【抽象代数】 06 - 理想与直和

1. 同态与理想

  同态定理和正规子群在分析群的结构中起到了重要的作用,我们可以对环进行同样的讨论。若环R1到另一个系统R2有映射f:R1R2,满足公式(1),这样的映射称为同态映射。若映射为满的,则称R1,R2同态,记作R1R2。容易证明R2也是环,且R1的零元、负数、单位元、逆元、可交换等性质都会映射到R2中,但零因子却不一定保持。

(1)f(a+b)=f(a)+f(b);f(ab)=f(a)f(b)

   求证:ZmZn的充要条件是nm

  在群中已经知道,任何同态映射都对应于一个正规子群(同态核),同样环同态的研究可以等价到对同态核的研究。和群一样,环同态的同态核就是R2中零元素的原像。容易证明同态核是一个子环,正如正规子群的特殊性一样,它也不是普通的子环。考虑零元素的归零性,同态核一定满足以下条件。一般地,环R中的加法子群N如果满足以下右边一式,它称为环的左(右)理想,两式都满足的叫理想,记作NR,容易证明理想(包括左右理想)都是子环。

(2)nN,rRrnN,nrN

  由定义知理想首先是加法群的子群,故它在加法下是正规子群。容易证明,加法群里到正规子群陪集的同态映射在环里也是同态映射(乘法封闭),故环的每个同态映射也与环的理想一一对应,理想担当起了正规子群的作用。和正规子群一样,理想不具有传递性,即理想的理想不一定是理想。容易证明,理想的交集还是理想,循环环的任何子环都是它的理想。对一般环R,显然RaaR分别是它的左右理想。

  理想是一种特殊的子环,每个环R都有{0}R两个平凡理想,其它理想叫真理想,没有真理想的环叫单环。从理想的定义知,对任何nNnRN,相比较群来看,这个结构是“坍塌”的,由此联想到单环和“好”的环之间一定有什么关系。好的环当然是指乘法形成群的除环和域,若它们有非零理想N,由aa1=11N,从而N=R,也就是说除环和域必定是单环。

  对于任何环R,因为Ra是它的左理想,如果R没有非平凡的左理想,则RaR{0}。如果存在Ra={0},容易证明a的生成环为理想,从而该生成环就是R,它是一个零乘环。反之如果Ra=R总成立,即一次方程ya=b总有解,故R是一个除环。综合以上讨论,如果环没有非平凡的左理想(或右理想),它要么为零乘环,要么为除环。

   若HNRN有单位元,求证HR

   求证:仅有有限个理想的整环是域。(提示:考察所有左理想Ra

  从前面的讨论已经知道,环R的理想N的所有陪集形成一个环,它与以理想为核的同态映射的像同构,被称为商环,记作R/N。与群论中一样,这个结论称为环的同态定理,它是解析环结构的基本工具。环的同态定理同样可以得到它的三个同构定理,它们与群的同构定理非常类似,就不多做说明了。

  (1)第一同构定理R/Kerff(R)

  (2)第二同构定理NR,HR(H+N)/NH/(HN)

  (3)第三同构定理H,NR,NHR/H(R/N)/(H/N)

   讨论高斯整环在主理想m+ni下的商群,证明其有m2+n2个元素,并列出代表元。(提示:先从虚数分大类,再讨论整数类)

2. 特殊理想

2.1 主理想

  对于环的任何子集,我们可以用它来生成最小的环和理想。容易证明,元素a生成的加法子群是个循环环,所以它就是a的生成子环。由元素a生成的理想叫一个主理想(Principal Ideal),记作a,下面来看看主理想的结构。首先主理想中一定包含a生成的加法群{na},要求它是理想就必须包含Ra,aR,在加法的封闭性下它们具有统一格式ax+by+na。接下来根据乘法的封闭性知,其中还必须包括RaR,它的统一格式被扩展为ax+by+na+xkayk。现在你可以证明,这种形式的所有元素构成一个理想,故它就是a生成的主理想。

(3)a={ax+by+na+k=1mxkayk}

  总结就得到主理想的每个元素具有式(3)的形式,其中m,n整数(构造步数是有限的)。在特殊情况下,会有更简单的表达式,请自行推导。比如如果乘法可交换,则形式变为ax+na。当有单位元时,表达式可统一为k=1mxkayk。既可交换又有单位元,则简化为ax。特别地,循环环的每个理想都是主理想。

  现在再来看由多个元素生成的环,它的结构形式是复杂的,但对理想却又比较好的结果。首先用归纳法容易证明,如果Rk为理想,则Rk也为理想。这样对于任何子集{a1,a2,,an}a1+a2++an是一个理想,而且显然它由{a1,a2,,an}生成的最小理想,从而有下式成立。

(4)a1,a2,,an=a1+a2++an

2.2 素理想和极大理想

  我们已经提到过,一般的环其实很不“完美”,有时候我们更希望研究的是整环、单环、除环或域。借助于同态定理,可以尝试取适当的理想,将商环变得“完美”一点。首先来考虑商环R/N是整环的情景,整环首先无零因子,如果有(a+N)(b+N)=N,则其中必有一个为N。展开后就得到,如果有abN,则必定有aNbN。当然整环还要求可交换,在一个交换环中,满足以下条件的理想叫素理想。容易证明,交换环的商群R/N是整环的充要条件是N为素理想。

(5)abNaNbN

  根据第三同构定理,要使R/N为单环,必须不能有比N更“大”的理想。准确的定义是:如果NR,且除N,R外没有包含N的理想,则N称为R极大理想。比较显然,N为极大理想的充要条件是为R/N为单环。综合前面单环的结论可知,如果R有单位元,则R/N为除环的充要条件是N为极大理想,加上可交换的条件,结论就对域也成立了。

   求证:Z的全部素理想为{0}p

   求证:Z的极大理想只有p

3. 直和分解

3.1 直和

  在群论中我们看到,直积分解是解构群的最好的方法,这个思想同样可以应用到环中。对环R1,R2,,Rn,容易证明集合R={(a1,a2,,an)akRk}在以下运算下也形成环,R一般称为R1,R2,,Rn外直和R的理想Rk={(0,,0,ak,0,0)akRk}Rk同构,且R=R1+R2++Rn,而且每个元素的和分解是唯一的。

(6)(a1,a2,,an)+(b1,b2,,bn)=(a1+b1,a2+b2,,an+bn)

(7)(a1,a2,,an)(b1,b2,,bn)=(a1b1,a2b2,,anbn)

  鉴于以上讨论,当环R有理想R1,R2,,Rn满足:(1)R=R1+R2++Rn;(2)R中的任何元素a可以唯一表示为a=a1+a2++an,(akRk)。则称RR1,R2,,Rn内直和,简称直和,记作R1R2Rn

  定义中第二个条件有更容易使用的等价形式,一个是零元素的表示法唯一,另一个是每个直和项的独立性(公式(8))。第二个等价条件说明了直和项的无关性,即RiRj={0},如果有aiRi,bjRj,则aibjRi+Rj,所以aibj=0。进一步如果a,b有直和分解a=a1++an,b=b1++bn,可以有公式(9)成立,即任何元素的运算都能映射到各个直和项中。直和分解是一种无关性分解,它将大的环分解为无关的小环来研究。

(8)Rk(R1++Rk1+Rk+1++Rn)={0}

(9)ab=a1b1+a2b2++anbn

3.2 理想与直和

  直和分解使得我们可以在更小的理想中分别讨论环的性质,现在来看看一般理想与直和分解的关系。首先考虑直和项的理想NRk,则对任意nN,有nR=n(N1++Nn)=nNkN,同理有RnN。从而有NR,即直和项的理想也是直和的理想。由这个结论很容易有,直和项的理想NkRk的直和也是R的理想(公式(10))。

(10)N1N2NnR

  反之对任何一个理想NRNk=NRk也是理想,那么N是否是Nk的直和呢?本质上只要证明任何nN,它的直和分解满足nkN。要使得这个性质成立,需要借助单位元1knk=1knN,故可以假设R存在单位元,使得反命题成立,因为单位元的直和分解便得到Rk的单位元。

  现在的问题自然是,什么样的环有直和分解?如何进行直和分解?假设R的特征为n,且有互质分解n=n1n2,我们希望R可以分解为特征值分别为n1,n2的直和项。由于n1,n2互质,则存在sn1+tn2=1,考察集合R1={sn1aaR}R2={tn2aaR}。首先容易证明它们都是理想,再由于a=sn1a+tn2a,故有R=R1+R2。假设aR1R2,则容易有n1a=n2a=0,进而得到a=0,所以R1R2={0},从而R=R1R2

  最后来计算R1,R2的特征m1,m2,根据R1,R2的定义先有m1n1,m2n2,再由nR特征有m1m2n,从而m1=n1,m2=n2。至此结论得证,如果对n进行素数分解n=p1α1pmαm,就可以将环分解为幂次特征的直和项(公式(11))。

(11)R=R1R2Rm,CharRk=pkαk

3.3 直和的应用

  先来粗略讨论一下环的存在性,显然任何阶的交换环都是存在的,比如Zn,Z。哈密尔顿环给出了无穷阶非交换环的例子,我们现在想知道有限阶的非交换环存在吗?在群论中我们知道,任何有限交换群都可以按不变因子进行直和分解。对于环R的加法也有(R,+)=b1bm,其中|bk||bk+1|。如果n=|R|不含高于一次的因子,则R=b1为循环环,从而是可交换的。这样就知道,一个非交换环必定是含有有平方因子n=n12n2

  反之对这样的n,其实也是可以构造出一个非交换环的,我们只需构造出一个非交换的n12阶环,它与任何n2阶环的直和便是n阶非交换环。对于一个n1阶环R,考察二元组(x,y)集合,定义加法和乘法如下,容易证明该集合在定义的加法和乘法下构成非交换环。至此就得到了有限阶非交换环存在的充要条件是,环的阶含有平方因子。

(12)(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2),(x1,y1)(x2,y2)=(x2+y2)(x1,y1)

  最后我们用环的语言来描述“中国剩余定理”,回顾定理的内容:若m1,m2,,mn互质,则方程组xak(modmk),(k=1,2,,n)在模m1m2mn下有且仅有一个解。站在环的角度,mk的同余类是一个主理想环,因此考察环R的理想I1,I2,,Inmi,mj互素可以说成是IiIj=R,而要证的结论则是公式(13)。

(13)R/IkR/I1×R/I2××R/In

  首先容易验证RR/I1×R/I2××R/In是同态映射,如果能证明它是满射,由同态基本定理可以得到结论。证明方法和初等数论中本质是一样的,我们需要为每一维构造rk=(,0,ak,0)。这个条件等价于rkak+Ikrk(Ii)/Ik,或者说R=Ik+(Ii)/Ik。如果环有单位元,该等式可以从R=Ii+ij轻易推得,故结论得证。

posted on   卞爱华  阅读(8693)  评论(0编辑  收藏  举报

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