我突然意识到也许知道上极限和下极限再来血这个会容易一点。QwQ

符号约定

\(\mathbb{N,Z,Q,R}\) 在之前已经构造了，应该不存在问题。

\(\log n\) 表示 \(n\) 取自然对数（也就是国内用的 \(\ln\)）。

历史遗留问题

在 [[分析基础 I]] 中提到不同定义下的 \(\mathbb{R}\) 是 \(\text{isomorphism}\) 的，当然，我们认定不管怎么声明的 \(\mathbb{R}\)，\(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\)。

现在需要证明 \(2\) 件事，一个是之前构造的 \(\mathbb{R}\) 是极大的阿基米德序域（我们把这样的东西叫实数域），一个是不同的极大阿基米德序域同构。

假设存在 \(\mathbb{R}\subset A\)，满足 \(A\) 也是阿基米德序域，取 \(B=A\setminus\mathbb{R}\)，\(b\in B\)。

考虑集合 \(C=\{r\in\mathbb{R}\mid r<b\}\)，根据阿基米德性，\(\exists n\in\mathbb{N}\quad s.t. b<n\)，于是 \(C\) 存在上界 \(n\)，运用确界原理，\(C\) 有上确界。

根据 \(C\) 的定义，\(\forall x\in[\sup C,b],x\not\in\mathbb{R}\)，故 \(\forall n\in\mathbb{N}^*,b-\sup C<\frac1n\)，那么 \(\forall n\in\mathbb{N},\frac{1}{b-\sup C}>n\)，与阿基米德性矛盾。

接下来证明不同的极大阿基米德序域同构。

上面的证明已经说明了完备是极大的，这里只需要证不完备的不是极大的就可以了，太 \(\text{trivial}\) 了，看这里吧（主要是因为这个证明是非标准分析的）

Measure

Riemann 积分

Riemann 可积

严格地说，积分和 \(\text{Riemann}\) 积分是不同的概念，\(\text{Riemann}\) 积分只是一种特定的积分方法。

求解曲线下的面积是一个非常古老的问题，然后大家都会定积分去做。

这里稍微推导一下。假设我们积分的函数是 \(f\)，考虑把区间 \([a,b]\) 分成 \(n\) 份，端点依次为 \(x_1,x_2,x_3\ldots x_n\)。我们求解每个小矩形的面积。注意，取左端点的函数值和取右端点的函数值，至少在这里，是不等价的，分别被称为上/下 \(\text{Riemann}\) 和。于是考虑

其中

直觉是划分得足够细时会有 \(L([a,b])=R([a,b])\)，但这个描述不够好。

注意到 \(\{x_n\}\) 本质上是对 \([a,b]\) 的划分，考虑 \(\mathcal{P}\) 是 \([a,b]\) 上所有划分构成的集合，那么定义

如果最后有 \(L=R\)，那么就记 \(\int_a^bf(x)\text{d}x=L=R\)，称 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 \(\text{Riemann}\) 可积。

Riemann 可积的条件

其实上面已经说了，\(\text{Riemann}\) 可积的条件就是 \(L=R\)，但这个条件直接用不是很好用。

考虑严格化之前简略的自然语言描述划分得足够细。简单一点，使用 \(\epsilon-\delta\) 语言：

\({\color{red}\text{错误的定义:}}\)如果 \(f\) 在 \([a,b]\) 上满足 \(\exists I\in\mathbb{R},\forall \epsilon>0,\exists\{x_n\},n\to+\infty\quad s.t.|L(f,[a,b],\{x_n\})-I|,|R(f,[a,b],\{x_n\})-I|<\epsilon\)。

这就是改写了之前的极限，相当于 \(\int_a^bf(x)\text{d}x=I\)。

这个定义存在问题，比如考虑函数 \(f(x)=x^2\)，现在取 \(I=0\)，不消说这是错的，考虑一种病态的划分，所有 \(x_i=0\)，只有 \(x_n=1\)（当然，这里没有约束 \(x_i\) 严格单增，但依然可以构造出反例，这里只是为了简洁）。

导致这种问题的原因是我们的划分不够均匀，于是我们添加\({\color{red}\text{约束:}}\) \(\exists\delta>0,x_{k+1}-x_k<\delta\)。这样很直观地符合我们对面积的想法。

一般的教材上是直接采用 \(L\) 定义 \(I\)，但我觉得这种方法更简洁。

比如说证明 \(\delta(x)=\begin{cases}&1&x\in\mathbb{Q}\\&0&x\not\in\mathbb{Q}\end{cases}\) 是 \(\text{Riemann}\) 不可积的，只需要注意到 \(L\ge b-a\)，当取的 \(x_i\in\mathbb{Q}\) 时；\(R\le0\)，当 \(x_i\not\in\mathbb{Q}\) 时。

两种定义的等价性大概就是考虑 \(m_i<f(x_i)<M_i\)，然后逼近就可以了。

不定积分

不会介绍技巧，至少不是这里。这里也不会讨论求导的历史，实际上，我们已经在 \(\text{if}\) 世界线狂奔了。

关于不定积分的历史，可以看这里。

关于一些书写上的技术细节，可以参考[这里]((2022)不定积分的一个根本性问题 - 知乎 (zhihu.com))。

Lebesgue 积分

首先，我们跨过过于繁杂的基础知识……

无穷

之前说过，\(\mathbb{R}\) 是最大的阿基米德序域，如果引入了无穷 \(\pm\infty\)，那么 \(R=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}\) 一定不是阿基米德序域。这其实很自然，因为 \(\not\exists n\in\mathbb{N},n>+\infty\)，也就是不满足阿基米德性。

每次扩域，我们都期望不改变之前有的性质，而 \(0\) 是乘法零元显然就是一个很好的性质，于是 \(0\times(\pm\infty)=0\)。

注意区别这里和数学分析中的极限，这里的无穷就是一个”数“，不是一个极限，所以我们可以这样约定来简化运算。

此外，我们约定 \(\forall a\in\mathbb{R},-\infty<a<+\infty,a+\infty=+\infty,a-\infty=-\infty\)，非常符合直觉。为了避免这样那样的悖论，\(+\infty-\infty\) 是 undefined behavior。

这个时候我们看一个问题：\(\sum\limits_{i=0}^\infty a_i\) 是什么意思？

容易知道

注意一般延拓有限的结论到可数和不可数的情形是不同的，这里的无穷求和都是可数项。这里提前使用后面测度的一点内容：不可数多个 \(0\) （注意，不是无穷小量这种逼近，是真的 \(0\)）加起来可以不是 \(0\)，实例就是点构成线段。

这里我们约定，发散可数数列求和结果为 \(\infty\)，正负需要具体分析。

级数

级数的定义，其实没有那么重要。但学会熟练使用其实对 \(\text{Lebesgue}\) 积分也没有上面帮助（大雾）所以也许可以跳过？

收敛的定义

考虑级数 \(\sum\limits_{0}^\infty a_i\)，我们想知道这个求和的结果是不是收敛的。形式化地定义级数收敛就是 \(\exists I\in\mathbb{R},\forall \epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n>N,|\sum\limits_{i=1}^na_i-I|<\epsilon\)。

这个定义直接导出的一个结论就是 \(\exists M\in\mathbb{R},\forall n>m,\sum\limits_{i=m}^na_i<M\)，也就是截断得到的后部一定有界。

Cauchy 收敛定理

数列 \(\{a_i\}\) 收敛当且仅当 \(\{a_i\}\) 是 \(\text{Cauchy}\) 序列。研究级数收敛，只需要研究其前缀和是否收敛。

回顾一下 \(\text{Cauchy}\) 序列的定义：\(\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n,m>N,|a_n-a_m|<\epsilon\)。

之前构造 \(\mathbb{R}\) 的时候好像已经接受了必要性，然后证明了充分性……

关于求和顺序

交换求和顺序是常见的，但在无穷的情形下我们不能自由地交换求和顺序。考虑这个例子 \(\sum_{i=1}^\infty\frac{(-1)^{i+1}}{i}=\log 2\)。

接下来，证明交换求和顺序后 \(\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i}\) 可以收敛到任意实数 \(C\)。

不难证明 \(1+\frac13+\frac15\ldots\) 是发散的，所以可以截取其中前若干项使得其和恰好 \(>C\)。之后按照以下顺序求和：先加入负项 \(-\frac12,-\frac14,-\frac16\ldots\)，因为负项也是发散的，所以一定可以使得当前和恰好 \(<C\)；然后重新加入正项，使之恰好 \(>C\)……

因为正项和负项的截断都无界，所以这个流程可以把所有数都填进去。“恰好”意味着加入 \(\pm\frac1n\) 后，\(|S-C|<\frac1n\)（\(S\) 表示躺枪求和得到的结果），误差的确可以任意小。

我们也没有什么好办法，只能说这个数列的求和顺序使不难交换的。回顾上面的证明过程，可以发现正项和负项都不收敛导致了这个问题。

容易证明，如果正项和负项分别收敛，那么级数一定收敛（运用之前的内容即可）。所以那些正项或负项发散的级数比较特别，值得我们给个名字。

上文的自然语言描述显得比较繁琐，一个简化的方式是考虑 \(\sum_{i\in\mathbb{N}}|a_i|\) 收敛与否，容易验证两者本质相同。

如果一个级数本身收敛，但取绝对值之后发散，那我们称其为条件收敛；如果取绝对值之后也收敛，那我们称其为绝对收敛。

有 \(\text{Riemann}\) 级数定理：

绝对收敛的级数可以任意交换求和顺序，条件收敛和发散的则不行。

绝对收敛的结论可以参考绝对收敛级数的运算定律，而条件收敛的反例构造和上文类似。

这里也告诉我们，之前学得加法交换律只是有限加法交换律，即使推广到可数上都不一定是对的。

Aixom of choose

其实我们之前的过程已经接受选择公理了，这里只是为了避免后面出现奇奇怪怪的问题直接列出而已。

如果 \(\forall i,\exists x,i\in I\to x\in U_i\)，那么 \(\exists f,\forall i,i\in I\to f(i)\in U_i\)。

直观上，\(\text{AC}\)（选择公理）只是交换了量词的顺序，对于有限的情况是显然的。但对于无穷的情况，这不是很显然，实际上 \(\text{AC}\) 和 \(\text{ZF}\) 公理体系是独立的，也就是说 \(\text{ZF}\) 不能证明也不能证伪 \(\text{AC}\)。这就是我们之前说的，你只能接受或不接受。（据我所知，\(\text{AC}\) 是唯一一个如此广泛的被接受的独立于 \(\text{ZF}\) 公理体系的公理。）

Metric space

写在这里的主要原因是害怕之后忘了……什么大杂烩。所以只介绍基本的概念。

定义距离（\(\text{Metric/Distance}\)）是一个二元函数 \(\rho\)，满足：

1. 正则性：\(\rho(x,y)\ge 0\)，\(\rho(x,y)=0\) 当且仅当 \(x=y\)；
2. 对称性：\(\rho(x,y)=\rho(y,x)\)；
3. 三角不等式：\(\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z)\)。

一个集合 \(X\) 装备一个距离 \(\rho\) 就得到一个度量空间（\(\text{metric space}\)）。

度量的本能

终于，我们开始引入 \(\text{Lebesgue}\) 积分了。

\(3\) 岁小孩也知道”大小“的概念。”大小“更高端一点的说法就是”度量“或”测度“。

学过一点数学的多少有一点测度的本能，比如线段长为 \(l\)，正方形的体积是 \(l^2\)，正方体的体积是 \(l^3\)，那么 \(4\) 维正方体的 \(4\) 维积也应该是 \(l^4\)，依次类推。

集合论告诉我们，\(\mathbb{R}^n\) 本质上都是集合。于是一个 \(\text{naive}\) 的想法是研究一种对集合本身大小的度量方式，这样的度量我们用一个符号 \(\int\) 表示，这就是积分最原本的思想。

\(\#\) 这里也可以看出可数和不可数的区别，比如一个点是没有长度的（或者说 \(1\) 维测度为 \(0\)），可数多个点加起来也没有长度，但一条线段（不可数多个点）是由长度的。

考虑一个超立方体 \(A=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\ldots\times[a_n,b_n]\)，考虑所谓的示性函数 \(\chi_E(x)=\begin{cases}&1&x\in E\\&0&x\not\in E\end{cases}\)（有的地方也写成 \(\mathbf{1}_E(x)\)），那么必有 \(\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{A}(x)\text{d}x\)，但凡犹豫一秒都是对自己直觉的鄙视。

此外，我们还希望有一些性质：\(\int\chi_\varnothing(x)\text{d}x=0\) 和 \(\forall i,j\in[1,n]\cap\mathbb{N},A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow \int\chi_{\bigcup A_i}(x)\text{d}x=\sum_{i=1}^n\int\chi_{A_i}(x)\text{d}x\)，即对不交的有限和等于并。

从区间开始

度量区间的长度，直观上说 \((a,b),[a,b),(a,b],[a,b]\) 的长度都是 \(b-a\)（聪明的同学会注意到其实只需要定义 \((a,b),[a,b]\) 的长度就可以了）。

这时，我们就要回顾 无穷 部分提到的例子了：

不可数个测度为 \(0\) 的点加起来可以构成测度不为 \(0\) 的线段。

目前还没有书写不可数项相加的工具，这里引入 \(\text{index set}\)（指数集）来解决。数列的下标，不一定是自然数，比如我们也可以写 \(X_a,X_b\ldots\)，这时继续叫下标不太好，我们就叫 \(\text{index}\)，也就是用来编号的一些东西。

之前说过，\(\mathbb{R}\) 是不可数的，那我们直接用 \(\mathbb{R}\) 做 \(\text{index set}\) 不就好了。

现在考虑和式：（\(A\) 是不可数的 \(\text{index set}\)）

和之前一样，我们先考虑其是否收敛。一般来说，我们讨论的测度都是正的，所以这里可以假设 \(x_\alpha\ge0\)，那我们讨论的收敛和绝对收敛就没有区别了。

显然，如果其中有可数多项 \(x_\alpha>0\)，就发散。（如果真的希望研究不可数个数的求和，是没有这个性质的）

于是对于 \(x_\alpha\ne 0\)，至多有可数项，可以运用之前的知识解决。现在的问题变成了不可数个 \(0\) 的求和。

Well-defined?

在求解可数求和时，我们默认采用了这样的定义（或其他等价的定义）：

但对于不可数的情形，这个定义不好用（只需要注意到上面定义中无穷个 \(0\) 的加和一定是 \(0\)）。小学生都知道割补法的原理是不同的方法把同一个对象拼起来的大小不变，形式化地，我们希望定义的测度 \(\mathfrak{l}\) 满足：

解决问题的方法不少，比如一个常见的直觉是假设 \(\mathfrak{l}(\varnothing)=0,\mathfrak{l}(\{x\})=\epsilon\)，但我不会……所以这里采用一种暴力的 \(\text{naive}\) 做法：只允许可数个区间满足上面的式子。

你可以觉得被雷普了，觉得理想中的测度是这样的：

1. 所有区间都由“点”构成（“点”在这里只恰有一个元素的集合）；
2. \(\mathfrak{l}(I)\in\mathbb{R}^+\cup\{0\}\)；
3. 每个集合都可测；
4. 测度具有平移不变性（这里的平移是抽象的）；
5. 测度的任意不交并等于测度加。

但这样的测度可以证明是不存在的……我们必须放弃一些性质（比如引入 \(\epsilon\) 本质上是放弃了 \(2\)）。这里我们选择放弃 \(5\)。

长度

为了符合实际，我们对于 \((a,b),[a,b]\) 可以定义其长度为 \(b-a\)。对于别的集合，考虑用已知的区间去拟合，形式化地，考虑

\(\#\) 注意 \(\forall i,j\in\mathcal{I},I_i\cap I_j=\varnothing\)。

\(\#\) 如果愿意，设 \(I_i=[a_i,b_i]\) 也不会有什么问题。其实定义的时候只定义 \(I_i\) 用的那种区间的长度就好了。

这里没有使用“测度”，因为测度有自己的严格定义，这样得到的 \(\mathfrak{l}\) 被称为外测度（\(\text{outer measure}\)），非常形象地描述了用更大的集合从外侧逼近严格集合的过程。

经过一些 \(\text{trivial}\) 的过程，我们可以证明对于区间任意把玩都不会出事，更严格地说，区间可数交并构成的集合都可以。之后不严格地将这些集合称为 \(\text{Borel}\) 集。

但是看到这个性质

我们的定义翻车了……

Cantor set

为什么写这个呢？因为我一开始把不可数和不可测搞混了……

最广为人知的 \(\text{Cantor set}\) 是三分构造的。考虑递归构造：\(A_0=[0,1],A_1=[0,\frac13]\cup[\frac23,1],A_2=[0,\frac19]\cup[\frac29,\frac13]\cup[\frac23,\frac79]\cup[\frac89,1]\ldots\)，就是每次三等分，去掉中间的部分，最后取 \(C=\bigcap\limits_{i=1}^\infty A_i\) 就得到了 \(\text{Cantor set}\)。

容易注意到 \(A_{n+1}-A_n=\frac{2^n}{3^{n+1}}\)。

运用高中生熟练掌握的等比数列求和可知

注意到 \(C\) 中实际上是那些 \(3\) 进制下没有 \(1\) 的数，\(C\) 和 \(\mathbb{R}\) 可以建立一一对应关系，或者说，它们是等势的。于是我们知道一个集合的测度和它的势没有什么关系。

但如果我们不采用三分，比如四分，那么我们就会得到 \(\mathfrak{l}(C_4)=\frac12\)。

Vitali set

定义等价关系 \(x\sim y\leftrightarrow x-y\in\mathbb{Q}\)。设 \(A=\{[x]:x\in[0,1]\}\)，其中 \([x]\) 表示以 \(x\) 为代表元的等价类。现在运用 \(\text{AC}\)，可以从每个 \([x]\) 中选出一个元素 \(x\)，放到一起得到一个集合 \(V\)，这就是 \(\text{Vitali set}\)。（构造主义的好时代来临哩，可以不用选择公理）

这个集合也没有什么特点，也就是不可测而已，即没有测度。

(1). \(\mathfrak{l}(V)=0\)，那么 \(\mathfrak{l}(R)=\sum_{q\in\mathbb{Q}}\mathfrak{l}(V+q)=0\)，矛盾。
(2). \(\mathfrak{l}(V)>0\)，那么 \(\mathfrak{l}([-1,2])\ge\sum_{q\in[0,1]\cap\mathbb{Q}}\mathfrak{l}(V+q)=\infty\)，矛盾。

综上，可以断言 \(\mathfrak{l}(V)\) 不存在。但是别急，\(V\) 虽然没有测度，但可以有外测度。此时两者混用一个符号就不好了，之后我们用 \(m\) 表示外测度。

不过这个时候，\(\mathbb{R}\) 的完备性就会出来进行毒打，\(V\) 的外测度和选择的方式有关！显然，\([x]\) 的代表元可以都任意小，因为 \(\mathbb{Q}\) 也是稠密的，\(\forall\epsilon>0,\exists q\in\mathbb{Q},0<x-q<\epsilon\)。所以 \(\inf m(V)=0\)。

接下来考虑 \(\sup m(V)\)。设 \(\mathcal{B}=\{B:B\subset[0,1]\}\)，其中 \(B\) 是 \(\text{Borel}\) 集。经过一些和分析无关的困难，可以证明 \(\mathcal{B}\) 和 \(\mathbb{R}\) 等势，在多数情况下，这被简写为 \(\sharp\mathcal{B}=c\)。我们可以对做到每个 \(B\in\mathcal{B}\) 中都有至少一个 \(x\in V\)。（其实这是不太容易的，需要超限递归，也许之后 \(\text{googology}\) 的时候会提及一下？）反正这个时候，每个 \(B\) 中都有 \(V\) 的元素，于是 \(\sup m(V)=1\)。

然后考虑 \([0,1]\setminus V\)，可以发现不管怎么样都有 \(m([0,1]\setminus V)=1\)，于是

虽然符号约定都变了，但我们的确说明了外测度不能对任意集合满足可加性。

Lebesgue measurable

于是之后在考虑外测度或测度时，我们需要谨慎地选择那些有良好性质的集合才行。这样的性质被称为 \(\text{Lebesgue measurable}\)，一般中文就叫“可测”。

非常 \(\text{naive}\) 地，我们直接修复上文提到的 \(\text{bug}\)，规定：对于集合 \(X\)，如果\(\forall\epsilon>0,\exists\{(a_i,b_i)\},X\subset\bigcup_{i}(a_i,b_i)\wedge m\big(\bigcup(a_i,b_i)\setminus X\big)<\epsilon\)，那么 \(X\) 就是 \(\text{Lebesgue measurable}\) 的。用自然语言说就是差集可以任意小，那就没有 \(\text{Vitali set}\) 什么事了。

另外一种更常见的等价定义是：满足 \(\forall Y\subset\mathbb{R},m(Y)=m(X\cap Y)+m\big(X\cap(\mathbb{R}\setminus Y)\big)\) 的 \(X\) 可测。还有一些诸如可数并、可数交、求补集不改变可测性的证明是很 \(\text{trivial}\) 的，几乎就是 \(\epsilon-\delta\) 语言书写练习的翻版，技术细节我们选择挂到外面，注意两边符号约定有点小差别。

Lebesgue 积分

有一些常见的函数没有 \(\text{Riemann}\) 积分，比如 \(\delta(x)=\begin{cases}&1&x\in\mathbb{Q}\\&0&x\not\in\mathbb{Q}\end{cases}\)，但大家都有一种直觉，因为 \(\mathbb{Q}\) 和 \(\mathbb{R}\) 比起来很“稀疏”，所以 \(\int_0^1\delta(x)\text{d}x=0\) 时很恰当的。

反思 \(\text{Riemann}\) 积分的局限性，就是过于关注连续的结构，于是自然可以想到一种依赖值域而非定义域的积分方式，这就引出了 \(\text{Lebesgue}\) 积分。

一个形象的例子：\(\text{Riemann}\) 当收银员，每收一次钱就加到总额上，最后就得到了总额；\(\text{Lebesgue}\) 统计每种面额的数目，然后用面额乘数目加起来就得到了总额。

考虑一类名为”简单函数“的函数：

再考虑 \(\xi_A(x)=A\chi_{A}\big(f(x)\big)\)，相当于选择出一个特定的函数值。对于这样简单函数的组合的积分，我们是会求的。（其实没有那么显然，需要用之前关于测度的内容证明一下）

一个直观的想法是让 \(A\) 取遍 \(f\) 的值域的同时 \(x\) 取遍 \(f\) 的定义域，加起来就可以得到 \(\int f\)。

这样的描述显然过于自然语言，考虑和 \(\text{outer measure}\) 一样的思路，使用一侧去逼近。这样我们可以定义出上积分和下积分。

因为通常，我们关心一个积分是否发散，而如果下界都是 \(\infty\)，那当然是发散的。所以往往只考虑下积分 \(\underline{\int}\)。

形式化地，考虑一个简单函数的组合 \(s\)，满足 \(\forall x,0\le s(x)\le f(x)\)，那么 \(\underline{\int}f=\sup\{\int s\}\)。于是，我们直接采用 \(\underline{\int} f\) 作为 \(\int f\) 就可以了，特别地 \(\underline{\int}f=\pm\infty\) 时，称 \(\int f\) 发散。

上面解决了非负函数的问题，但大家应该还记得之前条件收敛的锅，积分收敛也是条件收敛，\(\int|f|\) 收敛叫绝对收敛，所以一般的教材上是分 \(+\) 部和 \(-\) 部讨论得到整体的积分值的。

后记

\(\text{I am under mental attack!}\)

写到最后神志不清，可能不如网上一般的资料，但前面比较痛苦的部分应该写得差不多了。后续还可能介绍一种在 \(\mathbb{R}^n\) 上更强的积分，参考 Henstock–Kurzweil integral - Wikipedia。

是不是该写一点奇技淫巧的内容了？