1. 顺序公理

　　关联公理仅讨论了对象的连接属性，但这些对象目前仍然是一种无序的状态（集合状态）。为了体现对象的空间性，需要定义一种顺序关系，使得对象更有“方向性”和“位置感”。几何中的“位置”看起来有很多种，比如直线的两个方向、平面的两面、圆形（球形）的内外等，但令人惊讶的是，这些关系居然都可以从直线上三点的关系定义起。

　　按理说两个点就足以确定方向，但要注意“方向”概念本身的引入是需要三个点来说明的。比如为了说明直线上点 $A$ 的两侧，你必须指出分属两侧的点 $B, C$ 与 $A$ 构成何种顺序关系（ $A$ 介于 $B, C$ 之间）。顺序公理就是定义了直线上三点间的“介于”关系，也可以说成点 $A$ 在 $B, C$ 之间。

　　 $I I .$ 顺序公理

　　　　 $I I_{1} .$ 一直线上的三点中，最多有一点在其它两点之间，且在点 $A, B$ 之间等价于在点 $B, A$ 之间。

　　　　 $I I_{2} .$ 对于点 $A, B$ ，直线 $A B$ 上存在点 $C$ ，使得 $B$ 在 $A, C$ 之间。

　　　　 $I I_{3} .$ 平面上有直线 $a$ 和三点 $A, B, C$ ，若 $a$ 通过线段 $A B$ 但不经过点 $C$ ，则它必定通过线段 $A C$ 或 $B C$ 。

　　公理 $I I_{1}$ 先声明了介于关系的对称性，对于一个崭新的概念，这些看似多余叙述其实是严谨性所要求的。 $I I_{1}$ 还限制了介于关系不多于一个，却没有直接表述三点介于关系的存在性，这是因为它可以通过其它的公理推导出来，这个我们等会再看。公理 $I I_{2}$ 将 $I_{2}$ 进行了扩充，使得直线上的点不止两个，而且它是向两个外部方向扩展的，为构造更多的点提供方便的工具。

　　在继续讨论之前，可以先定义一下线段，对任意两点 $A, B$ ，它们可以合称为线段 $A B$ 或 $B A$ （次序无关）。点 $A, B$ 就叫线段 $A B$ 的端点，介于 $A, B$ 之间的点也叫线段 $A B$ 上的点或线段 $A B$ 的内点。若不同于 $A B$ 的另一直线 $a$ 经过线段 $A B$ 的某个内点，那么称直线 $a$ 穿过线段 $A B$ 。注意，这个线段的定义避免了“所有介于 $A, B$ 之间的点”这样的描述，使得讨论可以仅限于问题中的有限个元素。

　　光靠在一维空间的讨论，非常难以构造直线上的顺序关系，公理 $I I_{3}$ 巧妙地通过二维空间一次性结束了整个顺序公理。 $I I_{3}$ 可以这样直观地理解（以下左图）：一条直线进入三角形的内部后，一定会再从中出来。这条公理其实为封闭曲线的讨论奠定了基础，而且公理中直接给出了构造两点之间点的方法，其实联合 $I I_{2}, I I_{3}$ 可以生成非常复杂的介于关系。先来构造介于 $A, B$ 之间的点，取直线 $A B$ 外一点 $D$ ，作点 $E$ 使 $D$ 在 $A E$ 之间，再作点 $F$ 使 $B$ 在 $E F$ 之间。对 $△ A B E$ 和直线 $D F$ 使用 $I I_{3}$ 可知 $D F$ 必定穿过线段 $A B$ ，设交点为 $C$ ，它就是我们要构造的点。

　　以上右图结合了公理 $I I_{2}, I I_{3}$ ，它是个非常基础的图形，其中的小结论可以作为有力的证明工具，以后会经常用到。具体来说，图中共有四个介于关系，用其中的两个可能推导出另外两个，只不过现在为止还只能得到两个结论。首先，如果 $D, B$ 分别在线段 $A E, E F$ 上，则显然点 $C$ 分别在线段 $A B, D F$ 上。还有，如果 $D, C$ 分别在线段 $A E, D F$ 上，则可以先后证明 $B, C$ 在线段 $E F, A B$ 上。剩下的因果关系，你可以在得到下段的结论后再讨论。

　　在构造空间的位置之前，先要把直线上的顺序关系定义好，而此时我们还需要把上面遗漏的一些问题解决。一个是公理 $I I_{1}$ 中没有指出介于关系的存在性，如以下左图，先假设点 $A, B$ 不在线段 $B C, A C$ 上，目标是证明点 $C$ 在线段 $A B$ 上。先取直线 $A B$ 外一点 $D$ ，并作点 $E$ 使 $D$ 在线段 $C E$ 上，先由 $I I_{3}$ 不难得到 $F, G$ 分别在线段 $A E, B E$ 上，然后用上面的小结论很快得到 $D$ 在线段 $A G, B F$ 上，最终可得 $C$ 在线段 $A B$ 上。另一个要解决的是 $I I_{3}$ 中未说明的： $a$ 是否只经过线段 $A C, B C$ 中的一个。假设 $a$ 与三条边都有交点，则交点 $D, E, F$ 中必定有一个在其它两个之间，设 $E$ 在 $D, F$ 之间，利用上面的小结论直接得到 $C$ 在线段 $A F$ 上，导出矛盾。

　　现在来看看如何定义直线上的顺序关系，所谓顺序关系，就是给定直线上的一个点集，一定可以把它们排成序列 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ （这里否定了环线的存在），使得如果 $i < k < j$ 则必有 $A_{k}$ 在 $A_{i}, A_{j}$ 之间。首先需要说明，如果这种排列存在，则只有两种可能，且它们正好是首位相倒的，这个不难用反正法来证明。首先所有序列的首尾两个点（或者翻转之后）必定是相同的，因为它们都不在其它点之间，而这样的点只能有两个 $A, B$ 。然后如果线段 $A B$ 之间的点 $C, D$ 在不同的序列中顺序不同（ $A C D B, A D C B$ ），由唯一的介于关系也能直接导出矛盾。另外还容易看出，任何子集的排列（或者翻转后）也是序列的一个子序列。

　　当 $n ⩽ 3$ 时，这个序列显然存在（且翻转后唯一），下面用归纳法证明对任意 $n$ 都存在。设给定直线上的 $n + 1$ 个点，先把其中的任意 $n$ 个点排成序列 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，然后证明可以把另外一个点 $B$ 插入到这个序列中。为证明结论，我们需要两个简单的引理，它们是三点序列 $A B C$ 扩展为四点 $A B C D$ 的常见情形（以下左图）。已知条件当然是 $B$ 在 $A, C$ 之间，由此先构建基本图形 $A B C E F G$ 。第一种附加条件是 $C$ 在 $B, D$ 之间，这时也同样得到基本图形 $D C B G F H$ ，考察 $△ A D G$ 与直线 $F C$ 便知 $C$ 在 $A, D$ 之间。同理可证 $B$ 在 $A, D$ 之间，因此 $A B C D$ 构成四点序列。第二种附加条件是 $C$ 在 $A, D$ 之间，同样考察 $△ A D G$ 和直线 $F C$ ，可知 $H$ 在 $D, G$ 之间。结合 $G$ 在 $B, F$ 之间可得到基本图形 $D C B G F H$ ，从而得到 $C$ 在 $B, D$ 之间，并进而得到 $B$ 在 $A, D$ 之间，它们说明 $A B C D$ 构成四点序列。

　　现在回到问题的证明，考察点 $B$ 与 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 组成的序列，它相当是把 $B$ 插入到序列 $A_{2}, \dots, A_{n}$ 的 $n$ 个位置。当序列是 $A_{2}, \dots, A_{n}, B$ 时，问题是要证 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}, B$ 构成序列，为此只要证 $A_{i} (2 ⩽ i ⩽ n)$ 在 $A_{1}, B$ 之间，对 $A_{1}, A_{i}, A_{j}, B (2 ⩽ i < j ⩽ n)$ 使用以上引理即可。当序列是 $A_{2}, \dots, B, \dots, A_{n}$ 时，问题是要证 $A_{1}, A_{2}, \dots, B, \dots, A_{n}$ 构成序列，同样对 $A_{1}, A_{i}, B, A_{j}$ 使用引理即可。当序列是 $B, A_{2}, \dots, A_{n}$ 时（以上右图），问题是要证 $A_{1}, B, A_{2}, \dots, A_{n}$ 或者 $B, A_{1}, \dots, A_{n}$ 构成序列。如果 $B$ 在 $A_{1}, A_{n}$ 之间或 $A_{1}$ 在 $B, A_{n}$ 之间，利用引理即可分别得到结论，现在还需证明 $A_{n}$ 不可能在 $A_{1}, B$ 之间。这时可以构造基本图形 $C D B A_{2} A_{n} F C$ 和 $C E A_{1} A_{2} A_{n} F$ ，考察 $△ C B A_{1}$ 和直线 $D A_{n}$ 便可知 $A_{n}$ 不可能在 $A_{1}, B$ 之间。

2. 边界和区域

　　刚刚我们证明了直线上点集的顺序性，而顺序性自然能给出方向的定义，这对在几何中建立空间概念必不可少。比如，前面当证到至少存在一点在任何两点之间时，你一定迫不及待说，依次类推可知两点间有无穷多个点。但无穷的概念只有在序列（自然数）出现后才能被说清楚，因此这个论断一定不能缺少顺序定理在场。笼统地说，顺序关系使得点在空间有了秩序和位置，从而可以被划分、切割，这样使得聚类讨论成为可能。

　　所谓划分，就是使用一个边界将空间中的点进行分类，同类的点组成一个区域，区域和区域之间没有交集（边界和区域尚未定义）。区域最大的特点就是：同一区域的点是相互连通的，而不同区域则不连通。直线上的点集将直线划分成多个线段或射线（段），每段就是一个区域，分割点便是边界。平面上的直线、或射线线段组成的图形把平面分成了多个区域（片），三维空间中的平面或片又将空间分割为多个区域（块）。点将直线分割为段，段将平面分割为片，片将空间分割为块，这些都是直观的叙述，需要逐一对其进行严格定义。以下仅举几个基础的场景作为示例，不展开完整叙述，而且你还要知道，这里并不涉及复杂的曲线面。

2.1 简单的划分

　　为了说明连通性，先要定义折线段，它是一组首尾相连的线段 $A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \dots, A_{n - 1} A_{n}$ 的总称，也可简记为 $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ ，点在折线段上是指在某个线段上或是某个端点。所谓点 $A, B$ 连通，是指存在折线段 $A \dots B$ ，它与边界没有交点（边界视情况而定，可能是点、线、面、以及复杂组合）。上面说道区域内的点相互连通，这就暗示连通其实是一个等价关系，而对称性、传递性都比较显然。如果区域中的任意两点的线段与边界无交点，则它也叫线段连通的，否则叫折线连通的。

　　先来看单个点 $O$ 对直线 $a$ 的分割，当 $a$ 上的两点 $A, B$ 连通时，其实等价于点 $O$ 不在线段 $A B$ 上。有时还把这样的点 $A, B$ 称为在 $O$ 的同侧，否则称为在 $O$ 的异侧。如果非要用线段（非折线段）连通作为同侧的条件，则还要证明同侧具有传递性。假设 $A, B$ 同侧且 $A, C$ 同侧，则讨论 $O, A, B, C$ 组成的序列，必然有 $B, C$ 在序列中有 $A$ 的一侧，即 $B, C$ 也在 $O$ 同侧。另外，容易构造点 $L, R$ 使得 $O$ 在它们之间，用顺序理论可证直线上的其它点只能和 $L, R$ 之一同侧，所以 $O$ 把 $a$ 分成了两个区域。点 $O$ 和和其中的一侧合称为一条射线，当点 $A$ 在这一侧时也称 $A$ 在射线上，或者记射线为 $O A$ ，显然直线被其上的任意点分成了两条射线。

　　再来看直线 $a$ 对平面 $α$ 的分割，这时也可以用线段连通作为同侧的定义： $A, B$ 都不在 $a$ 上，且线段 $A B$ 与 $a$ 没有交点，则称 $A, B$ 在 $a$ 的同侧。同侧的传递性直接用反证法和公理 $I I_{4}$ 可证。另外，同样容易构造出在 $a$ 异侧的两个点 $L, R$ ，利用反证法也可证明：平面上的任何点都同 $L, R$ 之一在同侧， $α$ 被其上的任意直线分割成了两个区域。对空间中的任意平面 $α$ ，用完全相同的方法，可以定义同侧并证明其传递性，而且空间被 $α$ 分割为两个区域。线、面、空间这种简单的划分，其实还可以作为“方向”的定义，这里不展开阐述。

　　说到“方向”，其实还有一种常见的场景，那就是旋转（本段是本人杜撰），平面上绕点旋转、空间中绕直线旋转。要想在空间对象 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 上定义旋转方向，就需要给环状序列 $a_{1} \dots a_{n} a_{1}$ （ $n ⩾ 3$ ）一个合适的定义，而且这种定义下只有两种环状序列（旋转重合算一种），它们翻转后重合。以平面上的直线绕点 $O$ 旋转为例，在不区分直线上点 $O$ 的两侧的情况下，我们来构造直线环状序列。其实要定义的只是直线的“相邻”关系，且任一直线总是只与另外两条直线相邻，如果能证明环状序列的存在性，其唯二性也就显然了。

　　在同一平面上通过点 $O$ 的 $n$ 条直线，何为两条直线相邻？首先，两条将平面分割为四个区域（显然是线段连通的），而且它们可以被分成两对，每对都在两条直线的不同测，这些区域对便是定义的关键。问题可以先退化到只有一条直线 $a_{1}$ 的情形，空间被分割为一对线段区域（每个区域线段连通），且这对区域在 $a_{1}$ 的两侧。当添加直线 $a_{2}$ 时，容易证明 $a_{2}$ 的两条射线分别处于之前的一对区域中，且把它们分成了两对区域（仍然线段连通），而没对区域都处于 $a_{1}, a_{2}$ 的两侧。如果 $a_{i}, a_{j}$ 划分的两对区域中，有一对里不含其它直线，我们就称 $a_{i}, a_{j}$ 相邻。开始时 $a_{1}, a_{2}$ 相邻，且把它们组成环 $a_{1} a_{2} a_{1}$ ，其中的两个间隙可对应两对区域。后面每次加入一条直线，（类似的证明）都只会分割之前的某对区域，且分割后的每对区域都在所有直线两侧（且线段连通）。新添加的直线 $a_{k}$ 破坏了原来的相邻关系 $a_{i} a_{j}$ ，但引入了新的相邻关系 $a_{i} a_{k}, a_{j} a_{k}$ ，这就相当于把 $a_{k}$ 插入到 $a_{i}, a_{j}$ 之间，环得到扩展而性质不变。这个逐步添加的过程便可以构造出满足条件的环状序列。

2.2 角

　　你可能会问，把以上论证中的直线换成射线不是更简洁吗？但其实我们还没有建立任何的射线分割的理论，离开相应的结论以上论述就经不住推敲。为此我们就讨论一下射线对平面的分割，设 $h, k$ 为平面上以 $O$ 为端点两条不共线的射线，并且记直线 $h, k$ 上的另外一条射线为 $h^{'}, k^{'}$ 。射线 $h, k$ 合称为一个角，并记为 $∠ (h, k)$ （ $h, k$ 不分顺序）， $h, k$ 分别叫角的边， $O$ 叫角的顶点。直线 $h, k$ 交于 $O$ ，且把平面分割为四个线段连通的区域，以这个视角看待射线对平面的分割会更加方便。

　　如果以 $∠ (h, k)$ 为边界，以下左图的区域 $I$ 自然是一个线段连通的区域，它叫 $∠ (h, k)$ 的内侧，相应的，平面上 $∠ (h, k)$ 和 $I$ 之外的“区域”称为角的外侧。对于外侧的任意两点 $A, B$ ，取区域 $I I I$ 中任意一点 $C$ ，不难证明 $A, B$ 都和 $C$ 线段连通，从而 $A, B$ 折线连通。所以外侧是连通的，它可以被称为一个区域，然后需要说明内外侧不连通。取内侧的点 $A$ 和外侧的点 $B$ ，不失一般性，可设 $B$ 与 $A$ 在直线 $k$ 的两侧（以下右图）。首先容易证明：无论如何折线段 $A \dots B$ 都与直线 $k$ 相交，如果射线 $k$ （包括点 $O$ ）上有交点，则结论得证。如果交点在 $k^{'}$ 上，设第一个交点为线段 $C D$ 上的点 $E$ （ $E$ 可能为 $D$ ），则 $A, E$ 在直线 $h$ 的两侧。设折线 $A \dots C E$ 与直线 $h$ 交于点 $F$ ，则 $F$ 必然在射线 $h$ 上，结论得证。

　　然后继续讨论角的性质，利用射线和直线的位置关系，容易证明，从 $O$ 出发的任意射线（不同于 $h, k$ ）必然整个在角的内侧或外侧，而且它把这一侧又分割为两个区域。其中后一个结论不是不证自明的，需要从直线分割的角度分类讨论。有了这些结论，就可以用射线定义旋转的方向了。把某一侧没有其它射线两条射线定义为相邻的，后面的论证非常类似，这里不再赘述。有了环状序列，便可以从任意一处断开为顺序序列，也就是说在角的每一侧可以建立射线的顺序关系。这时就可以在射线之间定义“之间”的概念，即如果射线 $c$ 在 $∠ (a, b)$ 内侧，则称 $c$ 在 $a, b$ 之间。

　　当然，如果没有前面关于旋转的讨论，也可以仅凭“之间”的定义对角内侧射线建立顺序关系。构造关系时，可以顺利借助直线上点的顺序关系，为此先来看一个简单的引理（以下左图）。分别在射线 $h, k$ 上取点 $H, K$ ，则显然线段 $H, K$ 的内点都在角的内侧。再考察从 $O$ 出发的内侧射线 $l$ ，取点 $A$ 使得 $O$ 在 $H, A$ 之间，然后容易证明直线 $l$ 与线段 $A K$ 不相交（以 $h$ 为边界），最后对 $△ H A K$ 和直线 $l$ 使用 $I I_{4}$ 知 $l$ 与 $H K$ 必定相交。这个结论把射线的“之间”关系转化为点的“之间”关系，利用这个对应可以证明，三条射线中最多有一条在其它两条之间（反证）。

　　当然这里仅讨论角内侧中的射线簇，或者换个说法，射线簇中存在一个射线 $a$ ，使得其它射线 $h_{1}, \dots, h_{n}$ 都在直线 $a$ 的同一侧。如果能找到一个 $h_{1}$ ，使得其它 $h_{j}$ 都在 $∠ (h_{1}, a)$ 内侧（以下右图），则在 $h_{1}, a$ 上分别取点 $H_{1}, A$ 。讨论线段 $H_{1} A$ 与其它射线的交点构成的序列（包括 $H_{1}, A$ ），便能建立一个射线序列，其中 $h_{1}, a$ 是序列两端。可以使用归纳法证明结论，当 $n = 2$ 时，如果 $h_{1}$ 在 $∠ (h_{2}, a)$ 内侧，则结论成立。如果 $h_{1}$ 在 $∠ (h_{2}, a)$ 外侧，则线段 $H_{1} A$ 必与直线 $h_{2}$ 相交，但交点又只能在直线 $a$ 的同一侧，所以必然在射线 $h_{2}$ 上， $h_{2}$ 在 $∠ (h_{1}, a)$ 内侧。当引入 $h_{n + 1}$ 时，类似地讨论 $h_{1}, h_{n + 1}, a$ 之间的关系，也能证明结论。

2.3 多边形

　　空间中还有一种分割方法，是一个封闭区域所划分的内外侧，展开讨论篇幅将很大，这里仅举平面上封闭区域为例。所谓封闭，就是折线段且首尾相连 $A_{1} \dots A_{n} A_{1}$ ，它被称为多边形（ $n$ 边形），组成它的线段和端点分别叫多边形的边和顶点。当多边形的任意两边没有公共点时（包括端点和线段内点），它也叫简单多边形。直觉上简单多边形（以下简称多边形）将平面划分为内外侧，直线可以不通过内侧，即使通过两侧也一定在外侧，下面就来讨论这一系列问题。

　　由于折线段的情况非常复杂，试图通过直线的两侧来定义区域将非常困难，这时不妨从直观性质中寻找灵感。直观上，一个从封闭区域内侧出发的射线，最终一定会跑到外侧，因此它必定穿过边界奇数次。在此我们必要严谨地讨论一下射线“穿过”多边形的次数。直线和多边形有公共点的情形无非下图中五种，但第三、五种直线没有“刺穿”边界，它们不算一次穿过，其它三种都算一次穿过。另外显然，直线只能穿过线段一次，穿过 $n$ 边形不超过 $n$ 次。为了不造成混淆，这里仍然把“有公共点”称为“相交”，这与课本不同。

　　考察从同一点出发的两条不同射线，它们或者共线、或者组成一个角，但都将平面分成两个区域。这样的两条射线还把多边形分割为多个折线段（首尾是射线和多边形交点，不讨论在直线上的线段），且容易证明：相邻的折线段分别在平面的两个区域。因为从某个折线段出发遍历整个多边形还会回来，所以折线段的个数必定是偶数，即两条射线穿过多边形的总次数是偶数。这就是说，从同一点出发的任意射线穿过多边形的次数有相同的奇偶性，次数为奇（偶数）数的叫多边形的内点（外点）。我们要证明的结论则是：以多边形为边界，它的所有内（外）点之间都连通，但内外点不连通，这两个区域分别叫多边形的内侧和外侧。

　　为了证明内（外）点的连通性，我们需要一些引理做铺垫，这些引理是为了证明局部的连通性。面对千变万化的多边形，从局部出发、尤其是从多边形的边和顶点附近出发，是一个很客观的策略。先来看一个三角形内点的性质（以下左图），以后把三角形顶点与其对边内点组成的线段叫三角形的“贯线”。在不与边重合的情况下，直线与三角形最多只能有三个交点，而上面知道直线只能穿过多边形偶数次，故此时交点数只能是 $0$ 或 $2$ 。因为通过内点的直线一定与多边形相交，故通过三角形内点和顶点的直线也必然与其对边相交，也就是说内点一定在贯线上，反之显然成立，即点为三角形内点的充要条件是它在某条贯线上。

　　如果线段与三角形相交且有点是三角形内点，那么称这个线段穿过了三角形，它与三角形的交点也叫“穿过点”。考察这样一个 $△ A B C$ 和多边形 $Ω$ （以上右图），如果 $Ω$ 与 $△ A B C$ 的穿过点只能出现在（可以没有）边 $B C$ （包括端点）上，容易证明 $Ω$ 一定有顶点是 $△ A B C$ 内点（就是穿过三角形的线段的某个端点）。容易在 $A C$ 上构造点 $C^{'}$ ，使得 $△ A B C^{'}$ 中没有 $Ω$ 的顶点，即 $Ω$ 上没有 $△ A B C^{'}$ 的内点，这样 $△ A B C^{'}$ 的任一贯线 $B D$ 上都没有 $Ω$ 的点。同样道理，也存在贯线 $C E$ 满足特点，也即存在 $D, E$ 使得图中的绿色线段（不包括端点）上没有 $Ω$ 的点。

　　有了以上引理，我们就来证明一个重要的结论：从简单多边形 $Ω$ （或简单折线段）之外一点 $O$ ，总能通过一条折线段连通到 $Ω$ 上任意一点。先从 $O$ 构造一条与 $Ω$ 相交的射线，而 $A$ 是第一个交点，这时 $O, A$ 就是折线相通的。假设 $Ω$ 上与 $A$ 相邻的两个顶点是 $B, C$ （ $A$ 本身也可能是顶点），下面证明 $O$ 与 $A B, A C$ 上的所有点连通，如果结论成立，则可以依次推断 $O$ 与 $Ω$ 上所有的点都连通。不失一般性，下面证明 $O, B$ 连通。

　　如果 $O A, A B$ 不共线、且 $A C$ 在 $∠ O A B$ 外侧（以下左图），对 $△ A B O$ 使用引理， $O A$ 上存在点 $D$ ，使得 $B D$ 内部没有 $Ω$ 的点，显然折线段 $O D B$ 连通了 $O, B$ 。如果 $O A, O B$ 共线、或者 $A C$ 在 $∠ O A B$ 内侧（以下右图），在射线 $C A$ 上取点 $C^{'}$ ，使得线段 $A C^{'}$ 内部没有 $Ω$ 的点。先对 $△ A O C^{'}$ 使用引理， $A C^{'}$ 上存在点 $D$ 使得 $O A$ 上没有 $Ω$ 的点，再对 $△ A B D$ 使用引理， $A D$ 上存在点 $E$ 使得 $B E$ 上没有 $Ω$ 的点，这时折线 $O D E B$ 连通 $O, B$ 。

　　现在回到内（外）点连通的证明（以下左图），设 $A, B$ 都是内（外）点，先在 $Ω$ 某条边上取一点 $C$ ，且假设已经构造出连通折线 $A \dots D C$ 和 $B \dots E C$ 。对 $△ C A B$ 使用引理， $E C$ 上存在点 $F$ 使得 $D F$ 上没有 $Ω$ 的点，显然折线段 $A \dots D F E \dots B$ 连通 $A, B$ ，区域性得证。要证明两个区域不连通，等价于证明不存在连点线段连通。分别在内、外侧取点 $A, B$ ，考虑射线 $A B$ 穿过 $Ω$ 的情况，根据内外点的奇偶性不同，可知线段 $A B$ 上一定有穿过点，内外侧的不连通性得证。

　　最后的问题是直线与多边形的相交情况，首先如果直线穿过多边形，由于内点射线的穿过次数为奇数，直线的两端最终一定都在外侧。那么有没有直线不穿过多边形、甚至和多边形没有交点呢？这个问题可以换成一个更一般的问题：平面上有 $n$ 个点，是否存在直线 $l$ ，使得所有点都在 $l$ 的同一侧？先任取一直线 $a$ ，假设 $a$ 的两侧都有点，将两侧的点互相相连，这些直线一定都与 $a$ 相交。将这些有限的交点排成序列 $A_{1}, A_{2}, \dots$ ，考察与 $a$ 相交于 $A_{1}$ 的那条直线 $b$ ，所有 $n$ 点都在 $b$ 的 $A_{2}$ 一侧、或就在 $b$ 上。为了使得直线上也没有给定的点（以上右图），在每个点 $P_{i}$ 上构造两条线段（相交于 $P_{i}$ 但不含有其它点），对这些线段的 $4 n$ 点使用刚才结论并得到直线 $l$ 。可以证明 $l$ 上一定没有给定点，且给顶点都在 $l$ 的同一侧。