排序算法(二)：归并排序
归并排序
归并排序基本的操作是合并两个已排序的数组，如下面的例子：
A：{1,2,4,7}
B：{2,2,5,9}
第一步：
比较A[0]和B[0]，A[0]<B[0]，将A[0]复制到C[0]中，得到
C{0}
第二步：
比较A[1]和B[0]，A[1]=B[0]，将A[1]复制到C[0]中，得到
C{1,2}。
循环以上步骤，即得到排序后的序列：
C{1,2,2,2,4,5,7,9}。
这就是归并排序的基本原理，那么我们可以先给出合并两个已经有序的数组的代码：
public void merge(Integer[]a,Integer low,Integer mid,Integer high) { Integer i = low; /* 这里为什么不能用mid，因为之前在递归时是以mid+1分割的： [1,2,8,3,4] low=0 mid=2 high=4 i=0 j=2 [1] i=1 j=2 [1,2] i=2 j=2 [1,2,8,3,4]*/ Integer j = mid + 1; Integer[] b = new Integer[high + 1]; for(int k=low;k<=high;k++) { b[k] = a[k]; } print("b",b); for(int k=low;k<=high;k++) { //第一个有序子数组已经遍历完 if(i > mid) a[k] = b[j++]; //第二个有序子数组已经遍历完 else if(j > high) a[k] = b[i++]; else if(b[i] < b[j]) a[k] = b[i++]; else a[k] = b[j++]; } }
这段代码实现了合并两个已经有序的数组到一个新数组。只不过在这里我们使用一个数组代替了两个有序数组，如下：
A’[1,2,4,7,2,2,5,9] 是把上面提到的两个有序数组A和B放在一个数组A’中，用mid=3来分割。
最后在代码中新建一个数组B[],将A’中的元素复制到B。
再用循环依次将元素排序放回A中。
但是现在这段代码只能将两个已经有序的数组，归并后到一个新数组，让这个新数组编程有序的。
如果是一个无序的数组呢？
这里就需要用到一下的思想：
我们可以先将一个无序数组A，按照2位单位，分成诸多长度为2的子数组：
如下：
假如有数组A：[2 ,1 ,5 ,9 ,0 ,6 ,8 ,7 ,3]
可以分成以下长度为1的子数组：
{2}、{1}、{5}、{9}、{0}、{6}、{8}、{7}、{3}
那么对这9个子数组进行归并排序，也即使用上面提到的代码进行排序，那么就可以得到
{1,2}、{5,9}、{0,6}、{7,8}、{3}
这样我们就有5个有序的子数组了，再讲这五个子数组两两归并，即得到：
{1,2,5,9}、{0,6,7,8}、{3}
就这样依次归并下去，即得到一个有序的数组B
{0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9}
在这里，很明显能感觉到一丝递归的意味，那么先直接给出代码：
//递归实现，自顶向下 public void mergeSort(Integer[] a,Integer low,Integer high) { if(low >= high) return; Integer mid = (low + high)/2; mergeSort(a,low,mid); mergeSort(a,mid+1,high); merge(a,low,mid,high); }
相信如果理解了以上所说的递归排序的原理，这段代码应该非常好懂，用递归的好处就是逻辑简单，符合人的直观思维，只需要将一个待排序的数组依次分成2,4,8...等若干个数组，直到得到A.length个长度为1的子数组，依次归并后得到若干个长度为2的有序子数组，再进行归并，得到若干个长度为4的子数组（当然，有可能最后一个子数组长度不一定刚好为2或4，即数组的长度不一定为2的倍数）。
这样一直归并下去，即得到有序的数组。
这是使用递归来实现，那么应该还有一种不使用递归的实现，如下：
//非递归，自底向上 public void mergeSortNonRecursion(Integer[] a) { //第一层循环 表示归并排序子数组的长度 从1 , 2 , 4 ,8 ..... for(int i=1;i<a.length;i *= 2) { //第二层循环表示每两个自数组之间归并排序，确定起始和终止INDEX for(int low=0;low<a.length;low += 2*i) { merge(a, low, low + i- 1, Math.min(low + 2*i - 1, a.length - 1)); } } }
第一层循环表示归并的次数，
第一次分成n个长度为1的子数组，进行归并
第二次分成n/2个长度为2的子数组....
结论就是，一个长度为n的数组需要归并logn次。
第二层循环表示把两个子数组进行归并
效率：归并排序的时间复杂度为NlogN
完整代码如下：
public class MergeSort extends SortBase { @Override public Integer[] sort(Integer[] a) { // TODO Auto-generated method stub print("init",a); //mergeSort(a,0,a.length-1); mergeSortNonRecursion(a); print("result",a); return a; } //递归实现，自顶向下 public void mergeSort(Integer[] a,Integer low,Integer high) { if(low >= high) return; Integer mid = (low + high)/2; mergeSort(a,low,mid); mergeSort(a,mid+1,high); merge(a,low,mid,high); } public void merge(Integer[]a,Integer low,Integer mid,Integer high) { Integer i = low; /* 这里为什么不能用mid，因为之前在递归时是以mid+1分割的： [1,2,8,3,4] low=0 mid=2 high=4 i=0 j=2 [1] i=1 j=2 [1,2] i=2 j=2 [1,2,8,3,4]*/ Integer j = mid + 1; Integer[] b = new Integer[high + 1]; for(int k=low;k<=high;k++) { b[k] = a[k]; } print("b",b); for(int k=low;k<=high;k++) { //第一个有序子数组已经遍历完 if(i > mid) a[k] = b[j++]; //第二个有序子数组已经遍历完 else if(j > high) a[k] = b[i++]; else if(b[i] < b[j]) a[k] = b[i++]; else a[k] = b[j++]; } } //非递归，自底向上 public void mergeSortNonRecursion(Integer[] a) { //第一层循环 表示归并排序子数组的长度 从1 , 2 , 4 ,8 ..... for(int i=1;i<a.length;i *= 2) { //第二层循环表示每两个自数组之间归并排序，确定起始和终止INDEX for(int low=0;low<a.length;low += 2*i) { merge(a, low, low + i- 1, Math.min(low + 2*i - 1, a.length - 1)); } } } public static void main(String[] args) { Integer[] a = {2,1,5,9,0,6,8,7,3}; (new MergeSort()).sort(a); } }
运行结果如下：
init: [2 ,1 ,5 ,9 ,0 ,6 ,8 ,7 ,3]
归并2和1
b: [2 ,1]
归并5和9，即依次归并两个长度为1的子数组，得到长度为2的有序子数组
b: [null ,null ,5 ,9]
b: [null ,null ,null ,null ,0 ,6]
b: [null ,null ,null ,null ,null ,null ,8 ,7]
b: [null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,3]
归并1、2、5、9，即依次归并两个长度为2的子数组，得到长度为4的有序子数组
b: [1 ,2 ,5 ,9]
b: [null ,null ,null ,null ,0 ,6 ,7 ,8]
b: [null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,3]
归并1 ,2 ,5 ,9 ,0 ,6 ,7 ,8，即依次归并两个长度为4的子数组，得到长度为8的有序子数组
b: [1 ,2 ,5 ,9 ,0 ,6 ,7 ,8]
b: [null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,null ,3]
b: [0 ,1 ,2 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,3]
result: [0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9]
从结果上看，可以很清晰的看出来是两两归并。
作者
