【其它】音阶中的数学
1. 动机
近期，六岁的女儿在学钢琴，作为监工和陪练，这对我却是个不大不小的困难。因为陪练并不是站在一旁嚷嚷着“好好练琴”就行，共同学习、一起交流才能够让小孩有持续的热情。为了把这件事变得有趣和高效，我打算从零学一点音乐，首先至少能看懂少儿钢琴的书吧。想想我们这一代的农村学校，连个音乐老师都没有，更不谈什么音乐知识，能接受到的音乐“熏陶”恐怕也只有大街小巷的那些流行歌曲了。这种粗粝的音乐审美也许已经无法提高，但“学习基础乐理”这样的硬任务应该还是可以完成的。
很久之前就听说音乐和数学有着千丝万缕的联系，我早就想一睹音乐中的数学之美，但拿起各种正规乐理教材后，心里的落差还是很大的。不仅没有数学教材的那种干净利落，甚至也没有计算机教材的循序渐进，整个就是杂乱概念的堆砌。概念没有清晰的定义、没有引入的原因，概念间复杂的关系更是说不清楚道不明，名词总是硬生生地放在那里，你记就是了。也许是因为多年的理工科工作习惯，这样的书我真是一页也看不下去，不是看不懂，而是看得不得劲。但静下心来想想，我需要的只是对概念来源的一个解释，哪怕是一个错误的解释，只要我觉得合理就行。
当然我也知道，音乐本身还是感性的东西，它变换莫测、风格多变，甚至连好坏都没有统一的标准，想用一套理论就把它完全解释肯定是不现实的。但万事万物都都会有一些基本规律存在，人类文明也正是在归纳总结中积累起来的，即使是艺术、文学类的创作，也都要满足基本的美学规律。音乐作为一个普世的文化活动，经过上千年的流传和演进，在不同地域的文明中都建立起了理论体系。但令人惊奇是，在音律的基本要素上，各种体系都殊路同归，具有非常类似的构成。如今，音律的语言已经趋于一致，人们已经有了统一的描述方式，并且在此之上继续探索、总结……
音律中跟数学关系最直接、最久远的当属音阶系统了，早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派就发现，频率呈简单整数比的两个音听起来非常协和，并且几乎全世界的音阶系统，都是基于这样一个简单的事实建立起来的。下面开始，我就试图用自己浅薄的数学知识来解释一下这套体系，当然其中以数学的阐述为主，而有意淡化乐理的琐碎概念和乐谱的基本知识，那些在任何一本乐理书上都有详尽的介绍。最后我还想说，对于乐器演奏技法、甚至音乐理论学习，整理这些东西并无大用，用这种思维去学习音乐也必将学无所成。但对于一个理科生，只是想要一个解释而已，这不算过分吧，先让我痛快了再说！
2. 关于声音
首先严格说，声音就是一段声波，它是物体震动从而带动的空气震动。当然，杂乱无章的震动并不能对听觉提供可识别的特征信息，具有明显特征的声音在一段时间内应当（或近似）呈现一定的周期性，所谓周期性就是震动以一定频率重复出现。有三个特征可以完整刻画一段周期声波，首先是声波的震动周期，它一般用频率来表示，在音乐里还叫音高，人耳能听到的声音频率大概是\(20\sim 20000Hz\)。第二个是声波的形状，它构成了每段声音的独特感觉，音乐上也叫音色，不同乐器发出的声音都很容易辨认，就是因为它们的音色不同。第三个就是声音震动幅度的大小，它直接关系到声音的大小，也就是我们平常说的音量。
教材上还告诉我们，每个周期声波都是有一系列频率为\(f,2f,3f,\cdots\)的正弦波（振幅不同）叠加而成的。但我觉得这个说法并不严谨，虽然傅里叶级数告诉我们：“满足一定条件的周期函数可以有唯一的傅里叶分解”，但这并不能说明：周期声波天然地就是由那些正弦波叠加而成的。傅里叶级数只是数学工具，它是个人工概念，用来帮助人们分解声音以便更好的分析。就好比物理上经常把运动按正交轴进行分解一样，这是用数学工具来分析运动，但并不是说：运动天然地就是由两个方向的运动组成。
正弦波也叫简谐波，它是由简谐振动产生的声波，而简谐振动现实中非常普遍的一种运动。所谓简谐振动可以这样描述：它在中心两侧运动，加速度（或所受合力）始终指向中心，并与位移\(y\)成正比。弹簧的震动就是典型的简谐振动，其实现实中大部分物体的自身震动都是由若干简谐振动组成的，这也说明了为什么周期声波都可以很好地进行傅里叶分解。在音乐里，简谐波也叫纯音，纯音叠加而成的复合音，如果仍然有明显的周期，则叫单音，否则叫拍音。单音的傅里叶分解中，周期最大的纯音叫做这个单音的基音，其它纯音则叫泛音。
到这里还有最后一个问题：为什么简谐波就是正（余）弦波，仅仅因为它好看吗？我只得承认，书本里学的知识已经全部忘记了，现在只好自己再推算一遍。一种直接的方法就是根据简谐振动的特点，可以得到式（1）的常微分方程，从而解得\(y(t)\)是正弦函数。还有一种间接的证明方法，就是观察如图的匀速圆周运动。考察运动点\(P\)以及其加速度\(a\)在\(y\)轴的投影，显然它们成正比关系，具体说就是\(a_y(t)=\dfrac{a}{R}y(t)\)。也就是说简谐振动正是匀速圆周运动在一维空间的投影，设它的角速度是\(\omega\)（逆时针方向），它的波形自然就是\(R\sin\,\omega t\)。
\[y''(t)=ky(t)\tag{1}\]
3. 十二平均律
单丝不成线，单音不成乐，一首动听的音乐当然要有不同音高的单音，才能表达出情绪的波动。我们也看到，任何一种乐器都能发出多种音高，它们交叉、重叠、依次推进，形成了非常有节奏的韵律。为了能用不同的乐器、在不同的时间和场所弹奏同样一首曲子，需要对每个音作明确定义，这就要事先选定一组单音做为标准，这个组合也被称为音阶。每种乐器使用的音阶不尽相同，但挑选时都遵循着类似的准则，这里我们先跳过漫长的历史过程，来看看如何合理地构建一个通用的音阶。
首先我们知道一个常识：人耳对音高的感知满足对数函数，也就是说音高分别为\(F_a,F_b\)的声音，我们感觉到的“声高”比（我捏造的词）则是\(\dfrac{L_a}{L_b}=\dfrac{\ln F_a}{\ln F_b}\)。设音阶中单音的声高和音高分别是\(L_i,F_i\)，则容易有关系式（2）成立（\(C\)为某常数）。另外，我们希望音阶里的“声高”是逐渐递增的，也就是说\(L_1,L_2,\cdots,L_n\)成等差数列。由式（2）易知\(L_a-L_b=C\ln F_a/F_b\)，从而\(F_1,F_2,\cdots,F_n\)成等比数列。
\[\dfrac{L_1}{\ln F_1}=\dfrac{L_2}{\ln F_2}=\cdots=\dfrac{L_n}{\ln F_n}\;\Rightarrow\;L_i=C\ln F_i\tag{2}\]
把音阶设计成等比数列有很多好处，首先是得到了一套完整、递进的声高系统，它能满足各种场合的需求。还有就是等比音高可以很方便地“转调”，所谓转调就是把乐曲中的每个音都同时升高或降低相同的声高，下面的调式中会碰到这样的情况。总之这是一个不错的开始，只要再添加少许限制，就可以确定这套音阶了。音乐中的不同单音扮演着不同的角色，它们需要配合使用才能体现出流畅或变化，所谓流畅就是两个单音出现重合或叠加时，并不显得突兀，而是显得十分“协和”。
早在古希腊时期人们就发现，频率成简单整数比的两个音在一起更加协和，尤其是成倍数关系的两个音叠加时，音高并没有变化。这个其实不难解释，两个周期比为\(m:n\)的两个音重合时，周期变为最小公倍数\([m,n]\)，当\(m,n\)都不大时，重合音的音高也没有突然降低，并且都是原来音高的倍数。既然倍数关系的音高是最协和的，我们就必须把最简单的倍数\(2:1\)添加到音阶中，任意选定一个“基础音”后，它的\(2^k,2^{-k}\)倍音也必须出现在音阶中，这就得到了音阶序列\(\cdots,\,2^{-2}F,\,2^{-1}F,\,F,\,2F,\,2^2F,\,\cdots\)。
但是成倍数的单音又太过协和了，完全体现不出变化，乐曲会显得很空洞。所以需要在\([F,2F]\)间再添加一些音（其它区间类似），当然添加不能忘了等比关系，添加后的音应当是式（3）的序列。这时只要确定整数\(n\)即可，而这只需再添加一个音。所有非倍数的整数比中最简单的就是\(2:3\)，从而把\(\dfrac{3}{2}F\)添加进序列（3）是毫无争议的，也就是寻找\(m\)使得\(2^{\frac{m}{n}}=\dfrac{3}{2}\)。
\[2^0F=F,\:2^{\frac{1}{n}}F,\:2^{\frac{2}{n}}F,\:\cdots,\:2^{\frac{n-1}{n}}F,\:2^{\frac{n}{n}}F=2F\tag{3}\]
但显然\(\log_2\dfrac{3}{2}=0.5849625\cdots\)是无理数，不能表示成\(\dfrac{m}{n}\)的形式，这时我们只能稍作妥协，取一个\(\log_2\dfrac{3}{2}\)的近似分数。到了这一步，自然地就想到了实数的连分数表示，首先算得\(\log_2\dfrac{3}{2}\)的简单连分数是\([1,1,2,2,3,1,5,2,23,\cdots]\)，前几个近似分数分别是\(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{5},\dfrac{7}{12},\dfrac{24}{41},\dfrac{31}{53},\cdots\)。第一个达到\(0.1%%\)精度的（包括第一类近似逼近）是\(\dfrac{7}{12}\)，\(12\)大小合适，并且在古代是个很有地位的数（因为约数多），不选它简直天理难容了。
\[\log_2\dfrac{3}{2}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}\approx\dfrac{7}{12}\tag{4}\]
以此建立音阶的方法就叫做十二平均律，它诞生于相当久远的中国古代，16世纪由明朝的朱载堉发展成完整的理论，然后在16世纪末传播到欧洲并在17世纪得以普及。十二平均律是目前通用的音律体系，后面的音程、调式、调性、和声、和弦理论都是建立在此之上的，只不过这些理论几乎都是在欧洲发展起来的。
4. 音程与协和性
在音律中有时非常关心两个单音之间的“距离”，它显然可以用单音的频率比来度量，这个比率在音乐中也被叫做音程。由于十二平均律得到音阶形成完整的等比数列，从而可以用相邻单音的频率比作为单位来“数”出音程大小，这个单位叫做一个“半音”，两个半音则叫一个“全音”，这样的音程表示法也叫音数。至于为什么把半音作为一个单位，我想大概是因为许多音阶中，两个半音的距离是比较主要的音程，这个在下面的调式中将详细讨论。另外，一个半音还被分为100个音分，它可以用来度量更小精度的音程。
由于\(F\)与\(2F\)的单音极度相似，音阶中就好像只有12个音循环出现（只是音高加倍），因此我们把讨论的重点放在一个周期中。在正式给出这些音的名称之前，这里先用数字\(0\sim 12\)代表它们，下面要讨论的是这13个单音之间的协和程度。这属于乐理中的和声学部分，那里把音程的协和程度分成了五种：极完全协和、完全协和、不完全协和、不协和、极不协和。首先我们知道，音\(0\)与音\(12\)以及自身是非常协和的，它们也叫做极完全协和音程。
然后我们还知道，音\(0\)与音\(7\)的频率比近似为\(2:3\)，它们的协和程度也很高，从而被叫做完全协和音程。接下来，音\(7\)的\(\dfrac{3}{2}\)倍音出现在了下一个循环中，熟知取模运算的你一定知道，它就是音\(2\)的2倍音。从而易知音\(2\)与音\(7\)的近似频率比为\(\dfrac{4}{3}\)，它们也是完全协和的。换句话说，任何一个音都有上下两个与它完全协和的音，这个协和关系可以像下图那样形成一个环链（因为7与12互质）。
历史上，早期的音阶其实就是用上图的环链构建的，但只是使用了环中的\(5\)-\(0\)-\(7\)-\(2\)-\(9\)-\(4\)-\(11\)一段共七个音。由于音程\(\dfrac{3}{2}\)也叫纯五度（下面再介绍），故这个方法也叫五度相生律。但不难发现，五度相生律中会出现分母很大的分数，崇尚小整数比的古人利用小质数\(2,3,5\)构建出了它们的近似分数（见下表，不包括括号内的音），这个生成法也叫纯率。五度相生律更注重单音之间的协和性，而纯率更关注所有单音与\(F\)之间的协和性，在无法协调的情况下，十二平均律则是一个折中的方法。并且十二平均律的平滑性和完整性，也使得它成为了后来的标准。五度相生律和纯率被长期使用的期间，七个音的音名也被约定俗成地继承了下来（见下表，括号中是它们的唱名），后来添加进来的五个音只好用升降号来表示。
| 十二平均律 | 五度相生律 | 纯率 | 音名（唱名） | 音程 |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | C (Do) | 纯一度 |
| \(2^\frac{1}{12}\) | \((256/243)\) | \((17/16)\) | C# / Db | 小二度 |
| \(2^\frac{2}{12}\) | \(9/8\) | \(9/8\) | D (Re) | 大二度 |
| \(2^\frac{3}{12}\) | \((32/27)\) | \((6/5)\) | D# / Eb | 小三度 |
| \(2^\frac{4}{12}\) | \(81/64\) | \(5/4\) | E (Mi) | 大三度 |
| \(2^\frac{5}{12}\) | \(4/3\) | \(4/3\) | F (Fa) | 纯四度 |
| \(2^\frac{6}{12}\) | \((729/512)\) | \((7/5)\) | F# / Gb | 增四 / 减五 |
| \(2^\frac{7}{12}\) | \(3/2\) | \(3/2\) | G (So) | 纯五度 |
| \(2^\frac{8}{12}\) | \((128/81)\) | \((8/5)\) | G# / Ab | 小六度 |
| \(2^\frac{9}{12}\) | \(27/16\) | \(5/3\) | A (La) | 大六度 |
| \(2^\frac{10}{12}\) | \((16/9)\) | \((9/5)\) | A# / Bb | 小七度 |
| \(2^\frac{11}{12}\) | \(243/64\) | \(17/8\) | B (Si) | 大七度 |
| \(2\) | \(2\) | \(2\) | C (Do) | 纯八度 |
伴随着七个单音，音程也有对应的名字，单音到自身的音程叫一度，然后依次增一度，到2倍音程叫八度。可见度数并不是严格的定义，而是一个经验性的命名，从我有限的资料中并未找到它的来源，以下纯属瞎掰。由于一度、四度、五度、八度有很强的协和性和确定的频率，它们也被叫做纯音。二、三、六、七度前面都补充了一个降半音的音，为区别开来，把原来的四个叫大X度，新增的叫小X度。这十三个度数之间近似相差半个音，之所以说近似，是因为非平均律下，这个间距就不是半个音了。所以当一个音要增、减半个音（一个音）时，还特地取名为增、减音程（倍增、减音程），下表总结了音程名称的变化规律，左右相邻的两个音程相差半个音。
| 倍减音程 | 减音程 | 纯音程 | 增音程 | 倍增音程 | |
| 小音程 | 大音程 | ||||
关于其它音程的协和性，一般把三度、六度看成是不完全协和的，大二、小七看成是不协和的，小二、大七看成是极不协和的，增四/减五则表现极不稳定。其原因一般也归结为整数比的“复杂”程度，但如何定义这个复杂程度则莫衷一是，各种解释都不能让人信服。如果小整数比的理论成立，那这些协和性很可能只对纯律有效。在十二平均律下，每个频率都有许多近似分数，如何选择代表分数是个难题，以下只是我的推测。
对于音程为\(x>1\)的两个音，设周期分别为\(T,xT\)，它们的和声不一定有固定周期，只有一些大大小小的近似周期。一个近似周期应当同时约等于\(T,xT\)的倍数，设它们是\(mT,nxT\)，要想周期比较明显，\(|m-nx|T\)应当足够小。最小的近似周期应当满足：\(m,n\)尽量小而\(|m-nx|\)也能足够小，回顾连分数的知识可知，这等价于求实数\(x\)的第二类最佳逼近\(\dfrac{m}{n}\)。纯率选取的分数其实就是达到一定精度的第二类逼近，然后\(n\)越小的协和性越好，这与感觉基本吻合。另外我还有一个猜想，那种有理逼近比较慢的音程，由于近似精度低且两个近似周期之间相差小，和声会显得不协和或不稳定。比如典型的增四/减五音，它的连分数是\([1;2,2,2,2,2\cdots]\)，由于连分数的逼近速度慢，它的和声就很不稳定。
5. 调式和调性
以上是关于音阶的基础理论，在实际的曲调中往往只选取少量的音组成音阶，并且在不同时代、不同地区形成了各种风格的音阶。这里讲的“风格”其实就是音阶的“调”，它关系到音乐的情感色彩和情绪高低。一个调（音阶）包括选定的主音以及其它音的音程，它们分别称为调性和调式。
先来看调式，它是指围绕某个主音（Ⅰ）而生成的音阶，对于一种调式，其它音的个数以及相对主音的音程是确定的。在不同的历史时期和地区，产生了风格迥异的调式，这里只拿自然大（小）调为例，介绍调式的构成。自然大（小）调就是我们熟悉的七音音阶，除了主音外先加入上下五度的两个音：属音（V）和下属音（Ⅳ），然后是位于主音、属音中间的中音（Ⅲ）和位于主音（高八度）、下属音中间的下中音（Ⅵ），最后再加上与主音相邻的上主音（Ⅱ）和下主音（Ⅶ）（小调中叫导音）。一般来说，自然大调表现出阳光明朗的风格，而自然小调则阴暗忧伤一点。
在具体音程上，首先两个属音的位置没有疑问，以纯五度为准。但主音和属音之间相差\(3.5\)个半音，中音的位置有两种选择，自然大调选择\(2+1.5\)方式，而自然小调选择\(1.5+2\)的方式，这种不同继而还会影响上（下）主音的位置。最终，自然大调的音程从主音开始依次是“全全半全全全半”，而自然小调则是“全半全全半全全”。如果把音程放到一个八度闭环中，不难发现大、小调其实是“同构”的，只不过平展后有些音相差八度而已。
调性比较简单，主音是什么，一般就叫什么调，比如C调、G调。由于在平均律中有同音异名的现象，同一个调可能有两个名字，比如F#调和Gb调就是相同的。但在非平均律下，它们会有细微的差别，这个我们不多讨论。还有一个问题我们一直没有解决，就是这些音的频率究竟是多少？历史上，标准音的标准一直在变，直到1936年，美国标准委员会才将小字一组的A音（a1）定为440Hz，而与它同一组的C音称为中央C。
有了调式和调性后，音乐的调也就确定了，比如C大调、A小调等。下图将12个音按照五度音程串成一个圆环，由前面的讨论可知，圆环中任何7个相邻的音都正好构成一个自然大（小）调。7个相邻音中的（顺时针）第2个是大调的调性音，而第4个则是小调的调性音，利用这个图可以快速确定不同的音调。至此，我们就算整理完音阶中的数学解释了，但对于乐理知识，这些只能算开篇和序言，希望我这种另类的开篇可以帮助到你。
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【前序学科】 实数系统（连分数）
【参考资料】
[1] 《写给理工科看的乐理》，博客园Devymex
[2] 知乎: www.zhihu.com/question/20612595; www.zhihu.com/question/28518092
