排序算法(四)：优先队列、二叉堆以及堆排序
优先队列
我们经常会碰到下面这种情况，并不需要将所有数据排序，只需要取出数据中最大（或最小）的几个元素，如排行榜。
那么这种情况下就可以使用优先队列，优先队列是一个抽象数据类型，最重要的操作就是删除最大元素和插入元素，插入元素的时候就顺便将该元素排序（其实是堆有序，后面介绍）了。
二叉堆
二叉堆其实是优先队列的一种实现，下面主要讲的是用数组实现二叉堆。
先上一个实例：
如有一个数组A{9,7,8,3,0,6,5,1,2}
用二叉树来表示数组更直观：
从这张图我们可以总结一些规律：
- 当一个二叉树的每个结点都大于等于它的两个子节点时，称为堆有序
- 根节点是堆有序的二叉树中的最大结点
- 在数组中，位置为K的结点的父节点，位置为K/2，它的两个子节点位置分别为：2K和2K+1（下标从1开始，A[0]不使用）
上面这三点应该非常好理解
下面就引出一个问题，怎样让一个数组变成堆有序呢？
首先，需要介绍两个操作：
- 由下至上的堆有序化（上浮）
当插入一个结点，或改变一个结点的值时，上浮指的是交换它和它的父节点以达到堆有序
在上面的堆有序的图中，如果我们把0换成10，那么上浮的操作具体为：
（1）10比它的父节点7大，所以交换
（2）交换后，10比它的父节点9还要打，交换
之后得到的二叉树如下图:
代码如下（需要注意，下标是从1开始，A[0]保留不用，以下所有代码相同）：
//index based on 1 public void swim(Integer[] a,Integer key) { while(key > 1 && a[key/2] < a[key]) { change(a,key/2,key); key /= 2; } }
2. 由上至下的堆有序化（下沉）
由上浮可以很容易得出下沉的概念：
当插入一个结点，或改变一个结点的值时，下沉指的是交换它和它的较大子节点以达到堆有序。
在原来的二叉树中，如果将根节点9换成4，操作如下：
（1）4与它的最大子节点8交换位置
（2）4与它的最大子节点6交换位置
交换后的二叉树如下图：
代码如下：
//index based on 1 public void sink(Integer[] a,Integer key) { Integer max = key*2; while(key*2 < a.length - 1) { if(a[key*2] < a[key*2 + 1]) { max = key*2 + 1; } else { max = key*2; } if(a[key] > a[max]) break; change(a,key,max); key = max; } }
那么将一个数组构造成有序堆，相应的也有两种方法：使用上浮以及使用下沉：
初始数组如下：
Integer[] a = {null,2,1,5,9,0,6,8,7,3};
上浮构造有序堆：
从数组左边到右边依次使用上浮，因为根节点A[1]没有父节点，所以从A[2]开始：
public void buildBinaryHeapWithSwim(Integer[] a) { for(int k=2;k<a.length;k++) { swim(a,k); } }
结果如下：
a: [null ,9 ,7 ,8 ,5 ,0 ,2 ,6 ,1 ,3] 读者有兴趣可以自己画一下二叉树，看是否有序
下沉构造有序堆：
代码： public void buildBinaryHeapWithSink(Integer[] a) { //index based on 1 for(int k=a.length/2;k>=1;k--) { sink(a,k); } }
为什么使用下沉只需要遍历数组左半边呢？
因为对于一个数组，每一个元素都已经是一个子堆的根节点了，sink()对于这些自对也适用。如果一个结点的两个子节点都已经是有序堆了，那么在该结点上调用sink()，可以让整个数组变成有序堆，这个过程会递归的建立起有序堆的秩序。我们只需要扫描数组中一半的元素，跳过叶子节点。
a: [null ,9 ,7 ,8 ,3 ,0 ,6 ,5 ,1 ,2]
可以看到使用下沉和上浮构造出来的有序堆并不相同，那么用哪一个更好呢？
答案是使用下沉构造有序堆更好，构造一个有N个元素的有序堆，只需少于2N次比较以及少于N次交换。
证明过程就略过了。
堆排序
前面说了那么多，终于要说到堆排序了，其实前面的优先队列和二叉堆都是为了堆排序做准备。
现在我们知道如果将一个数组构造成有序堆的话，那么数组中最大的元素就是有序堆的根节点。
那么很容易想到一个排序的思路：
第一种：将数组构造成有序堆，将根节点拿出来，即将A[1]拿出（因为A[0]不用，当然也可以使用，读者可以自己编程实现），对剩下的数组再构造有序堆……
不过第一种思路只能降序排列，并且需要构造一个数组用来存放取出的最大元素，以及最大的弊端是取出最大元素后，数组剩下的其它所有元素需要左移。
那么第二种办法就可以避免以上的问题：
第二种：先看图：
先来解释下这幅图：
- 一开始先将数组构造成一个有序二叉堆，如图1
- 因为有序二叉堆的最大元素就是根节点，将根节点和最后一个元素交换。
- 从index=1到index=a.lenth-1开始调用sink方法重新构造有序二叉堆。（即第二步交换过的最大元素不参与这次的构造）
- 经过第三步后，得到数组中第二大的元素即为根节点。
-
再次交换根节点和倒数第二个元素
…….
这样循环下去，即得到按升序排序的数组
代码：
public void heapSort(Integer[] a) { for(int k=a.length/2;k>=1;k--) { sink(a,k); } Integer n = a.length - 1; while(n > 0) { change(a,1,n--); //去除最后一个元素，即前一个有序堆的最大元素 sink(a,1,n); } }
注意在while循环中，sink()方法多了一个参数，这个参数的目的是去掉上一个有序堆的最大元素。
全部代码如下：
public class HeapSort extends SortBase { /* (non-Javadoc) * @see Sort.SortBase#sort(java.lang.Integer[]) */ @Override public Integer[] sort(Integer[] a) { // TODO Auto-generated method stub print("init",a); heapSort(a); print("result",a); return null; } public void buildBinaryHeapWithSink(Integer[] a) { //index based on 1 for(int k=a.length/2;k>=1;k--) { sink(a,k); } } public void buildBinaryHeapWithSwim(Integer[] a) { for(int k=2;k<a.length;k++) { swim(a,k); } } public void heapSort(Integer[] a) { for(int k=a.length/2;k>=1;k--) { sink(a,k); } Integer n = a.length - 1; while(n > 0) { change(a,1,n--); //去除最后一个元素，即前一个有序堆的最大元素 sink(a,1,n); } } //index based on 1 public void swim(Integer[] a,Integer key) { while(key > 1 && a[key/2] < a[key]) { change(a,key/2,key); key /= 2; } } //index based on 1 public void sink(Integer[] a,Integer key) { Integer max = key*2; while(key*2 < a.length - 1) { if(a[key*2] < a[key*2 + 1]) { max = key*2 + 1; } else { max = key*2; } if(a[key] > a[max]) break; change(a,key,max); key = max; } } public void sink(Integer[] a,Integer key,Integer n) { Integer max = key*2; while(key*2 < n) { if(a[key*2] < a[key*2 + 1]) { max = key*2 + 1; } else { max = key*2; } if(a[key] > a[max]) break; change(a,key,max); key = max; } } public static void main(String[] args) { Integer[] a = {null,2,1,5,9,0,6,8,7,3}; //(new HeapSort()).sort(a); (new HeapSort()).buildBinaryHeapWithSink(a); print("a",a); } }
堆排序的平均时间复杂度为NlogN
作者
