【抽象代数】 07 - 因子分解和多项式环

1. 因子分解

1.1 唯一分解环

  环的直和分解将大环分解为小环,使得结构更加简单。从整数的算术基本定理得到启发,我们还可以从乘法分解的角度来研究环。要使这个定向研究得到有用的结论,还需对环作一些限制。既然我们关注是因子,乘法顺序就显得多余且碍事,所以要求环是可交换的。另外零因子的讨论也是没有意义的,故规定所有非零元素都是正则元。故我们只需讨论整环中元素的乘法分解,为简化描述,以下将忽略对零元素的讨论。

  和初等数论中一样,若a=bc,称b整除a,或ba因子,记作ba,否则记作ba。关于整除的常规讨论都比较简单,这里不再赘述。我们把注意力放在分解的多种可能性上,最后试图得到类似算术基本定理的结论。在分解的过程中,可逆元总是可以随处出现或消除,它就像整数环中的±1,并不影响分解的本质。这就是为什么可逆元ε也叫单位,如果a=bε,我们a,b称是相伴的,相伴元在分解中可以可作是等价的。既然要考虑可逆元,就必须要求乘法存在单位元,故以下讨论仅针对有单位元的整环。

  对任意元素a,它的所有相伴元和单位都是a平凡因子,其它的则是真因子。有真因子的元素叫可约元,否则叫不可约元,显然整数环的不可约元就是素数。有了因子和不可约元的定义,我们就可以尝试模仿算术基本定理了。通过这里的讨论,你会明白算术基本定理的确不是显而易见的,它是需要一定条件的。首先每个元素都要有有限分解,其次分解在相伴元的意义下要是唯一的,满足这两个条件的元素称为可唯一分解的,所有元素满足条件的环就叫唯一分解环。由于环的元素没有大小的概念,无限分解是可能的,而且容易举出有多种分解的例子。

   讨论{a+b5ia,bZ}的单位及9在其中的分解。

  现在我们的问题自然是,什么样的环才是唯一分解环?先来看看唯一分解环的性质,对不可约元p如果有pab,则由唯一分解性容易证明,papb至少有一个成立。现在把这个概念抽取出来,满足以上条件的元素称为环的素元,素元肯定是不可约元,唯一分解环中的不可约元都是素元。对于一般的环,当素元和不可约元重合时,可以由反证法得知,只能有限分解的元素是唯一分解的。从而一个环唯一分解的充要条件就是,环的元素有限分解且素元和不可约元等价。

  得到唯一分解环后,可以同初等数论中一样定义公约数。若ca1,a2,,an共同的因子,则称c为它们的公因子。环的元素没有大小的概念,所以不好直接定义最大公因子,回顾最大公约数的多个等价定义,找一个仅使用了整除的定义即可。如果da1,a2,,an的公因子,且任何公因子都是d的因子,称d最大公因子,最大公因子为单位的元素称为互素的。最大公因子不一定存在,但对于唯一分解环,容易得到最大公因子的存在性。

1.2 主理想环和欧式环

  素元的定义一定程度上就是唯一分解本身,这个判断条件并不能带给我们更多有用的信息,判断和构造唯一分解环仍然不是一件容易的事情。整数环中引入带余除法后,可以得到最大公约数的更多性质,这些性质也能得到算术基本定理。但由于一般环中没有大小的概念,这些性质不一定成立,但却启发了我们如何构造更一般的唯一分解环。这里介绍两个重要的唯一分解环,它们的定义中都有着整数环最大公约数的影子。

  整数环的任何理想都有一个最小数,这个数是理想的最大公约数,且它的所有倍数都在理想中,即该理想是其最大公约数生成的主理想。任何理想都是主理想的环被称为主理想环。主理想环首先保证了分解的有限性,因为无限分解列的生成理想也是主理想,该主理想的生成元既是分解列的结尾。另外,设主理想环R中的不可约元pab,考察p,容易证明它必是极大理想。从而商环R/p为域,而(a+p)(b+p)=p,故必有apbp,即papb。这样就证明了,主理想环是唯一分解环。

   求证高斯整数环是主理想环。(提示:考察绝对值最小的元素)

  研究唯一分解环更直接的方法当然是在环R中定义带余除法,为此定义一个从非零元素到正整数的映射φ,对环中的任何元素a,b存在a=bq+r,其中r=0φ(r)<φ(b)。如果这样映射存在,R被称为欧式环。若NRφ(a)N中值最小,由定义容易证明N中的任何元素都以a为因子,从而N为主理想,进而R是唯一分解环。

   求证高斯整数环是欧式环;(提示:在Q[i]

   求证域上的多项式环F[x]是欧式环。(提示:考虑阶)

1.3 高斯整数环

  高斯整数环G=Z[i]是对整数环的扩充,它的元素是所有z=a+bi形式的复数。z=a2+b2称为z范数,容易证明范数有以下性质。上面的习题已经证明了高斯整数环是唯一分解环,以此为例子,我们来简单分析一下这个环的分解情况。首先比较容易得到,G的单位集合为U(G)={±1,±i}。接下来就是研究G的素元,为了区别起见,这里先把整数环的素数叫做有理素数

(1)z1z2=z1z2

  高斯整数环是整数环的子环,故每个高斯整数首先可以按照算术基本定理分解为有理素数之积。再由分解的唯一性,素元必定是某个有理素数的因子,所以我们只需研究有理素数p的分解。p的范数为p2,故它的因子不可能超过两个,这就说明了p要么自身为素元,要么有两个共轭素元z,z¯,且z=z¯=p。进一步地,其实就是研究不定方程a2+b2=p是否有解。

  首先对唯一的偶素数有2=(1+i)(1i),所以2不是素元,它有素因子1±i。对p为奇数的场景,可以得到a2b2(modp),由初等数论的知识可知,等式成立的必要条件是(1p)=1,即p1(mod4)。所以当p3(mod4)时,p本身就是素元。而当p1(mod4)时,a21(modp)有解,从而p(a2+1),但是p(a±i),所以p不是素元(注意a±i不一定是素元)。

2. 多项式环

2.1 根和因式

  在结束环的讨论之前,我们以多项式环为例来看看环理论的应用。高等代数中讨论的是域上的多项式,这里我们先从一般的环开始,然后再在特殊的环中进行研究,你会得到更高的视角看待多项式。之前我们已经给出过多项式环的定义,这里进一步研究多项式的根和因式分解。

  对多项式f(x)R[x],考虑将aR带入其表达式,得到的结果f(a)f(x)a处的,满足f(a)=0a称为多项式的零点。这里要注意带入的多项式必须是完全展开的,对非交换环R,若f(x)=g(x)h(x),显然不一定有f(a)=g(a)h(a),当然这个等式对交换环是一定成立的。为方便讨论,把f(x)的次数记作degf,显然有以下关系式。当首相系数不是零因子时,还有deg(fg)=degf+degg

(2)deg(f+g)max(degf,degg),deg(fg)degf+degg

  有了这些基本概念,我们接着讨论根与多项式分解的关系。对域上的多项式f(x),g(x),高等代数中使用除法,可以得到以下公式(3),且q(x),r(x)唯一。回顾计算过程,其实对含幺环上的多项式,只需要求g(x)的首项系数是单位即可。所以这个结论对一般含幺环也可以成立,只需选择合适的g(x)。特别地,对任意aR,如果取g(x)=xa,则有f(x)=q(x)(xa)+r。将右边展开并将a代入两边,整理后(aka可交换)得到r=f(a),这就是余数定理(公式(4))。要注意这个证明中并不能直接将a代入,因为R不一定是交换环。

(3)f(x)=q(x)g(x)+r(x),degr(x)<degg(x)

(4)f(x)=q(x)(xa)+f(a)

  接着上面的讨论,当af(x)的根时,可以得到(xa)f(x)。反之如果f(x)=p(x)(xa),则有f(a)=(p(x)q(x))(xa),在交换环中该式为0(非交换环中不一定成立)。这样我们就有结论:交换含幺环中,有公式(5)的等价关系。再假设含幺环的多项式f(x)的不同零点为a1,a2,,则首先有f(x)=g1(x)(xa1)。若为交换环,则有g1(a2)(a2a1)=0,若还为无零因子环,则g1(a2)=0,故(xa2)g1(x)。以此类推,容易知道根的个数不大于多项式的次数n,在n+1个不同的点值相同的多项式是唯一的。总结就是:含幺整环上的多项式f(x)最多有degf个根。这个结论看似显然,但每个条件都是不可或缺的,比如在四元数除环H中,x2+1=0的根显然不止一个。

(5)f(a)=0(xa)f(x)

   求证:在整数环上,(xa1)(xa2)(xan)1不可约。(提示:反证)

  以上定理给出了含幺整环上的多项式的因式分解方法,但还有两个问题需要解决。一个就是如何找到根,目前还没有一般性的方法,这里只介绍一种求商域根的方法。设F为整环D的商域,考察f(x)=k=0nakxkD[x]F中的解dc,带入方程并展开。如果假设(c,d)=1(这就要求整环是唯一分解环),则有canda0。它可以作为方程解的筛选方法,比如求解整系数方程的有理解。

   求多项式f(x)=3x4+6x321x2203x4的有理根。

  另一个问题就是如果有(xa)nf(x),该如何判定定n>1甚至确定n的值?当(xa)n+1f(x)时,n称为根a重数,特别地n>1时,a称为重根,否则称为单根。微积分中使用多项式的导数判断重根,这个方法在环中还是可以成立的。我们把f(x)=k=1nkakxk1称为f(x)形式微商,容易验证在含幺整环中微商的一般性质仍然成立。和微积分中一样,a为重根的充要条件是f(a)=f(a)=0,一直使用这个结论就还可以得到重数。另外由于域上的多项式环唯一分解,若(f(x),f(x))=1,则f(x),f(x)没有共同根,故f(x)没有重根。

  多项式的因式分解一般并不容易,但在常见数域中已经有一些比较有用的结论。比如由代数基本定理(复变函数中介绍)可知,复数域上的多项式都可以分解为若干个一次因式。进而容易证明,实系数多项式根的共轭也是根(共轭运算的性质),所以实数域的多项式都可以分解为若干个一次和二次因式。而对有理数域上的多项式,都可以转化成对整数环多项式的讨论。下一节中将给出求解有理根的方法,和判定多项式不可约的一个充分条件,一定程度可以帮助有理数域多项式的分解。

2.2 高斯定理

  现在继续讨论多项式的因式分解,如果要考察其唯一分解性,首先当然要求系数环R是唯一分解环。分解中系数的公因子总可以先提取出来,系数公因子只有单位的多项式被称为本原多项式,这个概念可以简化讨论。我们自然有个小问题,本原多项式的因式当然一定是本源多项式,那么反过来呢?本原多项式的积还是本原的吗?结论是肯定的,观察多项式乘积每一项的组成形式(参考下图),若p是乘积展开式的公因子,如图考察i+j次项有pci+j,矛盾。这就证明了本原多项式的乘积也是本原多项式,该结论也叫高斯引理

  多项式f(x)R[x]可以分解为d·g(x),其中g(x)为本原多项式。要证f(x)的唯一分解性,只需证g(x)的唯一分解性。由于g(x)的阶数有限,且其因式也是本原的,所以g(x)上的分解首先一定是有限的。现在只需讨论唯一性,前面的习题中已经得到,域上的多项式环是唯一分解环,而每个整环都有其商域。为了考察唯一分解环R上多项式环R[x],可以借助R的商域的多项式环F[x]的唯一分解性。

  对R[x]中的不可约的本源多项式h(x),在F[x]中讨论其分解性,当然我们只关注阶数大于0的因式。如果在F[x]中有h(x)=h1(x)h2(x),总可以添加一些系数d,使得等式(6)成立,其中hk(x)R[x]中的本原多项式。根据高斯引理,h1(x)h2(x)也是本原多项式,容易证明d,d相伴,消去d即得h(x)h1(x)h2(x)也相伴。这和h(x)不可约矛盾,故h(x)F[x]也是不可约的。从而如果本原多项式g(x)有不同的分解方法,它们在F[x]中也是不同的分解,这与F[x]的唯一分解性矛盾,我们得到的结论就叫高斯定理

(6)dh(x)=dh1(x)h2(x)

  具体分解本原多项式f(x)=ckxk并没有一般方法,即使判断本原多项式是否可约都是困难的,这里只介绍一个不可约的充分条件:爱森斯坦判别法(Eisenstein)。若存在素元p使得pcn,pck(0k<n1)p2c0,参考高斯定理的证明方法,可判定本原多项式不可约。首先可以假定pa0,pb0,由于pcn,总可以找到pampai(i<m)。考察cm容易证pcm,与条件矛盾,故f(x)不可约。

  爱森斯坦判别法虽然不是不可约多项式的必要条件,但它对不可约本原多项式的判定非常有用,比如可以肯定任意次本原多项式都有不可约多项式xn+2。值得一提的是,容易验证f(x)f(x+a)的可约性是一样的,灵活使用这个变形有时可以构造出判别法的结构。

   求证:f(x,y)=y3+x2y2+x3y+x在唯一分解环中不可约;

   求证:xp+px+1在有理数域中不可约;

   求证:f(x)=xp+xp1++x+1在有理数域中不可约。

2.3 对称多项式

  多元多项式环R[x1,x2,,xn]有一个特殊的子环Σ,其中的每个元素都非常“对称”。准确来讲就是,f(x1,x2,,xn)(x1,x2,,xn)的任意置换都保持不变,这样的多项式就叫做对称多项式。在这些多项式中,有几个是最基础的(公式(7)),它们被称为基本对称多项式。这些式子也许你并不陌生,这正是闭域上n次多项式方程的韦达定理,它给出了方程根与系数的关系(公式(8))。

(7)σ1=xi,σ2=i<jxixj,σ3=i<j<kxixjxk,,σn=x1x2xn

(8)(xx1)(xx2)(xxn)=xnσ1xn1+σ2xn2++(1)nσn

  在中学你多少都接触过对称多项式,我们这里介绍它们的一个漂亮结论。你可以想象,将这n个元素带入任何一个n元多项式,得到的仍然是对称多项式。我们的结论正是它的反命题:任何多项式f(x)都可以用这n个元素的多项式表示,即公式(9)成立,以下证明过程其实也是生成多项式的构造过程。首先一个对称多项式可以按照项的次数分成几个多项式之和f=f0+f1++fm,其中fk中的每一项的次数都是k。容易证明fk也是对称多项式,一般称之为齐次对称多项式,基本多项式就是典型例子。如果我们能证明结论在齐次多项式中成立,则在一般多项式中也成立。

(9)f(x)Σf(x)R[σ1,σ2,,σn]

  为了便于讨论,我们将m次齐次多项式fm的项x1d1x2d2xndn,(dk=m)d1d2dn进行字典排序。考虑到的N=σ1t1σ2t2σntn展开后的最大项为式子(10),可以反向构造N使得其最大项与fm的最大项M相等,两式相减后的最大项一定小于之前的最大项。这个过程可以在有限步后结束,构造出的所有N便是生成多项式的项,对称多项式基本定理得证。这个结论对任意环R都是成立的,由证明过程还可以知道,当R为整环时生成多项式是唯一的。

(10)x1t1+t2++tnx2t2++tnxntn

  再回顾构造过程,每次选取的N的最大项的次数都是m,故满足条件(11)。根据这个结论,我们可以使用待定系数法更快地得到某个具体的生成多项式。比如f4=x14+x24+x34+x44,设f4=aσ14+bσ12σ2+cσ1σ3+dσ22+eσ4,取(x1,x2,x3,x4)的不同值带入,解方程组便得到生成多项式。

(11)t1+2t2++ntn=m

  最后来讨论一下一类常用的对称多项式,它们是元素的等幂和Sk=x1k+x2k++xnk,我们需要知道它们和基本对称多项式的关系。为了得到结论,以下设f(x)=(xi),充分利用韦达定理和f(x)的形式特点,构造次数小于n的多项式g(x)=f(x)(x1k+1xx1++xnk+1xxn),可以得到式(12)。比较等式两边的n次项,就得到著名的牛顿公式(公式(13)(14)),这个公式可以在{Sk}{σk}之间进行转换。

(12)xk+1f(x)g(x)=f(x)(S0xk+S1xk1++Sk)

(13)Skσ1Sk1+σ2Sk2++(1)kkσk=0,(kn)

(14)Skσ1Sk1+σ2Sk2++(1)nσnSkn=0,(kn)

posted on   卞爱华  阅读(5851)  评论(0编辑  收藏  举报

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