基本DP优化

DP优化

斜率优化

求$f(i)=max\{f(j)+(s(i)-s(j))^2\}$，$n\leq 10^6$.

其中$\,s(x)\,$是只和$\,x\,$有关的单调减函数，可以快速计算

显然我们不能$\,\Theta(n^2)\,$暴力计算，考虑减少决策数，化简得：

$$f(i)=max\{f(j)+s^2(i)+s^2(j)-2s(i)s(j)\}$$

由于考虑优化决策，把$\,j\,$单独提出：

$$\exists\, j<i \,\,,\,\,f(i)=f(j)+s^2(i)+s^2(j)-2s(i)s(j)$$

考虑两个决策$\,j,k\,$何时是$\,j\,$更优：

$$f(j)+s^2(i)+s^2(j)-2s(i)s(j)\geq f(k)+s^2(i)+s^2(k)-2s(i)s(k)$$

$$f(j)-f(k)+s^2(j)-s^2(k)\geq 2s(i)[s(j)-s(k)]$$

令

$$F(x)=f(x)+s^2(x)$$

则

$$F(j)-F(k)\geq 2s(i)[s(j)-s(k)]\\ \frac{F(j)-F(k)}{s(j)-s(k)}\geq 2s(i)$$

不难发现$\,F(j),F(k),s(j),s(k),s(i)\,$都是定值

对于每个决策$\,j\,$，使其对应一个定点$\,(s(j),F(j))\,$，则$\,\frac{F(j)-F(k)}{s(j)-s(k)}\,$为$\,j,k\,$间斜率

考虑维护斜率，画图手玩不难发现（我懒得画图），其实就是维护一个上凸包，如果是小于等于则是下凸包，关于如何维护，我们等会再讲，先考虑答案的处理

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注意到，对于最优的$\,j\,$，有

$$f(i)=F(j)+s^2(i)-2s(i)s(j)$$

其中$\,s^2(i)\,$是常数，可以忽略，设

$$f(i)=-K(i)s(j)+y(j)\\ K(i)=2s(i)\\ y(j)=F(j)=f(j)+s^2(j)$$

设$\,y=kx+b\,$过点$\,(0,-K(i)s(j)+y(j)),(s(j),y(j))\,$，联立得

$$\begin{cases} b=-K(i)s(j)+y(j)\\ ks(j)+b=y(j) \end{cases}$$

解得

$$k=K(i)$$

发现这是不受决策影响的，而答案就是$\,b$，要最大化$\,b\,$就是在凸包上找一个点使得其截距最大，显然可以三分

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接下来考虑如何维护凸包

对于新插入的点，由于$\,s(j)\,$的单调性，一定是在结尾处插入，又因为有$2s(j)$的单调性，所以现在更劣的解一定不会在将来被选到，形式化地，我们有：

$$\exists\,j: \frac{F(j)-F(k)}{s(j)-s(k)}\geq 2s(i)\geq 2s(i+\Delta)$$

故而对于新插入的点，我们只需要依次遍历它之前的点，只到一个不可被删去的点，简单代换即可，证明如下：

$$if\quad i<j<k\and\frac{F(j)-F(k)}{s(j)-s(k)}\geq 2s(l)\,\and\,\frac{F(i)-F(j)}{s(i)-s(j)}\geq 2s(l)\\ F(j)-F(k)\geq 2s(l)[s(j)-s(k)]\and F(i)-F(j)\geq 2s(l)[s(i)-s(j)]\\ F(i)-F(k)\geq 2s(l)[s(i)-s(k)]\\ \frac{F(i)-F(k)}{s(i)-s(k)}\geq 2s(l)$$

可以发现，一个点只会被扫到$\,\Theta(1)\,$次，而凸包上找答案的复杂度是$\,\Theta(log）\,$，所以总复杂度就是$\,\Theta(n\log n)\,$的

四边形不等式

用途

大概是可以把一些$\,\Theta(n^3)\,$时间填$\,\Theta(n^2)\,$的表的dp的时间优化到$\,\Theta(n^2)\,$

定义

如果

$$\forall a\leq b<c\leq d\\ w_{a,c}+w_{b,d}\leq w_{a,d}+w_{b,c}$$

那么二元函数$\,w\,$被称为满足四边形不等式的

如果

$$\forall L\leq l\leq R \leq r\\ w_{L,R}\leq w_{l,r}$$

那$\,w\,$被称为区间单调的

定义拓展

当且仅当

$$w_{i,j}+w_{i+1,j+1}\leq w_{i+1,j}+w_{i,j+1}$$

$w\,$满足四边形不等式

证明如下：

明天再证

优化方案

对于一个形如$f_{i,j}=min\{f_{i,k}+f_{k,j}+w_{i,j}\}$，令$\,p_{i,j}\,$表示$\,f_{i,j}\,$最优的决策点

不难证得：若$\,w\,$满足四边形不等式，那么$\,f\,$也满足四边形不等式

那么

$$p_{i,j-1}\leq p_{i,j}\leq p_{i+1,j}$$

利用决策单调性即可将时间优化至$\,\Theta(n^2)\,$

单调性的证明等我学会了就写