卞爱华 - 博客园

【微积分】 10 - 广义积分

摘要： 1. 反常积分 1.1 反常积分的定义定积分是定义在闭区间

[a, b]

上的有界函数上，这里对积分的概念作一点推广。考察积分

\int_{1}^{A} \frac{1}{x^{2}} d x = 1 - \frac{1}{A}

，当

A \to + \infty

时，积分有极限

1

阅读全文

posted @ 2016-03-03 15:22 卞爱华阅读(3786) 评论(2) 推荐(1) 编辑

【微积分】 09 - 函数项级数

摘要： 1. 一致收敛函数 1.1 函数项级数前面讨论了数列的极限和级数，它们都是对单点的逼近，现在我们把这些讨论扩展到函数对象。设

u_{1} (x), u_{2} (x), \dots

是同一定义域上的函数序列，则式（1）左被称为函数项级数，式（1）右是它的部分和函数。如果

S_{n} (x)

处处收敛于\(S( 阅读全文

posted @ 2016-03-03 15:18 卞爱华阅读(2892) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【微积分】 08 - 数项级数

摘要： 1. 级数 1.1 级数的定义现在从增量的角度重新讨论数列的极限，而这也是极限在许多实际问题中的呈现形式。对于数列

S_{n}

，设

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

，则有

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

。为讨论

S_{n}

的敛散性，定义式（1）的加式为级数，\(a_n\ 阅读全文

posted @ 2016-03-03 15:13 卞爱华阅读(2492) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【微积分】 07 - 微积分的应用

摘要： 1. 微分的应用 1.1 一元函数的微分 1.1.1 单调性、极值、渐近线导数给出了函数的走向，它对我们分析函数的图形性质很有作用，这里就用微分学的知识来了解函数的性质。一阶导数对函数的影响是最直接的，这里先看一阶导数。对于区间上的常值函数

f (x) = C

，它的导数处处为零，反之由中值定理知，阅读全文

posted @ 2016-03-03 11:38 卞爱华阅读(1781) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【微积分】 06 - 重积分

摘要： 1. 二重积分 1.1 定义和性质一元定积分的概念可以推广到空间中，不同的是曲线

y = f (x)

换成了曲面

z = f (x, y)

，曲面在

x y

平面上的投影

D

即为定义域。为求得曲面和

D

之间柱体

Ω

的体积，可以将

D

划分为若干区域\(D_1,D_2,\ 阅读全文

posted @ 2016-03-03 11:06 卞爱华阅读(1313) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【微积分】 05 - 多元微分

摘要： 1. 多元函数 1.1 欧几里得空间很多函数的自变量不止一个，现在就来讨论这种函数的性质，多元函数可以记作

f (x_{1}, \dots, x_{n})

。如果只是独立地讨论函数与每个变量的关系，大可不必给出新的概念，我们需要把所有自变量当成一个“数”看待，并研究这种函数的分析特性。对于这种数，我们还需阅读全文

posted @ 2016-03-03 08:59 卞爱华阅读(2124) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【微积分】 04 - 一元积分

摘要： 1. 不定积分 1.1 原函数和不定积分前面的微分学讨论了导数对函数局部值的影响，现在开始就来看看整体的导函数能确定怎样的函数？换句话说，已知导函数的情况下，能否确定函数本身。对于不是处处有定义的导函数，为了简单起见，可以把它拆分成多个区间讨论。为此，对于区间

I

上处处有定义的导函数\(f( 阅读全文

posted @ 2016-03-02 22:41 卞爱华阅读(3052) 评论(1) 推荐(1) 编辑

【微积分】 03 - 一元微分

摘要： 1. 微分的概念 1.1 一阶微分导数表现出两个小变量

Δ y, Δ x

之间近似的线性关系（式（1）），这个关系启发了我们，可以为“无穷小量”建立一个度量模型。但这里说的“无穷小量”并不是一个孤立的量，它具有一种“动态”，且和自变的“无穷小量”有线性关系。无穷小阅读全文

posted @ 2016-03-02 16:35 卞爱华阅读(2166) 评论(1) 推荐(0) 编辑

【微积分】 02 - 连续和导数

摘要： 1. 连续函数 1.1 连续和间断实数的完备性是分析学的基础，它自然也是微积分的出发点。极限是实数完备性的具体描述，我们的微积分之旅也从这里开始。在《实数系统》中，我们已经讨论了实数的完备性和极限的概念，这里把极限的概念引入到函数中。在集合论中，函数被看成是集合间的映射，当在集合中引入极限的概念后阅读全文

posted @ 2016-03-02 10:16 卞爱华阅读(3970) 评论(5) 推荐(2) 编辑

【微积分】 01 - 数学的屠龙刀

摘要：【本系列目录】 01 - 数学的屠龙刀 02 - 连续和导数 03 - 一元微分 04 - 一元积分 05 - 多元微分 06 - 重积分 07 - 微积分的应用 08 - 数项级数 09 - 函数项级数 10 - 广义积分博客总目录说到微积分，所有人都不陌生，上过大学的人基本都被它上过，每学期阅读全文

posted @ 2016-03-01 23:26 卞爱华阅读(3887) 评论(2) 推荐(8) 编辑

万物皆数