1. 同态与理想
同态定理和正规子群在分析群的结构中起到了重要的作用,我们可以对环进行同样的讨论。若环到另一个系统有映射,满足公式(1),这样的映射称为同态映射。若映射为满的,则称同态,记作。容易证明也是环,且的零元、负数、单位元、逆元、可交换等性质都会映射到中,但零因子却不一定保持。
• 求证:的充要条件是。
在群中已经知道,任何同态映射都对应于一个正规子群(同态核),同样环同态的研究可以等价到对同态核的研究。和群一样,环同态的同态核就是中零元素的原像。容易证明同态核是一个子环,正如正规子群的特殊性一样,它也不是普通的子环。考虑零元素的归零性,同态核一定满足以下条件。一般地,环中的加法子群如果满足以下右边一式,它称为环的左(右)理想,两式都满足的叫理想,记作,容易证明理想(包括左右理想)都是子环。
由定义知理想首先是加法群的子群,故它在加法下是正规子群。容易证明,加法群里到正规子群陪集的同态映射在环里也是同态映射(乘法封闭),故环的每个同态映射也与环的理想一一对应,理想担当起了正规子群的作用。和正规子群一样,理想不具有传递性,即理想的理想不一定是理想。容易证明,理想的交集还是理想,循环环的任何子环都是它的理想。对一般环,显然和分别是它的左右理想。
理想是一种特殊的子环,每个环都有和两个平凡理想,其它理想叫真理想,没有真理想的环叫单环。从理想的定义知,对任何有,相比较群来看,这个结构是“坍塌”的,由此联想到单环和“好”的环之间一定有什么关系。好的环当然是指乘法形成群的除环和域,若它们有非零理想,由知,从而,也就是说除环和域必定是单环。
对于任何环,因为是它的左理想,如果没有非平凡的左理想,则为或。如果存在,容易证明的生成环为理想,从而该生成环就是,它是一个零乘环。反之如果总成立,即一次方程总有解,故是一个除环。综合以上讨论,如果环没有非平凡的左理想(或右理想),它要么为零乘环,要么为除环。
• 若且有单位元,求证;
• 求证:仅有有限个理想的整环是域。(提示:考察所有左理想)
从前面的讨论已经知道,环的理想的所有陪集形成一个环,它与以理想为核的同态映射的像同构,被称为商环,记作。与群论中一样,这个结论称为环的同态定理,它是解析环结构的基本工具。环的同态定理同样可以得到它的三个同构定理,它们与群的同构定理非常类似,就不多做说明了。
(1)第一同构定理:;
(2)第二同构定理:;
(3)第三同构定理:。
• 讨论高斯整环在主理想下的商群,证明其有个元素,并列出代表元。(提示:先从虚数分大类,再讨论整数类)
2. 特殊理想
2.1 主理想
对于环的任何子集,我们可以用它来生成最小的环和理想。容易证明,元素生成的加法子群是个循环环,所以它就是的生成子环。由元素生成的理想叫一个主理想(Principal Ideal),记作,下面来看看主理想的结构。首先主理想中一定包含生成的加法群,要求它是理想就必须包含,在加法的封闭性下它们具有统一格式。接下来根据乘法的封闭性知,其中还必须包括,它的统一格式被扩展为。现在你可以证明,这种形式的所有元素构成一个理想,故它就是生成的主理想。
总结就得到主理想的每个元素具有式(3)的形式,其中整数(构造步数是有限的)。在特殊情况下,会有更简单的表达式,请自行推导。比如如果乘法可交换,则形式变为。当有单位元时,表达式可统一为。既可交换又有单位元,则简化为。特别地,循环环的每个理想都是主理想。
现在再来看由多个元素生成的环,它的结构形式是复杂的,但对理想却又比较好的结果。首先用归纳法容易证明,如果为理想,则也为理想。这样对于任何子集,是一个理想,而且显然它由生成的最小理想,从而有下式成立。
2.2 素理想和极大理想
我们已经提到过,一般的环其实很不“完美”,有时候我们更希望研究的是整环、单环、除环或域。借助于同态定理,可以尝试取适当的理想,将商环变得“完美”一点。首先来考虑商环是整环的情景,整环首先无零因子,如果有,则其中必有一个为。展开后就得到,如果有,则必定有或。当然整环还要求可交换,在一个交换环中,满足以下条件的理想叫素理想。容易证明,交换环的商群是整环的充要条件是为素理想。
根据第三同构定理,要使为单环,必须不能有比更“大”的理想。准确的定义是:如果,且除外没有包含的理想,则称为的极大理想。比较显然,为极大理想的充要条件是为为单环。综合前面单环的结论可知,如果有单位元,则为除环的充要条件是为极大理想,加上可交换的条件,结论就对域也成立了。
• 求证:的全部素理想为和;
• 求证:的极大理想只有。
3. 直和分解
3.1 直和
在群论中我们看到,直积分解是解构群的最好的方法,这个思想同样可以应用到环中。对环,容易证明集合在以下运算下也形成环,一般称为的外直和。的理想与同构,且,而且每个元素的和分解是唯一的。
鉴于以上讨论,当环有理想满足:(1);(2)中的任何元素可以唯一表示为。则称为的内直和,简称直和,记作。
定义中第二个条件有更容易使用的等价形式,一个是零元素的表示法唯一,另一个是每个直和项的独立性(公式(8))。第二个等价条件说明了直和项的无关性,即,如果有,则,所以。进一步如果有直和分解,可以有公式(9)成立,即任何元素的运算都能映射到各个直和项中。直和分解是一种无关性分解,它将大的环分解为无关的小环来研究。
3.2 理想与直和
直和分解使得我们可以在更小的理想中分别讨论环的性质,现在来看看一般理想与直和分解的关系。首先考虑直和项的理想,则对任意,有,同理有。从而有,即直和项的理想也是直和的理想。由这个结论很容易有,直和项的理想的直和也是的理想(公式(10))。
反之对任何一个理想,也是理想,那么是否是的直和呢?本质上只要证明任何,它的直和分解满足。要使得这个性质成立,需要借助单位元,,故可以假设存在单位元,使得反命题成立,因为单位元的直和分解便得到的单位元。
现在的问题自然是,什么样的环有直和分解?如何进行直和分解?假设的特征为,且有互质分解,我们希望可以分解为特征值分别为的直和项。由于互质,则存在,考察集合和。首先容易证明它们都是理想,再由于,故有。假设,则容易有,进而得到,所以,从而。
最后来计算的特征,根据的定义先有,再由是特征有,从而。至此结论得证,如果对进行素数分解,就可以将环分解为幂次特征的直和项(公式(11))。
3.3 直和的应用
先来粗略讨论一下环的存在性,显然任何阶的交换环都是存在的,比如。哈密尔顿环给出了无穷阶非交换环的例子,我们现在想知道有限阶的非交换环存在吗?在群论中我们知道,任何有限交换群都可以按不变因子进行直和分解。对于环的加法也有,其中。如果不含高于一次的因子,则为循环环,从而是可交换的。这样就知道,一个非交换环必定是含有有平方因子。
反之对这样的,其实也是可以构造出一个非交换环的,我们只需构造出一个非交换的阶环,它与任何阶环的直和便是阶非交换环。对于一个阶环R,考察二元组集合,定义加法和乘法如下,容易证明该集合在定义的加法和乘法下构成非交换环。至此就得到了有限阶非交换环存在的充要条件是,环的阶含有平方因子。
最后我们用环的语言来描述“中国剩余定理”,回顾定理的内容:若互质,则方程组在模下有且仅有一个解。站在环的角度,的同余类是一个主理想环,因此考察环的理想。互素可以说成是,而要证的结论则是公式(13)。
首先容易验证是同态映射,如果能证明它是满射,由同态基本定理可以得到结论。证明方法和初等数论中本质是一样的,我们需要为每一维构造。这个条件等价于且,或者说。如果环有单位元,该等式可以从轻易推得,故结论得证。
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步