【抽象代数】 08 - 域的扩张

1. 素域和单扩域

1.1 素域

  域是一种比较“完整”的结构,它的限制条件比较多,结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构,研究的方法当然是从小域向大域扩展,若FE的子域,E也叫F扩域扩张。扩张当然要从最简单的域开始,我们比较熟悉的简单域有哪些?最简单的无穷域是有理数域,它是最小的数域,任何数域都包含有理数域;最简单的有限域是整数在素数p下的剩余类域Zp。这两种域都不再有真子域,我们把没有真子域的域称为素域,一般记作

  那么除了这两种熟知的素域外,还有别的素域吗?每个域都含有单位元e,由e生成的域就是所有的素域,而它又是某个生成环的商域,故我们可以从e的生成环Z={ne}讨论起。当char=时,Z与整数环Z同构,从而它们的商域同构,即Q。当char=p时,前面已经讨论过,这样的环Z都同构于同余环Zp,进而有Zp。这样看来,同构意义的下的素域只有QZp,而且任何域都包含且仅包含一个素域。

1.2 单扩域

  有了最简单的域,接下来就开始对域进行扩张,并需要研究新添加元素的性质,以及扩域的结构特点。在F的扩域E中取子集SF中添加S后生成的扩域记作F(S),要注意这个定义总是以扩域E的存在为前提的。我们来讨论这种扩域累加起来有什么性质,考察F(S1)(S2),由定义知它是包含F,S1,S2的域,而F(S1S2)是包含F,S1S2的最小域,故有F(S1S2)F(S1)(S2)。同样也可以推到F(S1)(S2)F(S1S2),这样就得到了公式(1)。

(1)F(S1)(S2)=F(S2)(S1)=F(S1S2)

  以上结论说明扩域F(S)等价于有限步的局部扩张,而且扩张的顺序不影响结果。对局部扩张的研究会有助于整个扩域,特别地我们可以先专注于|S|=1的扩域F(α),它们被称为单扩域。由域的定义及分式的特点,容易知道F(α)中的元素都有格式f(α)g(α),其中f(α),g(α)F中的多项式。所有分式构成了单扩域,但不同分式是有可能指向相同元素的,下面我们就从这里出发,研究单扩域的结构。

  多项式是扩域中的基础结构,对它的讨论可以帮助我们分析域的结构。将αE代入F中的所有多项式F[x],得到的值可能两两不同,也可能出现重复。当出现重复时,将多项式相减就会得到f(α)=0,存在这样多项式的α称为F代数元,否则称为超越元。代数元和超越元存在着本质的差异,需要从这个角度讨论单扩域的结构。对于有理数域在实数域内的扩张,代数数就是代数元,超越数就是超越元,这里实际上是对它们的扩展讨论。

  对于诸多满足f(α)=0的多项式,总可以找到次数最低的一个首1多项式。容易证明对代数元α,这个多项式存在且唯一,它被称为αF上的最小多项式p(x)。最小多项式的次数也被称为代数元的次数,显然F中元素的次数都为1。最小多项式有些简单的性质,首先它在F上是不可约的,否则它必有一个因子满足g(α)=0,与最小多项式的定义矛盾。其次,对任何满足f(α)=0的多项式,必有p(x)f(x),否则使用带余除法可构造出次数更小的多项式满足r(x)=0

  围绕着元素类型或最小多项式,单扩域的结构就比较明显了。虽然直觉已经告诉了你最终答案,但还是要用严格的推理来验证猜想。推理方法当然是从定义合适的同态映射开始,先验证生成环的同构,再推演到商域的同构,请自行验证。当α为超越元时,生成环显然和F[x]同构,从而F(α)同构于其商环F(x)。当α为代数元时,可以证明生成环F[x]同构于F[x]/p(x),由于p(x)不可约,该表达式就是一个域,故有F[α]=F(α)。从而代数元的单扩域就是以p(x)为模的多项式环(公式(2)),这个结论展示了单代数扩域的简洁结构,也说明了研究代数扩域的重要性。

(2)F(α)=F[α]F(x)/p(x)

  以上的结果还表明,若α的次数为n,则F(α)的任何元素都是某个次数次数小于n的多项式的值f(α)=a0+a1α++an1αn1,换句话说每个元素都是1,α,,αn1F上的线性组合,且容易证明表示法唯一。用线性代数的语言就是,单代数扩域F(α)F上的一个n维空间,空间的基为1,α,,αn1。从这个角度分析单代数扩域也是很有用的。

2. 代数扩域

2.1 代数扩域

  在弄清楚单代数扩域的结构后,我们希望进一步研究由更多代数元生成的扩域,或所有元素都是代数元的扩域。首先一个自然的问题是,这两种扩域一样吗?为讨论方便,我们定义后者为代数扩域,含有超越元的扩域则叫超越扩域。由于代数扩域总是由代数元生成的,刚才的问题自然变成:由代数元集合S生成的扩域F(S)是否一定是代数扩域?直觉告诉我们这个结论是成立的,但仔细琢磨却又不那么明显。现在我们分两步来证明这个猜测,先考虑S为有限集的场景,然后再推广到无穷集。

  单代数扩域的线性空间结构提示我们研究更一般扩域的维数,如果扩域E=F(S)F上的线性空间,这个空间的维数被称为EF上的次数,记作[E:F][E:F]有限时,E称为F有限次扩域,否则叫无限次扩域。通过线性代数的简单推演,我们可以得到次数的累加性(公式(3))。以有限次扩域为例,设EK上的基为a1,,amKF上的基为b1,,bn,容易证明aibj就是EF上的基(用线性表示并证明无关性)。

(3)[E:F]=[E:K][K:F]

  对任何n次扩域,考察任意元素的幂次1,α,,αn,这n+1个元素必定是线性相关的,从而α必定是代数元。这就是说有限次扩域总是是代数扩域,可以用它来判断代数扩域。另一方面,当代数元集合S为有限集时,F(S)可以通过有限次的单代数扩域得到,由公式(3)知道F(S)F的有限次扩域,从而它也是代数扩域。这个结论直接说明了,代数元的四则运算还是代数元。而当S为无穷集时,F(S)中元素都能表示成FS中元素的有限个四则运算,从而也是代数元。结合以上两点就得到结论,F(S)总是代数扩域。

  有了这个基本结论,你可以很容易地证明,F的代数扩域的代数扩域还是F的代数扩域。如果扩域E不是代数扩域,我们可以取出其中的所有代数元,容易证明它们组成的集合K是一个域,从而KF的代数扩域。KE中最大的代数扩域,EK中的元素α都是超越元,从而EK纯超越扩域。这样对任何扩域的分析,都可以分成对代数扩域和纯超越扩域的讨论了。

  鉴于多项式的特殊地位,有一类与之相关的代数扩域,这里需要特别讨论一下。多项式最重要的自然是它的根,根α可以从f(x)中分解出一次项(xα),如果f(x)可以完全分解为一次项,它的所有根就代表了这个多项式。对任何多项式都可以完全分解的域叫代数闭域,显然它的任何代数扩域都还是它自身,它已经无法再扩张。

  代数闭域的条件大部分时候还是太强了,也许讨论对某个多项式无法扩张的域对我们更有用。试想F上的某个多项式f(x),如果f(x)不能完全分解,取其中的不可约因式p(x),以它为最小多项式进行扩张,扩域中p(x)一定是可约的。如此在有限步后,f(x)就可以在扩域E中完全分解,而且同构意义下E是唯一的,它被称为f(x)F上的分裂域。分裂域其实就是f(x)的所有根的生成的域F(x1,,xn),故它也叫根域,分裂域的定义使得对多项式的讨论更加方便,进一步的内容将在下一篇中继续讨论。

2.2 尺规作图问题

  介绍了扩域的基本概念后,我们来看看它在作图上的一个应用,以锻炼用抽象概念解决实际问题的能力。尺规作图是传统的作图方法,它使用简单的工具得到复杂而精确的图形。即便如此,历史上任然有一些顽固的作图问题困扰着人们,经典的几个被称为“古典三大作图难题”。它们分别是:三等分角、化圆为方、倍立方,这里我们用扩域的语言来论证它们不能由尺规作出。纵使已经被证明了不可行性,但仍然有人孜孜不倦地做着尝试,科学精神的树立有时候比勤恳更重要。

  尺规作图究竟是什么,一般书上对这个问题并没有说清,但它对理解作图难题的不可能性非常重要,以下是一些个人理解。首先我们假定作图的目的是为了得到某些确切的点,而不是一条直线或曲线,否则随意画一条线或一个圆,作图难题要求的量其实就在其中。其次我们要澄清,这里的所有讨论仅限于三大难题或类似的问题,精确地讲就是,作图的已知条件只是一些线段或角。因为事先如果有一些辅助性的曲线,这些难题其实是可以作出的。再次我们还要假定作图的每一步都是从定点出发(线段的端点、角的三个点),不能从线段或角上非给定点作图。有人可能有跟我一样的疑问,如何看待那些任意取点却作出定点的情况(比如作线段中点)?这里我没有作完整的推演,只是猜想用定点同样可以作出那些定点,具体论证且当是一个疑问吧。

  现在来看看尺规具体可以作什么:直尺用来画经过两点的直线,圆规只能以某点为圆心、以给定的两点为半径画圆。既然初始条件是平面上的一些点,可以选定其中的两个点作为实数轴上的01,这样所有点都可以看出复平面上的一个向量(复数),记这些复数的集合为B。接下来按照前面的描述,用尺规作出确定的直线和圆,得到更多的确定的点,如果把所有可在有限步内可作出的确定点集(复数)记为S,点z可被作出的充要条件是zS

  根据解析几何的知识,其实我们可以从已知点出发计算出新点(复数)的坐标,通过简单的验证你可以发现,新的复数总可以表示为B中元素的四则运算、共轭或平方根的组合(作为习题)。这就是说S包含在B关于四则运算、共轭或平方根的闭包中,反之也容易证明任意已知复数的四则运算、共轭或平方根都可以尺规作图(作为习题),这就是给了S一个确定的定义。

  下面尝试用扩域的语言来描述S,首先容易知道有理数都可以被作出,其次共轭运算在四则运算上是可以保持的,所以可以先定义第一个扩域F1(式(4))。为了在平方根上封闭,定义扩域序列Fk(式(4)),容易证明S中的任意元素迟早会出现在某个Fk中,故有Fk=S。进一步地,FkFk+1之间其实可以插入有限个单扩域(式子(5))。每个扩域的次数为12,所以S中的任何数在F1中的次数为2的幂次,这也就是可作图的充要条件。

(4)F1=Q(B,B¯),Fk+1=Fk(Fk)

(5)Fk=K1K2Kn=Fk+1,Ki+1=Ki(ai)

  现在回到三大作图难题,其中化圆为方和倍立方都是给定两个点,分别作出23π。这两个问题中F1=Q,可作图的只能是在Q2n次不可约多项式的根。23的最小多项式是x32,而林德曼证明了π是超越数,故它们都不可以被作出。对三等分角,举π3为例,它给定了复数1+3i,容易有F1=Q(3i)。另外利用三倍角公式知所求复数x0f(x)=8x36x1的根,而3i不是f(x)的根,故有[F1(x0):F1]=3,从而x0也不可被作出。但并不是说所有角都不可以三等分,比如π3,3π10都是可以作出的,请自行验证。

3. 有限域

  我们已经了解了域的一般性结构,现在需要对一些常用的、简单的域做进一步分析,这些域有着更特殊的性质。有限域是比较有用的一类域,在编码学等离散数学中有着广泛应用。由前面的知识我们可以知道,有限域F的特征为素数pF中包含一个素域=Zp,且它是的有限次扩域,若设[F:]=n,则F共有pn个元素。这些是有限域比较直观的特点,它有时也被叫做伽罗瓦域,记为GF(pn)。现在有两个比较自然的问题:pn阶的域一定存在吗?同构意义下它是否唯一?下面将对其进行分析。

  域和环最大的区别在于,域在乘法上构成一个群,这是域有诸多结构特征的根本原因。尤其在有限域里,非零元素组成一个有限群,从而非零元素都满足aq1=1,(q=pn),进而任何元素都满足aq=a。由于这pn个元素互不相同,从而它们就是多项式f(x)=xqx的根,该域就是f(x)Zp上的分裂域。前面我们已经知道分裂域的唯一性,所以pn在同构意义下是唯一的。

  以上讨论也启发了存在性的证明,对多项式f(x)=xqx,设它在Zp上的分裂域是F。在F上考察f(x)的任意两个根α,β,容易验证αβ,αβ也是f(x)的根,从而所有根构成一个域。另一方面,易知f(x)=1,从而f(x)没有重根,故根组成的域有pn个元素,这就证明了pn阶域的存在性。

  进一步讨论域的乘法群,设有非零元素在乘法上的最大阶为m,首先显然有mq1。其次在群论中我们已经知道,任何元素的阶都是m的因子,从而它们都满足f(x)=xm1=0的根。要使f(x)q1个不同的根,至少必须mq1,所以就有m=q1。这个结论说明了非零元素在乘法上是一个循环群,令α是其中阶为q1的元素,则容易证明该域是αZp上生成的单扩域(公式(6)),α被称为域的原根

(6)GF(pn)=(α)

  现在来看看有限域F有哪些子域,首先子域的阶必然是pm,(mn),在乘法群中还有pm1pn1,由初等数论的知识有mn。这个结论还可以通过扩域的次数来证明,因为[GF(pn):Zp]=n,又[GF(pm):Zp]=m,故显然有mn。反之当mn时,我们需要验证pm阶子域是否存在。其实前面的证明已经给出了思路,由于pm1pn1,故(xsx)(xqx),从而xsxF中可完全分解,s个不同的根组成的域就是要找的子域。这就证明了F的子域的充要条件是mn,其实由(xsx)(xqx)的因子,显然pm阶子域也是唯一的。

   从原根出发,讨论有限域及其子域的结构和元素。

4. 可离扩域

4.1 可离元

  前面看到,有限域总是一个素域的单扩域,而单扩域的简单结构是我们所喜爱的,这就不禁想问:什么样的扩域是单扩域?这个问题比较难回答,但我们可以给出一类常见的代数扩域,它总是单扩域。有一类不可约多项式在其分裂域中没有重根,这一点对讨论单扩域非常有用。为此定义最小多项式没有重根(在其分裂域中)的代数元为可离元,每个元素都是可离元的扩域称为可离扩域,每个不可约因式都没有重根的多项式叫可离多项式。在证明单扩域的结论之前,我先来简单讨论一下可离元和可离扩域的性质,这当然要从没有重根的不可约多项式研究起。

  设p(x)F上的不可约多项式,p(x)p(x)的表达式如公式(7)。p(x)有重根的充要条件是d(x)=(p(x),p(x))的次数大于0,由p(x)不可约知d(x)=ap(x),(aF),再由d(x)p(x)得到p(x)=0,即a1=2a2==nan=0。域的特征只有p两种,当charF=时,只能有a1=a2==an=0,这与p(x)不可约矛盾,故这种域的不可约多项式都没有重根。当charF=p时,可以得到除kp外都有ak=0,故p(x)有形式g(xp),这就是不可约多项式有重根的必要条件。

(7)p(x)=a0+a1x++anxn,p(x)=a1+2a2x++nanxn1,akF

  有了这个结论,我们就可以继续研究可离元的特点。既然特征为的域的不可约多项式都没有重根,那么它的所有代数元都是可离元,所有代数扩域都是可离扩域。我们现在只需研究特征为p的域F,并设αF的可离元,α当然也是F任何扩域上的可离元。考察多项式(8),它是扩域F(αp)上的多项式,则αF(αp)上的最小多项式满足p(x)f(x)。考虑到α也是F(αp)上的可离元,故必然有p(x)=xα,这就得到αF(αp),从而F(α)F(αp)F(αp)F(α)是显然的,故有结论F(α)=F(αp)

(8)f(x)=(xα)p=xpαp

  反之,若αF的不可离元,则它的最小多项式有形式g(xp)。容易证明g(x)也是F上的不可约多项式,而g(αp)=0,故g(x)αpF上的最小多项式。g(x)g(xp)的次数明显不同,从而F(αp)F(α)也不可能相同。正反两方面的证明就得到了:αF上的可离元的充要条件是公式(9)成立,这个结论对下面的讨论将很有用。

(9)F(α)=F(αp)

  有一个基本的问题是,可离元的四则运算还是可离元吗?或等价命题:若α,βF上的可离元,F(α,β)是可离扩域吗?考虑后一命题,即问γF(α,β)F的可离元吗?首先γ当然是F(α,β)=F(α)(β)上的可离元,如果要验证我们的猜想,可以先证明更一般的命题:若α是可离扩域F(β)上的可离元,则α也是F上的可离元。可离元在扩域中当然也是可离元,这个命题是问这个传递性在一定条件下能否逆转?对charF=的场景,这一系列结论显然成立,下面的讨论将只针对charF=p的域。

  因为αF(β)上的可离元,由刚才的结论知F(α,β)=F(αp,β),而我们试图证明F(α)=F(αp)。可以继续将这个猜想往前推,由于F(αp)F(α)F(α)F(αp)的扩域,故要证的结论等价于[F(α):F(αp)]=1,继而等价于式子(10)。最后这个命题其实是要讨论βF(α)F(αp)上的最小多项式h(x),g(x)次数相等,而显然有h(x)g(x),故只需证g(x)h(x)。类似于前面的方法,其实容易证明hp(x)F(αp)上的多项式,而显然hp(β)=0,再加上g(x)无重根,只可能是g(x)h(x)。这就证明了我们的猜想,以及一切的推论,可离元的四则运算还是可离元。

(10)[F(α,β):F(α)]=[F(αp,β):F(αp)]

4.2 可离扩域和完全域

  现在是时候讨论可离扩域和单扩域之间的关系了,我们早就知道有限域一定是单扩域,现在只需研究无限域。进一步地我们还需把扩域限定在有次限扩域,并由归纳法容易知道,只需证明F(α,β)是单扩域(α,βF分离元),那么任何有限次分离扩域都是单扩域。要证F(α,β)是单扩域,我们需要找到该单扩域的生成元θ,它由α,βF的元素组成且又能用来表示α,β。这样的构造有很多可能,但我们其实只需简单构造一个即可,取θ=α+kβ,(kF),由α=θkβ知只需证明βF(θ)即可。

  令α,βF上的最小多项式分别是p(x),q(x),由于F(θ)F(α,β),则q(x)F(θ)[x],要证βF(θ),只需在F(θ)上构造一个与q(x)仅有一个共同根β的多项式h(x)。这时候需要借助p(x),为使得h(β)=0,自然可以令h(x)=p(θkx)。为使得h(x)不含q(x)的其它根βi,还得要求θkβi不等于p(x)的任意根αj,由于βi,αj的个数有限,在F中选择满足条件的k还是可行的。这就构造出了满足条件的θ使得F(θ)=F(α,β)

  刚才我们证明了有限次分离扩域必是单扩域,并且给出了分离扩域的一些判定条件。其实有一些常用的域,它们的扩域都都是分离扩域,这使得讨论更加简单,为此我们定义这样的域为完全域完备域。前面已经知道charF=的域就是完全域,现在来研究一下charF=p的完全域的充要条件。完全域要求不存在形式为g(xp)的不可约多项式,容易看出如果g(x)的系数都是akp的形式,g(xp)必定是hp(x)的形式,从而g(xp)可约。也就是说如果F的每个元素都是某个元素的p次幂,F一定是完全域。

  反之若F是完全域,对任意元素αf(x)=xpα的分裂域中总有β满足f(β)=0。而f(x)=(xβ)p,故βF上的最小多项式只能是xβ,这就说明βF,即证明了任何元素都是某个元素的p次幂。综合这两点分析,charF=p的完全域的充要条件是:任何元素都是某个元素的p次幂。

  • 求证:有限域都是完全域。

posted on   卞爱华  阅读(7973)  评论(0编辑  收藏  举报

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