模拟退火

模拟退火

问题引入

$\,n\,$个有$\,k\,$维性质以及价值$\,w\,$的物品，放入$\,m\,$个有$\,k\,$维限制的背包中，求总价值最大值

爬山&贪心

这题有一个显而易见的错误做法，先把物品按某种神秘方式排序，然后贪心地放入背包

于是考虑乱搞，每次random_shuffle一下物品，再重新计算，取历史最优解，正确率就得到提高了，但期望得到正解的次数是$\,n!\,$级别的，和暴力没有区别

考虑优化，发现这是因为没有利用之前贪心得到的一些优秀特征，比如有一个没有代价的物品被移来移去就是毫无意义的

由此可以发现，应当减少每次移动的数量，把random_shuffle变成swap，这样效率没有改变，但是按神秘方式排序后得到正确结果的概率提高了，耗费在移动上的时间也减少了

模拟退火

随贪乱搞显然是不行的，必须继续优化，发现随机swap依然可能导致优秀特征的随机损失或无效的交换

为了避免这一问题，模拟退火以一定概率接受随机的修改

分两种情况考虑：

新解优于历史最优解：当然接受这次修改

新解不优于历史最优解：以$e^{\frac{\Delta f}{T}}$的概率接受新解

$\,\Delta f\,$表示新解与历史最优解的差，$\,T\,$是模拟退火的一个可变参数，具体地，

$$T_{next\,\,time}=T_{now}*\delta$$

$\,\delta\,$是一个常数，取值通常在$\,[0.98,1]\,$，用来更新$\,T\,$，也就是当前温度

这样比完全随机接受优是因为$\,\Delta f\,$表明答案劣化的越少越容易接受，$\,T\,$的设置则使得接受新解的概率越来越小，使得算法越来越接近朴素爬山

名字叫模拟退火是因为从物理上固体退火得到的启发

模板：

calc();//计算新解
renew();//随机刷新
recover();//还原刷新
SA()
{
    auto tmp;
    double T=;
    while(T>=eps)
    {
        renew();
        tmp=calc();//临时答案
        if(better(tmp,ans)) ans=tmp;//如果更优
        else if(exp((tmp-ans)/T)*RAND_MAX<=rand()) recover();//有可能接受
        T*=delta;//刷新温度
    }
}

while(clock()<=CLOCKS_PER_SEC*MAX_TIME) SA();//卡时调用，MAX_TIME比题目时限小一点

解释一下

$$e^{\frac{\Delta f}{T}}\,\ast\,RAND\,MAX\leq rand()\rightarrow e^{\frac{\Delta f}{T}}\leq 0.5$$

就可以做到随机接受了