因为大家都是法国小学生，所以应该先学 Group Theory I 和 Group Theory II 再学分析。

前言

“分析”几乎特指对“无穷”的讨论。数学分析起源于第二次数学危机，当时大家发现，在有限上成立的事，在无限上不是显然成立的。

比如经典的和式：

采用不同的求和顺序会得到不同的结果。

数学分析是对带学生的毒打（$\text{mental attack to human}$）。—— llmmkk

实数理论

引入

研究一个对象，自然会想到一个问题，它有什么性质？于是，我们问实数有什么性质？但是，我们严格定义实数了吗？

可以参考 Group Theory II 中的一些讨论，这里我们不考虑那些太接近数学哲学的内容，考虑用集合论定义“数”。（这样会很难想到超现实数之类的东西，然后接受很多东西作为公理在大多数时候是等价的，这里随便选一种得哩。如果想更好地理解这些内容，适当学一点符号哲学是有好处的）

自然数

你随便问一个意大利的小朋友（$\text{Peano}$ 是意大利人），他都可以告诉你什么是自然数。简单地说，自然数是这样的：

1. 每个自然数都有一个互不相同的后继（$\text{successor}$）自然数；
2. 存在一个自然数 $0$ 不是任何自然数的后继；
3. 一个集合 $S$，满足 $0\in S\wedge\forall n\in S,n\text{ 的后继 }n^\prime\in S$，那么 $S$ 就是全体自然数集。

这个定义是很简明的，也容易验证这符合常规理解上的自然数，不过是用数学语言改写了一下。（$3$ 是定义了全体自然数是什么）

不过集合论出现后，可以更进一步。既然所有东西都是集合，那“数”为什么不能是集合呢？因为对于集合来说，数没有任何特别的地方高中把函数定义未数集到数集的映射是可笑的）。

感性理解一下，$0$ 是一个非常特别的自然数，我们希望用一个特别的集合表示它。自然，我们可以想到 $\emptyset$，于是我们约定 $0\equiv\emptyset$（这里用恒等号 $\equiv$ 而不是 $=$ 是想强调，我们就是在说一个东西，只不过在讨论数的时候写成 $0$ 而已，可以参考 c 中的宏定义，如果你愿意，也可以用 $\{\emptyset\}$ 之类的）。

接下来，我们还需要用集合论语言改写 $2$（注意到 $3$ 不必要改写）。构造性地给出 $n$ 的后继为 $n^\prime=\{n\}$。这里其实非常自然，就是数 $\emptyset$ 外面有几层括号就是几。（当然用 $\{n,\{n\}\}$ 等别的约定也没有任何问题）

最后，我们给全体自然数构成的集合一个符号 $\mathbb{N}$。

整数

大家已经很清楚整数的性质了，现在需要的只是给出一个形式化的定义。

大家都知道，整数就是比自然数多了一个正负。但现在只能用正的操作。为了书写方便，定义运算 $+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N},(a,b)\to a^{\underbrace{\prime\prime\cdots\prime}_{b\text{ 个 }\prime}}$。

注意到 $a-b=c-d\Leftrightarrow a+d=b+c$。考虑等价关系 $a,b,c,d\in\mathbb{N},(a,b)\sim(c,d)$ 当且仅当 $a+d=b+c$。

看上去我们已经完成了定义，但是……我们还没有定义什么是有序对。一个简单的操作是定义 $(a,b)=\{a,a\cup b\}$。

这时，聪明的同学会发现，我们之前对自然数的定义会导致无法区分数和数对的问题，所以采用 $\{n,\{n\}\}$ 定义自然数还是有好处的。（如果你可以对有序对给出别的合理的定义也可以不用改）

接下来，我们定义 $\mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim$（这里是把 $\sim$ 下的等价类当成同一个元素的意思）。然后，为了书写方便，我们可以把 $(0,n)$ 作为代表元，简写为 $-n$。

有理数

理智告诉我们，有理数是可以表示成整数之比的数。

掐指一算，有理数有一个分子，一个分母，用有序对表示正好。不过为了避免之后翻车，我们先定义乘法。

首先是自然数的乘法 $\cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N},(a,b)\to\sum\limits_{i=1}^ba$，反正 $\sum$ 只是很多 $+$ 的缩写，所以这个定义还是良的。

之后才可以定义整数的乘法 $\cdot:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mapsto\mathbb{Z},\big((a,b),(c,d)\big)=(ac+bd,bc+ad)$。（就是把 $(a-b)(c-d)$ 展开）

不消说，$\frac12,\frac36,\frac{-114}{-228}$ 都表示同一个有理数，可以想到定义等价关系 $(z_1,z_2)\simeq(z_3,z_4):z_1\cdot z_4=z_2\cdot z_3$ 从而避免除法，其中 $z_i\in\mathbb{Z},i\in\{1,2,3,4\}$。此时，自然可以想到 $\mathbb{Q}=\Big(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\})\Big)/\simeq$。

$\mathbb{Q}$ 上可以类似地定义 $+,-,\times$ 等运算，这里略过。

实数

其实到底什么是实数，现在是有争议的，这里随便选一种路径，不会影响后续内容。

大家都知道 $\mathbb{Q}$ 是稠密的，因为 $\frac ab<\frac cd\to \frac ab<\frac{\frac ab+\frac cd}{2}<\frac cd$（不要计较没有定义 $<$ 的事）。证明 $\sqrt 2$ 不是有理数是初中生都会的内容，这里就不写了。然后上一个意识到有理数之间还有数的人在湖底~。

但仔细想想，实数其实没有那么显然。你说实数是无限不循环小数，其实已经包含了实数可以被有理数任意逼近的想法，这样的话，其实你已经知道什么是实数了。（虽然实际上就是这样的……）

我们都知道实数 $\mathbb{R}$ 应该比 $\mathbb{Q}$ 更“稠密”，这样的性质还叫稠密性就不好了，于是一般叫“完备性”（$\text{completeness}$）或“连续性”（$\text{continuity}$）。为了严格描述这一性质，我们需要引入“界”的概念。（我们不加说明地使用了序，感性理解是没有什么问题的。实际上，有些实数是不可定义的，自然也是不能比较大小……）

此外，还有一个性质叫“阿基米德性”，是说对每个实数，都存在比其大的自然数。

极限与柯西序列

直观感受，数列 $\{\frac1n\}$ 的极限应该是 $0$。转化一下直觉，“极限”应该是描述无限接近的概念，也就是误差可以任意小。

考虑一个数列 $\{a_n\}$，我们先假设其有极限 $A$，再考虑误差 $\delta_n=A-a_n$，最直观的感受是 $\delta_n$ 应该不断变小，但 $\{\frac{(-1)^n}{n}\}$ 的极限也应该是 $0$，误差却永远在正负间变化，所以我们应该考虑绝对误差 $\delta_n=|A-a_n|$。

自然地，当 $n$ 足够大时，$\delta_n$ 应该足够小。于是可以写出符合直觉的定义：

（$s.t.$ 就是“满足”的意思）如果上述条件成立，就称 $\{a_n\}$ 有极限 $A$ 或收敛到 $A$，写作 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$。

然后，$A\in\mathbb{R}$！（这也被称为 $\mathbb{Q}$ 对极限不封闭）这个时候，事情就有点不对劲了，这不是先用了实数，再定义实数吗？我们需要一个不循环论证的实数构造。

注意力集中一点可以注意到 $2\epsilon\ge |a_n-A|+|a_m-A|\ge|a_n-a_m|$。然后 $\epsilon$ 反正是任取的，所以前面的常数 $2$ 不重要。这引出了 $\text{Cauchy}$ 序列的定义：

此时，我们把这个无穷有理数列 $\{a_n\}$ 称为一个实数……吗？

注意到 $\{\frac1n\}$ 和 $\{-\frac1n\}$ 都定义了 $0$，但一个实数自然是唯一的，所以我们需要用等价类约束一下。

$\text{Cauchy}$ 序列其实源于原始的极限定义，也就是说如果我们用 $\{a_n\}$ 定义实数 $A$，必定有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$。

那么自然想到，如果 $\{a_n\},\{b_n\}$ 都表示同一个实数 $A$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n-b_n=0$，作差是为了避免对实数的直接讨论，因为显然有 $0\in\mathbb{Q}$。

对于实数的四则运算，按照直觉，直接对序列对应项进行有理数的对应运算即可。

接下来考虑实数的正负，这个只需要考察 $n$ 足够大时 $a_n$ 的正负就可以了。于是我们可以放心地把有理数的性质迁移到实数上。

注意到我们在构造实数的时候重新构造了有理数，就像我们在构造有理数时重新构造了整数一样，于是前面的内容要在实数意义下全部重写一遍。

确界原理

有的地方会用 $\text{Cauchy}$ 收敛定理证明确界原理。

高中的时候，大家经常遇到这种问题，比如取值区间是 $[1,2)$，那就不能问最大值，因为没有。但是这好呢不符合直觉，$2$ 的确给出了一种约束。

考虑 $l\le x\le r$，我们就说 $l$ 给出 $x$ 的下界（$\text{lower bound}$），$r$ 给出了 $x$ 的上界（$\text{upper bound}$）。直观感受一下，一般存在最大的 $l$ 和最小的 $r$，不妨分别称其为下确界（$\text{infimum}$）、上确界（$\text{supremum}$）。

接下来考虑先形式化定义上界（下界同理），

$S$ 是全序集，对于 $E\subset S$，如果 $\exists\alpha\in S,\forall e\in E,e\le\alpha$，那么称 $E$ 有上界，并且 $\alpha$ 是 $E$ 的一个上界。

之前说了，上确界是最小的上界，于是自然考虑

$S$ 是全序集，对于 $E\subset S$，如果 $\beta$ 是 $E$ 的上界，如果 $\forall \gamma<\beta$，$\gamma$ 不是 $E$ 的上界，那 $\beta$ 就是 $E$ 的上确界，记为 $\sup E$。（下确界的符号是 $\inf E$）

看看几个平凡的性质。

$\sup E$ 唯一。

否则假设有两个上确界 $a,b$，那么 $a\le b,b\le a\Rightarrow a=b$。

这里，我们接受一个公理（确界原理）：

$E\ne\emptyset$，且有上界，那么 $E$ 有上确界。

这里，我们再次强调，我们知道什么是 $\mathbb{R}$，我们只是在用数学语言定义它。所以接受几个等价定理中的任意都是合理的（因为是可以互推的）。

单调有界原理

单调有界的数列 $\{x_n\}$ 收敛。

这个几乎是确界原理的直接推论，因为极限就是 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\sup \{x_n\}$。（有细节懒得写了）

闭区间套定理

$I_n$ 是闭区间，满足 $I_{n+1}\subset I_n$，$\lim\limits_{n\to\infty}|I_n|=0$，那么 $\{I_n\}$ 是一个闭区间套。

考虑闭区间套 $\{I_n\}$，$\bigcap\limits_{i=0}^\infty I_i\ne\emptyset$。

闭区间套定理看上去有点抽象，但其实是说一个闭区间套最后会收敛到一个实数上。

考虑 $I_n=[a_n,b_n]$，那么运用单调有界定理，$\{a_n\},\{b_n\}$ 分别存在极限 $A,B$。根据确界的定义就有 $A\le B$，然后取极限就完了。

凝聚定理（Bolzano-Weierstrass 定理）

有界数列必有收敛子列。

这里的有界指同时有上下界，就是取出一个闭区间套就可以了。

有限覆盖定理

首先定义开覆盖：

$I=[a,b]=\bigcup_{\alpha}O_\alpha$，其中 $O_\alpha$ 是开区间，那么 $\{O_{\alpha}\}$ 就是 $I$ 的一个开覆盖。

有限覆盖定理就是说：开覆盖总是可以是有限的。

我们知道，有限加有限不会得到无限。于是考虑反证，假如必须要无限个开区间，那每次二分区间，一定至少有一边有无限个开区间。不断二分可以得到一个闭区间套。

运用闭区间套定理可以知道，最后会收敛到一个实数 $\xi$ 上，根据极限的定义，存在某个闭区间可以被区间 $(\xi-\epsilon,\xi+\epsilon)$ 覆盖，矛盾。于是原命题成立。

不同的证明可以参考这里。（我觉得里面的实数不是良定义的，但我不清楚）

Dedekind 的方法

除了 $\text{Cauchy}$ 序列外，还有一种构造实数的方法。$\text{Dedekind}$ 注意到我们可以用有理数任意地逼近无理数，于是想到用这种逼近来构造实数。

首先，考虑把 $\mathbb{Q}$ 划分为 $2$ 个集合 $A,B$，满足

1. $A\cup B=\mathbb{Q}$
2. $A\cap B=\emptyset$

随便考虑一个无理数，比如 $\sqrt2$，那么我们取 $A=(-\infty,\sqrt2]\cap\mathbb{Q},B=(\sqrt2,+\infty)\cap\mathbb{Q}$。

对于有理数，我们进行相同的操作，比如 $1$，取 $A=(-\infty,1]\cap\mathbb{Q},B=(1,+\infty)\cap\mathbb{Q}$。

接受无理数可以和有理数比大小已经可以被有理数逼近之后，这样的划分就确定了一个实数。

这相当于说，我们的确不知道 $\sqrt2$ 是多少，但我们可以通过某种方式（比如按计算器），得到一个有理数取逼近它，我们把上下界的任意多项逼近放到一起就描述了一个实数，这样的操作就被称为 $\text{Dedekind}$ 分割。

$\text{Dedekind}$ 分割下新定义的有理数和无理数的区别就在于 $\sup A$ 是否可以被取到。

$\text{Conway}$ 的 $\text{surreal number}$ 实际上是类似的思路，不过他发现，只取 $2$ 进制下的最接近的上下界就可以了。

实数是不可列的

如果一个集合是可列的，那么可以给集合中每个元素一个不重复的自然数编号。

比如 $\mathbb{Q}$ 是可列的，可以参考经典的康托对角线法。

对于任意实数区间 $(a,b)$ 都可以通过乘常数、加常数，从而被映射到 $(0,1)$ 上，接下来只需要讨论 $(0,1)$ 是否可列。

考虑反证法，假如给出了一组编号，考虑 $a_i=0.t_{1j}t_{2j}t_{3j}\ldots$，再取 $a=0.b_1b_2b_3\ldots$，其中 $b_i=\begin{cases}&0&t_{ii}\ne0\\&1&t_{ii}=0\end{cases}$。

发现 $a\not\in\{a_n\}$，但是 $a\in(0,1)$，于是这样的 $\{a_n\}$ 不存在。

后记

因_吹斯_汀

我最早学的实数理论就是 $\text{surreal number}$，没想到吧。仔细研究就会进入 $\text{ZFC}$ 的世界，反正我还不准备进去。之后写什么内容呢？