]$ 中都是定义域 $I$ 的内点，也就是 $\forall x\in[a,b]$，存在一个 $x$ 的邻域其中都是 $I$ 中的点。

这里就是考虑定义 $2$ 中证明的不等式：$m:=\frac12x+\frac12y,\frac{f(m)-f(x)}{m-x}\le\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\le\frac{f(y)-f(m)}{y-m}$，容易发现取 $m=tx+(1-t)y$ 也是对的，之前只是我懒了。

然后取 $A,B\in I\setminus[a,b]\quad s.t.A<a<b<B$，可以知道

于是 $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$，其中 $M=\max\{|\frac{f(a)-f(A)}{a-A}|,|\frac{f(B)-f(b)}{B-b}|\}$。