1. 行列式的定义
线性方程组中比较常见的是的情况,我们想知道这种方程组什么时候有唯一解?并且如何用系数表示这个唯一解?对于元数较少的方程,可以直接用消元法得到解的具体公式,比如(1)式就是二元方程组的公式解。公式中重复出现了模式,这个模式不仅能判断方程组是否有唯一解,还能直接表示解的公式。
考虑到二元方程组的系数矩阵(下式左),上面的模式表现为对角线积的差。同样对三元方程组,我们也可以得到重复的模式,分母为,参照系数矩阵(下式右)可知,模式表现为正反斜线的差。

我们现在自然想问,对任意的线性方程组,是否都有这样的模式?它的一般表达式是什么?经过考察更多元的方程组,数学家们还真找到了一般的表达式,式子由所有形式的乘积组成,其中是的一个排列。另外,每一项的符号由排列的逆序数决定,如果逆序数为偶数则为正,否则为负。设系数矩阵为,则这个表达式被称为的行列式(determinant),记作,总结有它的值为公式(2)。
逆序数的概念之前介绍过,这里再简单阐述一下。排列中,如果有但,则称为一个逆序,所有逆序的个数叫排列的逆序数,记作。在实际应用场合,其实更有用的是逆序数的奇偶性,对应就有奇排列和偶排列的概念。容易证明,任意两数的对换会改变排列的奇偶性,而两个排列之间都可以通过一系列对换进行转换,故奇偶性也可以通过对换次数来判断。
行列式的项数正是全排列的个数,并且显然其中奇偶排列各占一半。行列式的每一项是在每一行取列号不同的元素,其实它等价于取个行列号都不同的元素,特别地它还等价于在每一列中取行号不同的元素。由于对调后和的奇偶性同时变化,故它们的和是不变的,这样就得到公式(3)的关系。
行列式最初被发现时,只是为了表达线性方程组的解,但在后面的线性变换和空间的度量中,它却成了不可或缺的工具。行列式定义的计算量比较大,我们往往只能用它来计算一些简单矩阵的行列式,比如可以直接计算如下上(下)三角形行列式。
• 求行列式:,,。
2.行列式的初等变换
既然三角形行列式比较容易计算,我们希望通过初等变换将行列式三角化,为此需要了解初等变换对行列式的影响。首先根据定义容易知道,对行列式的某一行(列)乘上常数,行列式的值也变成倍(公式(5))。从而如果有某行(列)全为,行列式的值也为。另外,将行列式的两行(列)交换,将翻转每一项的奇偶性,故行列式的值取相反数(公式(6))。从而如果某两行(列)相等,行列式值为,再结合公式(5)知,某两行(列)成比例的行列式值也为。
第三个初等变换是将行(列)的倍数加到另一行(列),而首先由定义知,在在一行(列)同时加上一些数,等于两个行列式的和(公式(7))。从而第三个初等变换得到两个行列式(公式(8)),第一个是它本身,第二个的第行是第行倍数,故为。
由上面的讨论可知,初等变换(不包括乘以)只会使行列式的值乘以一个非零值,如果我们只关心行列式是否为,初等变换并不影响结果。具体到的线性方程组中,用初等变换将系数矩阵变为上三角形,方程有唯一解的充要条件是对角线都是非零值,这就等价于原系数矩阵的行列式非零。对维线性空间,任意个向量线性无关的充要条件是:坐标矩阵的行列式非零,两组基之间的过渡矩阵的行列式显然非零。
灵活使用初等变换,可以简化行列式的求解,有些问题还需要较强技巧,考虑以下问题。
• 计算行列式:,,;
• 记的每个元素加上后的矩阵为,求证:。
3. 行列式的分解
3.1 按一行(列)展开
如果要继续研究行列式,一个容易想到的方向就是行列式的分解。对行列式的项,也许我们可以对它们进行分类和聚拢,从而得到有意义的分割。根据行列式的定义,每一项其实是在每一行(列)中各取一个元素,一个比较自然的分割方法就是:按第行(列)的元素分成类,而含有()的项属于一类。设同一类项的和为(),则有下式成立,其中其中称也为的代数余子式。
为了方便讨论,把去除第行、第列后的行列式叫做的余子式(cofactor),并记为。仔细考察的每一项,根据行列式的定义,它们正好与的每一项一一对应。只不过在中是的奇偶性,而在中是的奇偶性。容易证明两者逆序数相差,从而有,公式(9)可以改写为公式(10)。
公式(10)以一行(列)展开行列式,它给出了计算行列式的一个降阶方法,在某些形式的行列式中非常有用。比如当行列式的某行(列)的非零数很少时(或者在一些初等变换之后),那么以这一行(列)展开计算就很快速。尝试计算以下行列式:
• 计算行列式:,;
• 求证:。
以下左式是著名的范德蒙行列式(Vandermonde),在每一行上减掉上一行的倍,第列只有非零,故行列式等于。每一列提取出公倍数就得到上的范德蒙行列式,以此类推就得到阶范德蒙行列式的值(公式(11))。由公式(11)可知,范德蒙行列式等于的充要条件是存在。这个行列式形式独特,在数学的各个分支都有应用,经常出现于一些构造无关向量的场合中。
有时候像范德蒙行列式一样,按行(列)展开并不能直接得到结果,而是一个递推式,解递推式方程即可得到行列式的值。这样的行列式往往具有很规律的结构,在实际应用中经常会碰到,一些常见的行列式最好直接记住它的结论。
• 计算行列式:。
3.2 拉普拉斯定理
上面按一行(列)展开了行列式,其实这个结论可以很容易扩展到按行(列)展开。之前我们以一行(列)的每个元素为分类依据,现在则是要以行(列)中每个阶子行列式为分类依据。记第行、第列的元素组成的行列式为,剩下的行、列组成的行列式称为它的余子式,比如是。
如果要按第行展开,则将行列式所有项按照分类,其中取中所有个数的组合。类似上面的证明思路,可知每一类的符号是,所以有如下按行展开行列式的拉普拉斯定理(Laplace),按列展开类似。
拉普拉斯定理多用于有块状特征的行列式,设分别是的矩阵块,则容易有公式(12)的结论。
• 计算行列式:,其中。
4. 行列式技巧举例
行列式根据定义总是可以计算出来的,但实际问题中的很多行列式具有特殊的格式,而且需要得到一般的表达式。除了上面的基本工具,有时需要很多的技巧,这要求有较高的数学综合素养。我们虽然不建议搞题海战术,但不得不承认技巧和思想在数学中都是不可缺少的,而这需要一些锻炼和总结。我们经常会碰到一些具有特定规律的行列式,需要根据这些规律找到适合它的方法和技巧。
有一种行列式,它的每行(列)非常相似,但又总有一点不同,这时需要想办法提取出相同的部分。一种做法是将相同的部分单独作为新的一行(列)加到矩阵中,然后进行消除,便会得到较简单的形式,我们可以把它叫做加边法。比如以下左式,可以给它添加一行(第一列其它元素为零)。还有一种做法就是将每一行(列)中不同的部分剥离开来,分别计算两个简单的行列式。比如以下右式,可以将第一个拆成,接下来的递归式就容易了。
当行列式表现为一个多项式时,我们可以把注意力集中到确定多项式的系数上,这个方法叫待定系数法。比如以下左式,多项式的个根是可以猜出来的,多项式也就可以得到。再比如以下右式,它可以看做是阶范德蒙行列式的一个余子式。以补完最后一列,范德蒙行列式为多项式,且刚才的余子式便是项的系数(注意符号)。
还有一种方法难度比较大,需要借助公式(见下篇)。有一些行列式可以先分解成两个简单行列式的积,比如以下左式()是两个范德蒙行列式的积。还有一些行列式可以形成较好的乘法等式,而该等式有助于计算行列式,比如以下右式的循环矩阵,考虑到次本原单位根幂次的循环性,你可以尝试将它乘上由组成的范德蒙行列式。
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步