【几何基础】02 - 顺序公理
1. 顺序公理
关联公理仅讨论了对象的连接属性，但这些对象目前仍然是一种无序的状态（集合状态）。为了体现对象的空间性，需要定义一种顺序关系，使得对象更有“方向性”和“位置感”。几何中的“位置”看起来有很多种，比如直线的两个方向、平面的两面、圆形（球形）的内外等，但令人惊讶的是，这些关系居然都可以从直线上三点的关系定义起。
按理说两个点就足以确定方向，但要注意“方向”概念本身的引入是需要三个点来说明的。比如为了说明直线上点\(A\)的两侧，你必须指出分属两侧的点\(B,C\)与\(A\)构成何种顺序关系（\(A\)介于\(B,C\)之间）。顺序公理就是定义了直线上三点间的“介于”关系，也可以说成点\(A\)在\(B,C\)之间。
\(II.\) 顺序公理
\(II_1.\) 一直线上的三点中，最多有一点在其它两点之间，且在点\(A,B\)之间等价于在点\(B,A\)之间。
\(II_2.\) 对于点\(A,B\)，直线\(AB\)上存在点\(C\)，使得\(B\)在\(A,C\)之间。
\(II_3.\) 平面上有直线\(a\)和三点\(A,B,C\)，若\(a\)通过线段\(AB\)但不经过点\(C\)，则它必定通过线段\(AC\)或\(BC\)。
公理\(II_1\)先声明了介于关系的对称性，对于一个崭新的概念，这些看似多余叙述其实是严谨性所要求的。\(II_1\)还限制了介于关系不多于一个，却没有直接表述三点介于关系的存在性，这是因为它可以通过其它的公理推导出来，这个我们等会再看。公理\(II_2\)将\(I_2\)进行了扩充，使得直线上的点不止两个，而且它是向两个外部方向扩展的，为构造更多的点提供方便的工具。
在继续讨论之前，可以先定义一下线段，对任意两点\(A,B\)，它们可以合称为线段\(AB\)或\(BA\)（次序无关）。点\(A,B\)就叫线段\(AB\)的端点，介于\(A,B\)之间的点也叫线段\(AB\)上的点或线段\(AB\)的内点。若不同于\(AB\)的另一直线\(a\)经过线段\(AB\)的某个内点，那么称直线\(a\)穿过线段\(AB\)。注意，这个线段的定义避免了“所有介于\(A,B\)之间的点”这样的描述，使得讨论可以仅限于问题中的有限个元素。
光靠在一维空间的讨论，非常难以构造直线上的顺序关系，公理\(II_3\)巧妙地通过二维空间一次性结束了整个顺序公理。\(II_3\)可以这样直观地理解（以下左图）：一条直线进入三角形的内部后，一定会再从中出来。这条公理其实为封闭曲线的讨论奠定了基础，而且公理中直接给出了构造两点之间点的方法，其实联合\(II_2,II_3\)可以生成非常复杂的介于关系。先来构造介于\(A,B\)之间的点，取直线\(AB\)外一点\(D\)，作点\(E\)使\(D\)在\(AE\)之间，再作点\(F\)使\(B\)在\(EF\)之间。对\(\triangle ABE\)和直线\(DF\)使用\(II_3\)可知\(DF\)必定穿过线段\(AB\)，设交点为\(C\)，它就是我们要构造的点。
以上右图结合了公理\(II_2,II_3\)，它是个非常基础的图形，其中的小结论可以作为有力的证明工具，以后会经常用到。具体来说，图中共有四个介于关系，用其中的两个可能推导出另外两个，只不过现在为止还只能得到两个结论。首先，如果\(D,B\)分别在线段\(AE,EF\)上，则显然点\(C\)分别在线段\(AB,DF\)上。还有，如果\(D,C\)分别在线段\(AE,DF\)上，则可以先后证明\(B,C\)在线段\(EF,AB\)上。剩下的因果关系，你可以在得到下段的结论后再讨论。
在构造空间的位置之前，先要把直线上的顺序关系定义好，而此时我们还需要把上面遗漏的一些问题解决。一个是公理\(II_1\)中没有指出介于关系的存在性，如以下左图，先假设点\(A,B\)不在线段\(BC,AC\)上，目标是证明点\(C\)在线段\(AB\)上。先取直线\(AB\)外一点\(D\)，并作点\(E\)使\(D\)在线段\(CE\)上，先由\(II_3\)不难得到\(F,G\)分别在线段\(AE,BE\)上，然后用上面的小结论很快得到\(D\)在线段\(AG,BF\)上，最终可得\(C\)在线段\(AB\)上。另一个要解决的是\(II_3\)中未说明的：\(a\)是否只经过线段\(AC,BC\)中的一个。假设\(a\)与三条边都有交点，则交点\(D,E,F\)中必定有一个在其它两个之间，设\(E\)在\(D,F\)之间，利用上面的小结论直接得到\(C\)在线段\(AF\)上，导出矛盾。
现在来看看如何定义直线上的顺序关系，所谓顺序关系，就是给定直线上的一个点集，一定可以把它们排成序列\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)（这里否定了环线的存在），使得如果\(i<k<j\)则必有\(A_k\)在\(A_i,A_j\)之间。首先需要说明，如果这种排列存在，则只有两种可能，且它们正好是首位相倒的，这个不难用反正法来证明。首先所有序列的首尾两个点（或者翻转之后）必定是相同的，因为它们都不在其它点之间，而这样的点只能有两个\(A,B\)。然后如果线段\(AB\)之间的点\(C,D\)在不同的序列中顺序不同（\(ACDB,ADCB\)），由唯一的介于关系也能直接导出矛盾。另外还容易看出，任何子集的排列（或者翻转后）也是序列的一个子序列。
当\(n\leqslant 3\)时，这个序列显然存在（且翻转后唯一），下面用归纳法证明对任意\(n\)都存在。设给定直线上的\(n+1\)个点，先把其中的任意\(n\)个点排成序列\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)，然后证明可以把另外一个点\(B\)插入到这个序列中。为证明结论，我们需要两个简单的引理，它们是三点序列\(ABC\)扩展为四点\(ABCD\)的常见情形（以下左图）。已知条件当然是\(B\)在\(A,C\)之间，由此先构建基本图形\(ABCEFG\)。第一种附加条件是\(C\)在\(B,D\)之间，这时也同样得到基本图形\(DCBGFH\)，考察\(\triangle ADG\)与直线\(FC\)便知\(C\)在\(A,D\)之间。同理可证\(B\)在\(A,D\)之间，因此\(ABCD\)构成四点序列。第二种附加条件是\(C\)在\(A,D\)之间，同样考察\(\triangle ADG\)和直线\(FC\)，可知\(H\)在\(D,G\)之间。结合\(G\)在\(B,F\)之间可得到基本图形\(DCBGFH\)，从而得到\(C\)在\(B,D\)之间，并进而得到\(B\)在\(A,D\)之间，它们说明\(ABCD\)构成四点序列。
现在回到问题的证明，考察点\(B\)与\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)组成的序列，它相当是把\(B\)插入到序列\(A_2,\cdots,A_n\)的\(n\)个位置。当序列是\(A_2,\cdots,A_n,B\)时，问题是要证\(A_1,A_2,\cdots,A_n,B\)构成序列，为此只要证\(A_i(2\leqslant i\leqslant n)\)在\(A_1,B\)之间，对\(A_1,A_i,A_j,B(2\leqslant i<j\leqslant n)\)使用以上引理即可。当序列是\(A_2,\cdots,B,\cdots,A_n\)时，问题是要证\(A_1,A_2,\cdots,B,\cdots,A_n\)构成序列，同样对\(A_1,A_i,B,A_j\)使用引理即可。当序列是\(B,A_2,\cdots,A_n\)时（以上右图），问题是要证\(A_1,B,A_2,\cdots,A_n\)或者\(B,A_1,\cdots,A_n\)构成序列。如果\(B\)在\(A_1,A_n\)之间或\(A_1\)在\(B,A_n\)之间，利用引理即可分别得到结论，现在还需证明\(A_n\)不可能在\(A_1,B\)之间。这时可以构造基本图形\(CDBA_2A_nFC\)和\(CEA_1A_2A_nF\)，考察\(\triangle CBA_1\)和直线\(DA_n\)便可知\(A_n\)不可能在\(A_1,B\)之间。
2. 边界和区域
刚刚我们证明了直线上点集的顺序性，而顺序性自然能给出方向的定义，这对在几何中建立空间概念必不可少。比如，前面当证到至少存在一点在任何两点之间时，你一定迫不及待说，依次类推可知两点间有无穷多个点。但无穷的概念只有在序列（自然数）出现后才能被说清楚，因此这个论断一定不能缺少顺序定理在场。笼统地说，顺序关系使得点在空间有了秩序和位置，从而可以被划分、切割，这样使得聚类讨论成为可能。
所谓划分，就是使用一个边界将空间中的点进行分类，同类的点组成一个区域，区域和区域之间没有交集（边界和区域尚未定义）。区域最大的特点就是：同一区域的点是相互连通的，而不同区域则不连通。直线上的点集将直线划分成多个线段或射线（段），每段就是一个区域，分割点便是边界。平面上的直线、或射线线段组成的图形把平面分成了多个区域（片），三维空间中的平面或片又将空间分割为多个区域（块）。点将直线分割为段，段将平面分割为片，片将空间分割为块，这些都是直观的叙述，需要逐一对其进行严格定义。以下仅举几个基础的场景作为示例，不展开完整叙述，而且你还要知道，这里并不涉及复杂的曲线面。
2.1 简单的划分
为了说明连通性，先要定义折线段，它是一组首尾相连的线段\(A_1A_2,A_2A_3,\cdots,A_{n-1}A_n\)的总称，也可简记为\(A_1A_2\cdots A_n\)，点在折线段上是指在某个线段上或是某个端点。所谓点\(A,B\)连通，是指存在折线段\(A\cdots B\)，它与边界没有交点（边界视情况而定，可能是点、线、面、以及复杂组合）。上面说道区域内的点相互连通，这就暗示连通其实是一个等价关系，而对称性、传递性都比较显然。如果区域中的任意两点的线段与边界无交点，则它也叫线段连通的，否则叫折线连通的。
先来看单个点\(O\)对直线\(a\)的分割，当\(a\)上的两点\(A,B\)连通时，其实等价于点\(O\)不在线段\(AB\)上。有时还把这样的点\(A,B\)称为在\(O\)的同侧，否则称为在\(O\)的异侧。如果非要用线段（非折线段）连通作为同侧的条件，则还要证明同侧具有传递性。假设\(A,B\)同侧且\(A,C\)同侧，则讨论\(O,A,B,C\)组成的序列，必然有\(B,C\)在序列中有\(A\)的一侧，即\(B,C\)也在\(O\)同侧。另外，容易构造点\(L,R\)使得\(O\)在它们之间，用顺序理论可证直线上的其它点只能和\(L,R\)之一同侧，所以\(O\)把\(a\)分成了两个区域。点\(O\)和和其中的一侧合称为一条射线，当点\(A\)在这一侧时也称\(A\)在射线上，或者记射线为\(OA\)，显然直线被其上的任意点分成了两条射线。
再来看直线\(a\)对平面\(\alpha\)的分割，这时也可以用线段连通作为同侧的定义：\(A,B\)都不在\(a\)上，且线段\(AB\)与\(a\)没有交点，则称\(A,B\)在\(a\)的同侧。同侧的传递性直接用反证法和公理\(II_4\)可证。另外，同样容易构造出在\(a\)异侧的两个点\(L,R\)，利用反证法也可证明：平面上的任何点都同\(L,R\)之一在同侧，\(\alpha\)被其上的任意直线分割成了两个区域。对空间中的任意平面\(\alpha\)，用完全相同的方法，可以定义同侧并证明其传递性，而且空间被\(\alpha\)分割为两个区域。线、面、空间这种简单的划分，其实还可以作为“方向”的定义，这里不展开阐述。
说到“方向”，其实还有一种常见的场景，那就是旋转（本段是本人杜撰），平面上绕点旋转、空间中绕直线旋转。要想在空间对象\(a_1,\cdots,a_n\)上定义旋转方向，就需要给环状序列\(a_1\cdots a_na_1\)（\(n\geqslant 3\)）一个合适的定义，而且这种定义下只有两种环状序列（旋转重合算一种），它们翻转后重合。以平面上的直线绕点\(O\)旋转为例，在不区分直线上点\(O\)的两侧的情况下，我们来构造直线环状序列。其实要定义的只是直线的“相邻”关系，且任一直线总是只与另外两条直线相邻，如果能证明环状序列的存在性，其唯二性也就显然了。
在同一平面上通过点\(O\)的\(n\)条直线，何为两条直线相邻？首先，两条将平面分割为四个区域（显然是线段连通的），而且它们可以被分成两对，每对都在两条直线的不同测，这些区域对便是定义的关键。问题可以先退化到只有一条直线\(a_1\)的情形，空间被分割为一对线段区域（每个区域线段连通），且这对区域在\(a_1\)的两侧。当添加直线\(a_2\)时，容易证明\(a_2\)的两条射线分别处于之前的一对区域中，且把它们分成了两对区域（仍然线段连通），而没对区域都处于\(a_1,a_2\)的两侧。如果\(a_i,a_j\)划分的两对区域中，有一对里不含其它直线，我们就称\(a_i,a_j\)相邻。开始时\(a_1,a_2\)相邻，且把它们组成环\(a_1a_2a_1\)，其中的两个间隙可对应两对区域。后面每次加入一条直线，（类似的证明）都只会分割之前的某对区域，且分割后的每对区域都在所有直线两侧（且线段连通）。新添加的直线\(a_k\)破坏了原来的相邻关系\(a_ia_j\)，但引入了新的相邻关系\(a_ia_k,a_ja_k\)，这就相当于把\(a_k\)插入到\(a_i,a_j\)之间，环得到扩展而性质不变。这个逐步添加的过程便可以构造出满足条件的环状序列。
2.2 角
你可能会问，把以上论证中的直线换成射线不是更简洁吗？但其实我们还没有建立任何的射线分割的理论，离开相应的结论以上论述就经不住推敲。为此我们就讨论一下射线对平面的分割，设\(h,k\)为平面上以\(O\)为端点两条不共线的射线，并且记直线\(h,k\)上的另外一条射线为\(h',k'\)。射线\(h,k\)合称为一个角，并记为\(\angle (h,k)\)（\(h,k\)不分顺序），\(h,k\)分别叫角的边，\(O\)叫角的顶点。直线\(h,k\)交于\(O\)，且把平面分割为四个线段连通的区域，以这个视角看待射线对平面的分割会更加方便。
如果以\(\angle (h,k)\)为边界，以下左图的区域\(I\)自然是一个线段连通的区域，它叫\(\angle(h,k)\)的内侧，相应的，平面上\(\angle(h,k)\)和\(I\)之外的“区域”称为角的外侧。对于外侧的任意两点\(A,B\)，取区域\(III\)中任意一点\(C\)，不难证明\(A,B\)都和\(C\)线段连通，从而\(A,B\)折线连通。所以外侧是连通的，它可以被称为一个区域，然后需要说明内外侧不连通。取内侧的点\(A\)和外侧的点\(B\)，不失一般性，可设\(B\)与\(A\)在直线\(k\)的两侧（以下右图）。首先容易证明：无论如何折线段\(A\cdots B\)都与直线\(k\)相交，如果射线\(k\)（包括点\(O\)）上有交点，则结论得证。如果交点在\(k'\)上，设第一个交点为线段\(CD\)上的点\(E\)（\(E\)可能为\(D\)），则\(A,E\)在直线\(h\)的两侧。设折线\(A\cdots CE\)与直线\(h\)交于点\(F\)，则\(F\)必然在射线\(h\)上，结论得证。
然后继续讨论角的性质，利用射线和直线的位置关系，容易证明，从\(O\)出发的任意射线（不同于\(h,k\)）必然整个在角的内侧或外侧，而且它把这一侧又分割为两个区域。其中后一个结论不是不证自明的，需要从直线分割的角度分类讨论。有了这些结论，就可以用射线定义旋转的方向了。把某一侧没有其它射线两条射线定义为相邻的，后面的论证非常类似，这里不再赘述。有了环状序列，便可以从任意一处断开为顺序序列，也就是说在角的每一侧可以建立射线的顺序关系。这时就可以在射线之间定义“之间”的概念，即如果射线\(c\)在\(\angle(a,b)\)内侧，则称\(c\)在\(a,b\)之间。
当然，如果没有前面关于旋转的讨论，也可以仅凭“之间”的定义对角内侧射线建立顺序关系。构造关系时，可以顺利借助直线上点的顺序关系，为此先来看一个简单的引理（以下左图）。分别在射线\(h,k\)上取点\(H,K\)，则显然线段\(H,K\)的内点都在角的内侧。再考察从\(O\)出发的内侧射线\(l\)，取点\(A\)使得\(O\)在\(H,A\)之间，然后容易证明直线\(l\)与线段\(AK\)不相交（以\(h\)为边界），最后对\(\triangle HAK\)和直线\(l\)使用\(II_4\)知\(l\)与\(HK\)必定相交。这个结论把射线的“之间”关系转化为点的“之间”关系，利用这个对应可以证明，三条射线中最多有一条在其它两条之间（反证）。
当然这里仅讨论角内侧中的射线簇，或者换个说法，射线簇中存在一个射线\(a\)，使得其它射线\(h_1,\cdots,h_n\)都在直线\(a\)的同一侧。如果能找到一个\(h_1\)，使得其它\(h_j\)都在\(\angle(h_1,a)\)内侧（以下右图），则在\(h_1,a\)上分别取点\(H_1,A\)。讨论线段\(H_1A\)与其它射线的交点构成的序列（包括\(H_1,A\)），便能建立一个射线序列，其中\(h_1,a\)是序列两端。可以使用归纳法证明结论，当\(n=2\)时，如果\(h_1\)在\(\angle(h_2,a)\)内侧，则结论成立。如果\(h_1\)在\(\angle(h_2,a)\)外侧，则线段\(H_1A\)必与直线\(h_2\)相交，但交点又只能在直线\(a\)的同一侧，所以必然在射线\(h_2\)上，\(h_2\)在\(\angle(h_1,a)\)内侧。当引入\(h_{n+1}\)时，类似地讨论\(h_1,h_{n+1},a\)之间的关系，也能证明结论。
2.3 多边形
空间中还有一种分割方法，是一个封闭区域所划分的内外侧，展开讨论篇幅将很大，这里仅举平面上封闭区域为例。所谓封闭，就是折线段且首尾相连\(A_1\cdots A_nA_1\)，它被称为多边形（\(n\)边形），组成它的线段和端点分别叫多边形的边和顶点。当多边形的任意两边没有公共点时（包括端点和线段内点），它也叫简单多边形。直觉上简单多边形（以下简称多边形）将平面划分为内外侧，直线可以不通过内侧，即使通过两侧也一定在外侧，下面就来讨论这一系列问题。
由于折线段的情况非常复杂，试图通过直线的两侧来定义区域将非常困难，这时不妨从直观性质中寻找灵感。直观上，一个从封闭区域内侧出发的射线，最终一定会跑到外侧，因此它必定穿过边界奇数次。在此我们必要严谨地讨论一下射线“穿过”多边形的次数。直线和多边形有公共点的情形无非下图中五种，但第三、五种直线没有“刺穿”边界，它们不算一次穿过，其它三种都算一次穿过。另外显然，直线只能穿过线段一次，穿过\(n\)边形不超过\(n\)次。为了不造成混淆，这里仍然把“有公共点”称为“相交”，这与课本不同。
考察从同一点出发的两条不同射线，它们或者共线、或者组成一个角，但都将平面分成两个区域。这样的两条射线还把多边形分割为多个折线段（首尾是射线和多边形交点，不讨论在直线上的线段），且容易证明：相邻的折线段分别在平面的两个区域。因为从某个折线段出发遍历整个多边形还会回来，所以折线段的个数必定是偶数，即两条射线穿过多边形的总次数是偶数。这就是说，从同一点出发的任意射线穿过多边形的次数有相同的奇偶性，次数为奇（偶数）数的叫多边形的内点（外点）。我们要证明的结论则是：以多边形为边界，它的所有内（外）点之间都连通，但内外点不连通，这两个区域分别叫多边形的内侧和外侧。
为了证明内（外）点的连通性，我们需要一些引理做铺垫，这些引理是为了证明局部的连通性。面对千变万化的多边形，从局部出发、尤其是从多边形的边和顶点附近出发，是一个很客观的策略。先来看一个三角形内点的性质（以下左图），以后把三角形顶点与其对边内点组成的线段叫三角形的“贯线”。在不与边重合的情况下，直线与三角形最多只能有三个交点，而上面知道直线只能穿过多边形偶数次，故此时交点数只能是\(0\)或\(2\)。因为通过内点的直线一定与多边形相交，故通过三角形内点和顶点的直线也必然与其对边相交，也就是说内点一定在贯线上，反之显然成立，即点为三角形内点的充要条件是它在某条贯线上。
如果线段与三角形相交且有点是三角形内点，那么称这个线段穿过了三角形，它与三角形的交点也叫“穿过点”。考察这样一个\(\triangle ABC\)和多边形\(\Omega\)（以上右图），如果\(\Omega\)与\(\triangle ABC\)的穿过点只能出现在（可以没有）边\(BC\)（包括端点）上，容易证明\(\Omega\)一定有顶点是\(\triangle ABC\)内点（就是穿过三角形的线段的某个端点）。容易在\(AC\)上构造点\(C'\)，使得\(\triangle ABC'\)中没有\(\Omega\)的顶点，即\(\Omega\)上没有\(\triangle ABC'\)的内点，这样\(\triangle ABC'\)的任一贯线\(BD\)上都没有\(\Omega\)的点。同样道理，也存在贯线\(CE\)满足特点，也即存在\(D,E\)使得图中的绿色线段（不包括端点）上没有\(\Omega\)的点。
有了以上引理，我们就来证明一个重要的结论：从简单多边形\(\Omega\)（或简单折线段）之外一点\(O\)，总能通过一条折线段连通到\(\Omega\)上任意一点。先从\(O\)构造一条与\(\Omega\)相交的射线，而\(A\)是第一个交点，这时\(O,A\)就是折线相通的。假设\(\Omega\)上与\(A\)相邻的两个顶点是\(B,C\)（\(A\)本身也可能是顶点），下面证明\(O\)与\(AB,AC\)上的所有点连通，如果结论成立，则可以依次推断\(O\)与\(\Omega\)上所有的点都连通。不失一般性，下面证明\(O,B\)连通。
如果\(OA,AB\)不共线、且\(AC\)在\(\angle OAB\)外侧（以下左图），对\(\triangle ABO\)使用引理，\(OA\)上存在点\(D\)，使得\(BD\)内部没有\(\Omega\)的点，显然折线段\(ODB\)连通了\(O,B\)。如果\(OA,OB\)共线、或者\(AC\)在\(\angle OAB\)内侧（以下右图），在射线\(CA\)上取点\(C'\)，使得线段\(AC'\)内部没有\(\Omega\)的点。先对\(\triangle AOC'\)使用引理，\(AC'\)上存在点\(D\)使得\(OA\)上没有\(\Omega\)的点，再对\(\triangle ABD\)使用引理，\(AD\)上存在点\(E\)使得\(BE\)上没有\(\Omega\)的点，这时折线\(ODEB\)连通\(O,B\)。
现在回到内（外）点连通的证明（以下左图），设\(A,B\)都是内（外）点，先在\(\Omega\)某条边上取一点\(C\)，且假设已经构造出连通折线\(A\cdots DC\)和\(B\cdots EC\)。对\(\triangle CAB\)使用引理，\(EC\)上存在点\(F\)使得\(DF\)上没有\(\Omega\)的点，显然折线段\(A\cdots DFE\cdots B\)连通\(A,B\)，区域性得证。要证明两个区域不连通，等价于证明不存在连点线段连通。分别在内、外侧取点\(A,B\)，考虑射线\(AB\)穿过\(\Omega\)的情况，根据内外点的奇偶性不同，可知线段\(AB\)上一定有穿过点，内外侧的不连通性得证。
最后的问题是直线与多边形的相交情况，首先如果直线穿过多边形，由于内点射线的穿过次数为奇数，直线的两端最终一定都在外侧。那么有没有直线不穿过多边形、甚至和多边形没有交点呢？这个问题可以换成一个更一般的问题：平面上有\(n\)个点，是否存在直线\(l\)，使得所有点都在\(l\)的同一侧？先任取一直线\(a\)，假设\(a\)的两侧都有点，将两侧的点互相相连，这些直线一定都与\(a\)相交。将这些有限的交点排成序列\(A_1,A_2,\cdots\)，考察与\(a\)相交于\(A_1\)的那条直线\(b\)，所有\(n\)点都在\(b\)的\(A_2\)一侧、或就在\(b\)上。为了使得直线上也没有给定的点（以上右图），在每个点\(P_i\)上构造两条线段（相交于\(P_i\)但不含有其它点），对这些线段的\(4n\)点使用刚才结论并得到直线\(l\)。可以证明\(l\)上一定没有给定点，且给顶点都在\(l\)的同一侧。
