观光奶牛 详细题解

#T3 #SPFA判断正/负环 #二分查找
为啥现在突然发出来：翻自个笔记发现这篇写的挺好hhh

361. 观光奶牛 - AcWing题库

给定一张 $L$ 个点、$P$ 条边的有向图，每个点都有一个权值 $f[i]$，每条边都有一个权值 $t[i]$。

求图中的一个环，使“环上各点的权值之和”除以“环上各边的权值之和”最大。

输出这个最大值。

注意：数据保证至少存在一个环。

输入格式

第一行包含两个整数 $L$ 和 $P$。

接下来 $L$ 行每行一个整数，表示 $f[i]$。

再接下来 $P$ 行，每行三个整数 $a，b，t[i]$，表示点 $a$ 和 $b$ 之间存在一条边，边的权值为 $t[i]$。

输出格式

输出一个数表示结果，保留两位小数。

数据范围

$2 \le L \le 1000$,
$2 \le P \le 5000$,
$1 \le f[i],t[i] \le 1000$

输入样例：

5 7
30
10
10
5
10
1 2 3
2 3 2
3 4 5
3 5 2
4 5 5
5 1 3
5 2 2

输出样例：

6.00

思路

求有向图的一个环, 使“环上各点的权值之和”除以“环上各边的权值之和”最大。输出最大值。即 $\frac{\sum f[i]}{\sum t[i]}$最大。

这种类似的问题就是01分数规划问题, 有模板解法。其结果是存在上下界的, 最小因为权值都是正整数, 故为$0$（开区间）, 最大值则是分母为$L$, 分子最大$1000*L$ , 故最大值为$1000$。

而其两段性是很显然的, 设任取中间一个值$mid$ , 判断能否找到一个环的$\frac{\sum f[i]}{\sum t[i]}$值大于$mid$, 如果不能, 说明图中最大值小于$mid$, 继续在 $(0,mid]$ 中搜索。若搜得到, 就说明图中最大值存在与$(mid, 1000L]$ 之间, 继续缩小范围。最终会找到满足条件的最大值。

判断是否存在一个环满足$\frac{\sum f[i]}{\sum t[i]}>mid$ 先做一个数学上的变换：
$\sum f[i] - \sum t[i]*mid > 0$
把求和符号提出可得等价式子：$\sum \{f[i] - t[i]*mid\}>0$
当我们把这求和里面那块看做从其他点到$i$点的边, 那么这个式子的含义就是, 存在一个环, 它的边权和大于0。既然小于0的叫做负环, 那大于0就叫做正环。

求正环的操作跟负环类似, 只需要把求最小值换成求最大值即可。

求正负环还有个优化操作, 当寻找到一定次数之后可以提前结束以避免超时, 即定义一个变量$count$ 记录当前搜索次数, 超过一般 $2n/3n$时就提前返回。

也可以把队列改成栈, 这样搜索模式为深度优先, 会更多的去更新刚入栈的点, 让$cnt$数组累加的更快。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10, M = 1e5 + 10;
int n,m;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int f[N];
int q[N], cnt[N];
double dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c) {e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;}

bool check(double mid)
{
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    int hh = 0, tt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        q[tt++] = i, st[i] = true;
    
    while(hh != tt)
    {
        int t = q[--tt];
        
        st[t] = false;
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] < dist[t] - w[i]*mid + f[j])
            {
                dist[j] = dist[t] - w[i]*mid + f[j];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if(cnt[j] >= n) return true;
                if(!st[j])
                    q[tt++] = j, st[j] = true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> f[i];
    while(m--)
    {
        int a, b , c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a,b,c);
    }
    
    double l = 1, r = 1000;
    while(r - l > 1e-4)
    {
        double mid = (l + r) / 2.0;
        if(check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%.2lf", l);
    return 0;
}