1. 因子分解
1.1 唯一分解环
环的直和分解将大环分解为小环,使得结构更加简单。从整数的算术基本定理得到启发,我们还可以从乘法分解的角度来研究环。要使这个定向研究得到有用的结论,还需对环作一些限制。既然我们关注是因子,乘法顺序就显得多余且碍事,所以要求环是可交换的。另外零因子的讨论也是没有意义的,故规定所有非零元素都是正则元。故我们只需讨论整环中元素的乘法分解,为简化描述,以下将忽略对零元素的讨论。
和初等数论中一样,若,称整除,或是的因子,记作,否则记作。关于整除的常规讨论都比较简单,这里不再赘述。我们把注意力放在分解的多种可能性上,最后试图得到类似算术基本定理的结论。在分解的过程中,可逆元总是可以随处出现或消除,它就像整数环中的,并不影响分解的本质。这就是为什么可逆元也叫单位,如果,我们称是相伴的,相伴元在分解中可以可作是等价的。既然要考虑可逆元,就必须要求乘法存在单位元,故以下讨论仅针对有单位元的整环。
对任意元素,它的所有相伴元和单位都是的平凡因子,其它的则是真因子。有真因子的元素叫可约元,否则叫不可约元,显然整数环的不可约元就是素数。有了因子和不可约元的定义,我们就可以尝试模仿算术基本定理了。通过这里的讨论,你会明白算术基本定理的确不是显而易见的,它是需要一定条件的。首先每个元素都要有有限分解,其次分解在相伴元的意义下要是唯一的,满足这两个条件的元素称为可唯一分解的,所有元素满足条件的环就叫唯一分解环。由于环的元素没有大小的概念,无限分解是可能的,而且容易举出有多种分解的例子。
• 讨论的单位及在其中的分解。
现在我们的问题自然是,什么样的环才是唯一分解环?先来看看唯一分解环的性质,对不可约元如果有,则由唯一分解性容易证明,和至少有一个成立。现在把这个概念抽取出来,满足以上条件的元素称为环的素元,素元肯定是不可约元,唯一分解环中的不可约元都是素元。对于一般的环,当素元和不可约元重合时,可以由反证法得知,只能有限分解的元素是唯一分解的。从而一个环唯一分解的充要条件就是,环的元素有限分解且素元和不可约元等价。
得到唯一分解环后,可以同初等数论中一样定义公约数。若是共同的因子,则称为它们的公因子。环的元素没有大小的概念,所以不好直接定义最大公因子,回顾最大公约数的多个等价定义,找一个仅使用了整除的定义即可。如果是的公因子,且任何公因子都是的因子,称为最大公因子,最大公因子为单位的元素称为互素的。最大公因子不一定存在,但对于唯一分解环,容易得到最大公因子的存在性。
1.2 主理想环和欧式环
素元的定义一定程度上就是唯一分解本身,这个判断条件并不能带给我们更多有用的信息,判断和构造唯一分解环仍然不是一件容易的事情。整数环中引入带余除法后,可以得到最大公约数的更多性质,这些性质也能得到算术基本定理。但由于一般环中没有大小的概念,这些性质不一定成立,但却启发了我们如何构造更一般的唯一分解环。这里介绍两个重要的唯一分解环,它们的定义中都有着整数环最大公约数的影子。
整数环的任何理想都有一个最小数,这个数是理想的最大公约数,且它的所有倍数都在理想中,即该理想是其最大公约数生成的主理想。任何理想都是主理想的环被称为主理想环。主理想环首先保证了分解的有限性,因为无限分解列的生成理想也是主理想,该主理想的生成元既是分解列的结尾。另外,设主理想环中的不可约元,考察,容易证明它必是极大理想。从而商环为域,而,故必有或,即或。这样就证明了,主理想环是唯一分解环。
• 求证高斯整数环是主理想环。(提示:考察绝对值最小的元素)
研究唯一分解环更直接的方法当然是在环中定义带余除法,为此定义一个从非零元素到正整数的映射,对环中的任何元素存在,其中或。如果这样映射存在,被称为欧式环。若且在中值最小,由定义容易证明中的任何元素都以为因子,从而为主理想,进而是唯一分解环。
• 求证高斯整数环是欧式环;(提示:在)
• 求证域上的多项式环是欧式环。(提示:考虑阶)
1.3 高斯整数环
高斯整数环是对整数环的扩充,它的元素是所有形式的复数。称为的范数,容易证明范数有以下性质。上面的习题已经证明了高斯整数环是唯一分解环,以此为例子,我们来简单分析一下这个环的分解情况。首先比较容易得到,的单位集合为。接下来就是研究的素元,为了区别起见,这里先把整数环的素数叫做有理素数。
高斯整数环是整数环的子环,故每个高斯整数首先可以按照算术基本定理分解为有理素数之积。再由分解的唯一性,素元必定是某个有理素数的因子,所以我们只需研究有理素数的分解。的范数为,故它的因子不可能超过两个,这就说明了要么自身为素元,要么有两个共轭素元,且。进一步地,其实就是研究不定方程是否有解。
首先对唯一的偶素数有,所以不是素元,它有素因子。对为奇数的场景,可以得到,由初等数论的知识可知,等式成立的必要条件是,即。所以当时,本身就是素元。而当时,有解,从而,但是,所以不是素元(注意不一定是素元)。
2. 多项式环
2.1 根和因式
在结束环的讨论之前,我们以多项式环为例来看看环理论的应用。高等代数中讨论的是域上的多项式,这里我们先从一般的环开始,然后再在特殊的环中进行研究,你会得到更高的视角看待多项式。之前我们已经给出过多项式环的定义,这里进一步研究多项式的根和因式分解。
对多项式,考虑将带入其表达式,得到的结果叫在处的值,满足的称为多项式的根或零点。这里要注意带入的多项式必须是完全展开的,对非交换环,若,显然不一定有,当然这个等式对交换环是一定成立的。为方便讨论,把的次数记作,显然有以下关系式。当首相系数不是零因子时,还有。
有了这些基本概念,我们接着讨论根与多项式分解的关系。对域上的多项式,高等代数中使用除法,可以得到以下公式(3),且唯一。回顾计算过程,其实对含幺环上的多项式,只需要求的首项系数是单位即可。所以这个结论对一般含幺环也可以成立,只需选择合适的。特别地,对任意,如果取,则有。将右边展开并将代入两边,整理后(与可交换)得到,这就是余数定理(公式(4))。要注意这个证明中并不能直接将代入,因为不一定是交换环。
接着上面的讨论,当是的根时,可以得到。反之如果,则有,在交换环中该式为(非交换环中不一定成立)。这样我们就有结论:交换含幺环中,有公式(5)的等价关系。再假设含幺环的多项式的不同零点为,则首先有。若为交换环,则有,若还为无零因子环,则,故。以此类推,容易知道根的个数不大于多项式的次数,在个不同的点值相同的多项式是唯一的。总结就是:含幺整环上的多项式最多有个根。这个结论看似显然,但每个条件都是不可或缺的,比如在四元数除环中,的根显然不止一个。
• 求证:在整数环上,不可约。(提示:反证)
以上定理给出了含幺整环上的多项式的因式分解方法,但还有两个问题需要解决。一个就是如何找到根,目前还没有一般性的方法,这里只介绍一种求商域根的方法。设为整环的商域,考察在中的解,带入方程并展开。如果假设(这就要求整环是唯一分解环),则有且。它可以作为方程解的筛选方法,比如求解整系数方程的有理解。
• 求多项式的有理根。
另一个问题就是如果有,该如何判定定甚至确定的值?当时,称为根的重数,特别地时,称为重根,否则称为单根。微积分中使用多项式的导数判断重根,这个方法在环中还是可以成立的。我们把称为的形式微商,容易验证在含幺整环中微商的一般性质仍然成立。和微积分中一样,为重根的充要条件是,一直使用这个结论就还可以得到重数。另外由于域上的多项式环唯一分解,若,则没有共同根,故没有重根。
多项式的因式分解一般并不容易,但在常见数域中已经有一些比较有用的结论。比如由代数基本定理(复变函数中介绍)可知,复数域上的多项式都可以分解为若干个一次因式。进而容易证明,实系数多项式根的共轭也是根(共轭运算的性质),所以实数域的多项式都可以分解为若干个一次和二次因式。而对有理数域上的多项式,都可以转化成对整数环多项式的讨论。下一节中将给出求解有理根的方法,和判定多项式不可约的一个充分条件,一定程度可以帮助有理数域多项式的分解。
2.2 高斯定理
现在继续讨论多项式的因式分解,如果要考察其唯一分解性,首先当然要求系数环是唯一分解环。分解中系数的公因子总可以先提取出来,系数公因子只有单位的多项式被称为本原多项式,这个概念可以简化讨论。我们自然有个小问题,本原多项式的因式当然一定是本源多项式,那么反过来呢?本原多项式的积还是本原的吗?结论是肯定的,观察多项式乘积每一项的组成形式(参考下图),若是乘积展开式的公因子,如图考察次项有,矛盾。这就证明了本原多项式的乘积也是本原多项式,该结论也叫高斯引理。
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多项式可以分解为,其中为本原多项式。要证的唯一分解性,只需证的唯一分解性。由于的阶数有限,且其因式也是本原的,所以上的分解首先一定是有限的。现在只需讨论唯一性,前面的习题中已经得到,域上的多项式环是唯一分解环,而每个整环都有其商域。为了考察唯一分解环上多项式环,可以借助的商域的多项式环的唯一分解性。
对中的不可约的本源多项式,在中讨论其分解性,当然我们只关注阶数大于的因式。如果在中有,总可以添加一些系数,使得等式(6)成立,其中为中的本原多项式。根据高斯引理,也是本原多项式,容易证明相伴,消去即得与也相伴。这和不可约矛盾,故在也是不可约的。从而如果本原多项式有不同的分解方法,它们在中也是不同的分解,这与的唯一分解性矛盾,我们得到的结论就叫高斯定理。
具体分解本原多项式并没有一般方法,即使判断本原多项式是否可约都是困难的,这里只介绍一个不可约的充分条件:爱森斯坦判别法(Eisenstein)。若存在素元使得但,参考高斯定理的证明方法,可判定本原多项式不可约。首先可以假定,由于,总可以找到而。考察容易证,与条件矛盾,故不可约。
爱森斯坦判别法虽然不是不可约多项式的必要条件,但它对不可约本原多项式的判定非常有用,比如可以肯定任意次本原多项式都有不可约多项式。值得一提的是,容易验证与的可约性是一样的,灵活使用这个变形有时可以构造出判别法的结构。
• 求证:在唯一分解环中不可约;
• 求证:在有理数域中不可约;
• 求证:在有理数域中不可约。
2.3 对称多项式
多元多项式环有一个特殊的子环,其中的每个元素都非常“对称”。准确来讲就是,对的任意置换都保持不变,这样的多项式就叫做对称多项式。在这些多项式中,有几个是最基础的(公式(7)),它们被称为基本对称多项式。这些式子也许你并不陌生,这正是闭域上次多项式方程的韦达定理,它给出了方程根与系数的关系(公式(8))。
在中学你多少都接触过对称多项式,我们这里介绍它们的一个漂亮结论。你可以想象,将这个元素带入任何一个元多项式,得到的仍然是对称多项式。我们的结论正是它的反命题:任何多项式都可以用这个元素的多项式表示,即公式(9)成立,以下证明过程其实也是生成多项式的构造过程。首先一个对称多项式可以按照项的次数分成几个多项式之和,其中中的每一项的次数都是。容易证明也是对称多项式,一般称之为齐次对称多项式,基本多项式就是典型例子。如果我们能证明结论在齐次多项式中成立,则在一般多项式中也成立。
为了便于讨论,我们将次齐次多项式的项以进行字典排序。考虑到的展开后的最大项为式子(10),可以反向构造使得其最大项与的最大项相等,两式相减后的最大项一定小于之前的最大项。这个过程可以在有限步后结束,构造出的所有便是生成多项式的项,对称多项式基本定理得证。这个结论对任意环都是成立的,由证明过程还可以知道,当为整环时生成多项式是唯一的。
再回顾构造过程,每次选取的的最大项的次数都是,故满足条件(11)。根据这个结论,我们可以使用待定系数法更快地得到某个具体的生成多项式。比如,设,取的不同值带入,解方程组便得到生成多项式。
最后来讨论一下一类常用的对称多项式,它们是元素的等幂和,我们需要知道它们和基本对称多项式的关系。为了得到结论,以下设,充分利用韦达定理和的形式特点,构造次数小于的多项式,可以得到式(12)。比较等式两边的次项,就得到著名的牛顿公式(公式(13)(14)),这个公式可以在和之间进行转换。
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