1. 素域和单扩域
1.1 素域
域是一种比较“完整”的结构,它的限制条件比较多,结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构,研究的方法当然是从小域向大域扩展,若是的子域,也叫的扩域或扩张。扩张当然要从最简单的域开始,我们比较熟悉的简单域有哪些?最简单的无穷域是有理数域,它是最小的数域,任何数域都包含有理数域;最简单的有限域是整数在素数下的剩余类域。这两种域都不再有真子域,我们把没有真子域的域称为素域,一般记作。
那么除了这两种熟知的素域外,还有别的素域吗?每个域都含有单位元,由生成的域就是所有的素域,而它又是某个生成环的商域,故我们可以从的生成环讨论起。当时,与整数环同构,从而它们的商域同构,即。当时,前面已经讨论过,这样的环都同构于同余环,进而有。这样看来,同构意义的下的素域只有和,而且任何域都包含且仅包含一个素域。
1.2 单扩域
有了最简单的域,接下来就开始对域进行扩张,并需要研究新添加元素的性质,以及扩域的结构特点。在的扩域中取子集,中添加后生成的扩域记作,要注意这个定义总是以扩域的存在为前提的。我们来讨论这种扩域累加起来有什么性质,考察,由定义知它是包含的域,而是包含的最小域,故有。同样也可以推到,这样就得到了公式(1)。
以上结论说明扩域等价于有限步的局部扩张,而且扩张的顺序不影响结果。对局部扩张的研究会有助于整个扩域,特别地我们可以先专注于的扩域,它们被称为单扩域。由域的定义及分式的特点,容易知道中的元素都有格式,其中为中的多项式。所有分式构成了单扩域,但不同分式是有可能指向相同元素的,下面我们就从这里出发,研究单扩域的结构。
多项式是扩域中的基础结构,对它的讨论可以帮助我们分析域的结构。将代入中的所有多项式,得到的值可能两两不同,也可能出现重复。当出现重复时,将多项式相减就会得到,存在这样多项式的称为的代数元,否则称为超越元。代数元和超越元存在着本质的差异,需要从这个角度讨论单扩域的结构。对于有理数域在实数域内的扩张,代数数就是代数元,超越数就是超越元,这里实际上是对它们的扩展讨论。
对于诸多满足的多项式,总可以找到次数最低的一个首多项式。容易证明对代数元,这个多项式存在且唯一,它被称为在上的最小多项式。最小多项式的次数也被称为代数元的次数,显然中元素的次数都为。最小多项式有些简单的性质,首先它在上是不可约的,否则它必有一个因子满足,与最小多项式的定义矛盾。其次,对任何满足的多项式,必有,否则使用带余除法可构造出次数更小的多项式满足。
围绕着元素类型或最小多项式,单扩域的结构就比较明显了。虽然直觉已经告诉了你最终答案,但还是要用严格的推理来验证猜想。推理方法当然是从定义合适的同态映射开始,先验证生成环的同构,再推演到商域的同构,请自行验证。当为超越元时,生成环显然和同构,从而同构于其商环。当为代数元时,可以证明生成环同构于,由于不可约,该表达式就是一个域,故有。从而代数元的单扩域就是以为模的多项式环(公式(2)),这个结论展示了单代数扩域的简洁结构,也说明了研究代数扩域的重要性。
以上的结果还表明,若的次数为,则的任何元素都是某个次数次数小于的多项式的值,换句话说每个元素都是在上的线性组合,且容易证明表示法唯一。用线性代数的语言就是,单代数扩域是上的一个维空间,空间的基为。从这个角度分析单代数扩域也是很有用的。
2. 代数扩域
2.1 代数扩域
在弄清楚单代数扩域的结构后,我们希望进一步研究由更多代数元生成的扩域,或所有元素都是代数元的扩域。首先一个自然的问题是,这两种扩域一样吗?为讨论方便,我们定义后者为代数扩域,含有超越元的扩域则叫超越扩域。由于代数扩域总是由代数元生成的,刚才的问题自然变成:由代数元集合生成的扩域是否一定是代数扩域?直觉告诉我们这个结论是成立的,但仔细琢磨却又不那么明显。现在我们分两步来证明这个猜测,先考虑为有限集的场景,然后再推广到无穷集。
单代数扩域的线性空间结构提示我们研究更一般扩域的维数,如果扩域是上的线性空间,这个空间的维数被称为在上的次数,记作。有限时,称为的有限次扩域,否则叫无限次扩域。通过线性代数的简单推演,我们可以得到次数的累加性(公式(3))。以有限次扩域为例,设在上的基为,在上的基为,容易证明就是在上的基(用线性表示并证明无关性)。
对任何次扩域,考察任意元素的幂次,这个元素必定是线性相关的,从而必定是代数元。这就是说有限次扩域总是是代数扩域,可以用它来判断代数扩域。另一方面,当代数元集合为有限集时,可以通过有限次的单代数扩域得到,由公式(3)知道是的有限次扩域,从而它也是代数扩域。这个结论直接说明了,代数元的四则运算还是代数元。而当为无穷集时,中元素都能表示成中元素的有限个四则运算,从而也是代数元。结合以上两点就得到结论,总是代数扩域。
有了这个基本结论,你可以很容易地证明,的代数扩域的代数扩域还是的代数扩域。如果扩域不是代数扩域,我们可以取出其中的所有代数元,容易证明它们组成的集合是一个域,从而是的代数扩域。是中最大的代数扩域,中的元素都是超越元,从而是的纯超越扩域。这样对任何扩域的分析,都可以分成对代数扩域和纯超越扩域的讨论了。
鉴于多项式的特殊地位,有一类与之相关的代数扩域,这里需要特别讨论一下。多项式最重要的自然是它的根,根可以从中分解出一次项,如果可以完全分解为一次项,它的所有根就代表了这个多项式。对任何多项式都可以完全分解的域叫代数闭域,显然它的任何代数扩域都还是它自身,它已经无法再扩张。
代数闭域的条件大部分时候还是太强了,也许讨论对某个多项式无法扩张的域对我们更有用。试想上的某个多项式,如果不能完全分解,取其中的不可约因式,以它为最小多项式进行扩张,扩域中一定是可约的。如此在有限步后,就可以在扩域中完全分解,而且同构意义下是唯一的,它被称为在上的分裂域。分裂域其实就是的所有根的生成的域,故它也叫根域,分裂域的定义使得对多项式的讨论更加方便,进一步的内容将在下一篇中继续讨论。
2.2 尺规作图问题
介绍了扩域的基本概念后,我们来看看它在作图上的一个应用,以锻炼用抽象概念解决实际问题的能力。尺规作图是传统的作图方法,它使用简单的工具得到复杂而精确的图形。即便如此,历史上任然有一些顽固的作图问题困扰着人们,经典的几个被称为“古典三大作图难题”。它们分别是:三等分角、化圆为方、倍立方,这里我们用扩域的语言来论证它们不能由尺规作出。纵使已经被证明了不可行性,但仍然有人孜孜不倦地做着尝试,科学精神的树立有时候比勤恳更重要。
尺规作图究竟是什么,一般书上对这个问题并没有说清,但它对理解作图难题的不可能性非常重要,以下是一些个人理解。首先我们假定作图的目的是为了得到某些确切的点,而不是一条直线或曲线,否则随意画一条线或一个圆,作图难题要求的量其实就在其中。其次我们要澄清,这里的所有讨论仅限于三大难题或类似的问题,精确地讲就是,作图的已知条件只是一些线段或角。因为事先如果有一些辅助性的曲线,这些难题其实是可以作出的。再次我们还要假定作图的每一步都是从定点出发(线段的端点、角的三个点),不能从线段或角上非给定点作图。有人可能有跟我一样的疑问,如何看待那些任意取点却作出定点的情况(比如作线段中点)?这里我没有作完整的推演,只是猜想用定点同样可以作出那些定点,具体论证且当是一个疑问吧。
现在来看看尺规具体可以作什么:直尺用来画经过两点的直线,圆规只能以某点为圆心、以给定的两点为半径画圆。既然初始条件是平面上的一些点,可以选定其中的两个点作为实数轴上的和,这样所有点都可以看出复平面上的一个向量(复数),记这些复数的集合为。接下来按照前面的描述,用尺规作出确定的直线和圆,得到更多的确定的点,如果把所有可在有限步内可作出的确定点集(复数)记为,点可被作出的充要条件是。
根据解析几何的知识,其实我们可以从已知点出发计算出新点(复数)的坐标,通过简单的验证你可以发现,新的复数总可以表示为中元素的四则运算、共轭或平方根的组合(作为习题)。这就是说包含在关于四则运算、共轭或平方根的闭包中,反之也容易证明任意已知复数的四则运算、共轭或平方根都可以尺规作图(作为习题),这就是给了一个确定的定义。
下面尝试用扩域的语言来描述,首先容易知道有理数都可以被作出,其次共轭运算在四则运算上是可以保持的,所以可以先定义第一个扩域(式(4))。为了在平方根上封闭,定义扩域序列(式(4)),容易证明中的任意元素迟早会出现在某个中,故有。进一步地,和之间其实可以插入有限个单扩域(式子(5))。每个扩域的次数为或,所以中的任何数在中的次数为的幂次,这也就是可作图的充要条件。
现在回到三大作图难题,其中化圆为方和倍立方都是给定两个点,分别作出和。这两个问题中,可作图的只能是在上次不可约多项式的根。的最小多项式是,而林德曼证明了是超越数,故它们都不可以被作出。对三等分角,举为例,它给定了复数,容易有。另外利用三倍角公式知所求复数是的根,而不是的根,故有,从而也不可被作出。但并不是说所有角都不可以三等分,比如都是可以作出的,请自行验证。
3. 有限域
我们已经了解了域的一般性结构,现在需要对一些常用的、简单的域做进一步分析,这些域有着更特殊的性质。有限域是比较有用的一类域,在编码学等离散数学中有着广泛应用。由前面的知识我们可以知道,有限域的特征为素数,中包含一个素域,且它是的有限次扩域,若设,则共有个元素。这些是有限域比较直观的特点,它有时也被叫做伽罗瓦域,记为。现在有两个比较自然的问题:阶的域一定存在吗?同构意义下它是否唯一?下面将对其进行分析。
域和环最大的区别在于,域在乘法上构成一个群,这是域有诸多结构特征的根本原因。尤其在有限域里,非零元素组成一个有限群,从而非零元素都满足,进而任何元素都满足。由于这个元素互不相同,从而它们就是多项式的根,该域就是在上的分裂域。前面我们已经知道分裂域的唯一性,所以在同构意义下是唯一的。
以上讨论也启发了存在性的证明,对多项式,设它在上的分裂域是。在上考察的任意两个根,容易验证也是的根,从而所有根构成一个域。另一方面,易知,从而没有重根,故根组成的域有个元素,这就证明了阶域的存在性。
进一步讨论域的乘法群,设有非零元素在乘法上的最大阶为,首先显然有。其次在群论中我们已经知道,任何元素的阶都是的因子,从而它们都满足的根。要使有个不同的根,至少必须,所以就有。这个结论说明了非零元素在乘法上是一个循环群,令是其中阶为的元素,则容易证明该域是在上生成的单扩域(公式(6)),被称为域的原根。
现在来看看有限域有哪些子域,首先子域的阶必然是,在乘法群中还有,由初等数论的知识有。这个结论还可以通过扩域的次数来证明,因为,又,故显然有。反之当时,我们需要验证阶子域是否存在。其实前面的证明已经给出了思路,由于,故,从而在中可完全分解,个不同的根组成的域就是要找的子域。这就证明了的子域的充要条件是,其实由是的因子,显然阶子域也是唯一的。
• 从原根出发,讨论有限域及其子域的结构和元素。
4. 可离扩域
4.1 可离元
前面看到,有限域总是一个素域的单扩域,而单扩域的简单结构是我们所喜爱的,这就不禁想问:什么样的扩域是单扩域?这个问题比较难回答,但我们可以给出一类常见的代数扩域,它总是单扩域。有一类不可约多项式在其分裂域中没有重根,这一点对讨论单扩域非常有用。为此定义最小多项式没有重根(在其分裂域中)的代数元为可离元,每个元素都是可离元的扩域称为可离扩域,每个不可约因式都没有重根的多项式叫可离多项式。在证明单扩域的结论之前,我先来简单讨论一下可离元和可离扩域的性质,这当然要从没有重根的不可约多项式研究起。
设是上的不可约多项式,及的表达式如公式(7)。有重根的充要条件是的次数大于,由不可约知,再由得到,即。域的特征只有和两种,当时,只能有,这与不可约矛盾,故这种域的不可约多项式都没有重根。当时,可以得到除外都有,故有形式,这就是不可约多项式有重根的必要条件。
有了这个结论,我们就可以继续研究可离元的特点。既然特征为的域的不可约多项式都没有重根,那么它的所有代数元都是可离元,所有代数扩域都是可离扩域。我们现在只需研究特征为的域,并设是的可离元,当然也是任何扩域上的可离元。考察多项式(8),它是扩域上的多项式,则在上的最小多项式满足。考虑到也是上的可离元,故必然有,这就得到,从而。是显然的,故有结论。
反之,若是的不可离元,则它的最小多项式有形式。容易证明也是上的不可约多项式,而,故是在上的最小多项式。和的次数明显不同,从而和也不可能相同。正反两方面的证明就得到了:是上的可离元的充要条件是公式(9)成立,这个结论对下面的讨论将很有用。
有一个基本的问题是,可离元的四则运算还是可离元吗?或等价命题:若为上的可离元,是可离扩域吗?考虑后一命题,即问是的可离元吗?首先当然是上的可离元,如果要验证我们的猜想,可以先证明更一般的命题:若是可离扩域上的可离元,则也是上的可离元。可离元在扩域中当然也是可离元,这个命题是问这个传递性在一定条件下能否逆转?对的场景,这一系列结论显然成立,下面的讨论将只针对的域。
因为是上的可离元,由刚才的结论知,而我们试图证明。可以继续将这个猜想往前推,由于且是的扩域,故要证的结论等价于,继而等价于式子(10)。最后这个命题其实是要讨论在和上的最小多项式次数相等,而显然有,故只需证。类似于前面的方法,其实容易证明是上的多项式,而显然,再加上无重根,只可能是。这就证明了我们的猜想,以及一切的推论,可离元的四则运算还是可离元。
4.2 可离扩域和完全域
现在是时候讨论可离扩域和单扩域之间的关系了,我们早就知道有限域一定是单扩域,现在只需研究无限域。进一步地我们还需把扩域限定在有次限扩域,并由归纳法容易知道,只需证明是单扩域(为分离元),那么任何有限次分离扩域都是单扩域。要证是单扩域,我们需要找到该单扩域的生成元,它由及的元素组成且又能用来表示。这样的构造有很多可能,但我们其实只需简单构造一个即可,取,由知只需证明即可。
令在上的最小多项式分别是,由于,则,要证,只需在上构造一个与仅有一个共同根的多项式。这时候需要借助,为使得,自然可以令。为使得不含的其它根,还得要求不等于的任意根,由于的个数有限,在中选择满足条件的还是可行的。这就构造出了满足条件的使得。
刚才我们证明了有限次分离扩域必是单扩域,并且给出了分离扩域的一些判定条件。其实有一些常用的域,它们的扩域都都是分离扩域,这使得讨论更加简单,为此我们定义这样的域为完全域或完备域。前面已经知道的域就是完全域,现在来研究一下的完全域的充要条件。完全域要求不存在形式为的不可约多项式,容易看出如果的系数都是的形式,必定是的形式,从而可约。也就是说如果的每个元素都是某个元素的次幂,一定是完全域。
反之若是完全域,对任意元素,的分裂域中总有满足。而,故在上的最小多项式只能是,这就说明,即证明了任何元素都是某个元素的次幂。综合这两点分析,的完全域的充要条件是:任何元素都是某个元素的次幂。
• 求证:有限域都是完全域。
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