【抽象代数】 05 - 环和域

  抽象代数不是为了抽象而抽象,它所研究的代数系统都有着广泛的实例原型。群论的学习中我们已经看到很多系统同时存在着两个运算,而且它们是相互关联的,这就迫使我们来研究这种代数系统的结构和特点。从另一方面看,运算之间的互相牵连也会导致单个运算的特殊性质,你将会在后面的讨论中看到这一点。

1. 环

1.1 环和子环

  具有两个运算的系统比较多,性质也各有不同,我们必须先从中抽取出“最小”的系统才能有通用性。各种数系、多项式、矩阵的加法和乘法是最具代表性的双运算系统,以它们为参考可以得到比较有用的系统。矩阵(线性空间)为双运算系统提供了丰富的可能性,教材中的例子也避不开它,但你也只需知道一些基本概念就行,线性代数今后将作为专门的课题讨论。

  考察上面提到的常见系统,它们的加法群都是交换群,故假设新的抽象系统的一个运算也为交换群。为方便起见可直接称其为加群,加群的单位元称为零元素(记作0)。加群的所有表达式都可以写为加减法,加法的“幂”可以用倍数表示。你可以证明,以下常见的变形都是成立的,今后可以直接使用。

(1)a+0=a;aa=0;(a)=a;(a+b)=ab;(ab)=ba

(2)(na)=(n)a;ma+na=(m+n)a;m(na)=(mn)a;n(a+b)=na+nb

  以上系统的中的乘法群就比较弱了,但至少组合律是成立的,所以它是一个半群。如果我们定义的系统只有两个孤立的运算,也大可不必做这样的研究。研究常见的系统,可以发现乘法和加法满足以下分配律。至此我们就可以定义新的系统了,一个运算为加法群,另一个运算为半群,且它们满足分配率,这样的系统称为(ring),一般用字母R表示,乘法可交换的环叫交换环。乘法如果有单位元,按照惯例一般记作1

(3)a(b+c)=ab+bc;(a+b)c=ac+bc

  如果你仔细观察分配率,可以发现其中有同态映射的影子,这其实也是还有着各种性质的主要原因。现在来看看加法在结合了乘法后,都有哪些性质,我们以前熟悉的表达式变形还能不能成立。首先对于特殊的0元素,因为0a+0a=(0+0)a,容易有0a=0,零元素在乘法下将所有元素归为0。再来看(a)b,因为(a)b+ab=(a+a)b=0,故有(a)b=ab。这些都是以前就熟悉的表达式,它们在环里都是成立的。下面是更多的常用表达式,证明比较容易。

(4)0a=a0=0;(a)b=a(b)=ab;c(ab)=cacb

(5)aibj=aibj;(ma)(nb)=(mn)(ab)

  很自然地,可以定义子环,它是进一步研究环结构的基本定义。子环除了是加群的子群外,还需对乘法封闭,这些比较容易证明。和单运算系统一样,可以定义环同构,如果两个环R1,R2之间存在一一映射f,且映射保持运算(公式(6)),则称R1,R2同构R1R2)。

(6)f(a+b)=f(a)+f(b);f(ab)=f(a)f(b)

  环中也可以对单位元和逆进行讨论,由于两个运算的相互作用,往往会表现出有趣的性质,但证明中也需要巧妙的构造。比如考察有单位元的环R,如果元素a有至少两个右逆元,记逆元的集合为{ak}。考察集合{aka1+a1},容易证明它们都是右逆元且互不相等,从而这两个集合存在一一映射。如果集合是有限的,则存在axa1+a1=a1,化简后两边同时乘以ayax=ay,从而所有右逆元相等。这就导致了矛盾,所以右逆元必然有无穷多个,而有限环最多只能有一个右逆元,这个结论称为Kaplanskey定理。

   每个元素都是幂等元a2=a的环叫布尔环,求证a=aab=ba

   环R有单位元,求证加法交换律可由定义的其它部分证明;(提示:分配率的不交换性)

   求证:唯一的左(右)单位元必定是单位元;(提示:构造aela+el

   如果1+ab可逆,则1+ba也可逆;(提示:构造)

   求证:交换环中所有满足an=0的元素组成子环。

1.2 零因子

  零元素在环中有着特殊的地位,它如同黑洞一般讲所有元素吸入,使得环的局部呈现坍塌。反之,环的整体结构还是得靠那些能逃脱0的“引力”的元素撑起来。为此定义ab=0中的a,b0分别为环的左、右零因子,不是零因子的元素叫正则元,正则元就是我们要找的“支撑元素”。无零因子是对乘法的一个约束,它本质上是要求乘法封闭。有一类特殊的零因子满足an=0,它们被称为幂零元

  显然有无左零因子和有无右零因子是等价的,这样的环也称为无零因子环,交换的无零因子环叫整环(domain)(有些教材还要求含单位元,这里不采用)。对无零因子环,若有ab=acba=ca,由分配率显然有b=c,即消去律成立。反之若左(右)消去律成立,也容易得到环无零因子,由此消去律和无零因子是两个等价概念。

  若对于无零因子环有左单位元el,由于(aela)el=0,则有ael=a,故环有单位元,用同样的方法可证其左逆元也是右逆元。这个例子表现了零因子的概念在建立等式上的丰富作用,善于构造巧妙的表达式,可以得到很多有用的结论。有些场景下可能不存在单位元,对ab=a不能急于消去a,而是要迂回使用消去律,这个方法经常用到。比如若无零因子环有幂等元x2=x,不能直接消去得到x=e,而是先乘上任意元素ax2=ax,然后再消去x证明x就是单位元。考虑以下问题:

   若SR,但它们的单位元不同,求证S的单位元是R的零因子;

   含有至少3个元素的布尔环不是整环;

   若有限环中有ab=1,则ba=1。(提示:参考Kaplanskey定理的证明)

1.3 特征

  阶是群的重要参数,现在来看看加法群中元素的阶,如果其中有最大值n,由于加法群是交换群,用反证法可知所有元素的阶都是n的因子。加法群的阶在环中还有更多的性质,我们将最大的阶称为环的特征,记作CharR,当然特征也可以是无穷。如果乘法有单位元且阶为n,则有na=(n1)a=0,故1的阶即是环的特征。特征为p,且恒有ap=a的环叫p-环,可以证明p-环都是循环环(较复杂)。

  环中的乘法运算有个很有用的性质,就是倍数可以任意移动组合(公式(5)),这个特征结合无零因子可以得到很好的性质。先假设环中有一个阶为n的元素a,那么根据(na)b=a(nb)=0,容易知道b的阶为n的因子,并进而得知环中所有元素的阶都是n。再假设n不是素数,它有分解n=xy,则有(na)a=(xa)(ya)=0,从而必有xa=0ya=0,这与a的阶为n矛盾。综合以上分析可知,无零因子环元素的阶要么都是无穷,要么都是某个素数p,有限无零因子环的阶当然都是p

   若交换环的特征为p,则有(ak)p=akp

   求证:p-环没有幂零元。

2. 除环和域

2.1 除环和域

  有些环在乘法上有更多的性质,有必要专门讨论它们。对于那些有单位元的环,其中存在逆元的元素一般称为单位(unit)。容易证明环中的全体单位在乘法下构成群,它被称为单位群。对于有限环,总有am=an(m>n1)成立,如果a是非零因子,则有amn+1=a。继而对任意xamnx=x,即得到amn为单位元,而amn1a的逆元。总结以上就得到,有限环的非零因子是单位。

  除零因子外,每个元素都是单位的环称为除环(skew field),交换除环也叫(field)。容易证明除环没有零因子,由此可知在去除零元素之后,乘法仍然是封闭的,它们能够形成一个群。数系是除环和域的典型代表,整数环有单位{1,1},有理数、实数、复数都是域的例子。由于域的乘法可交换,可以定义ab1=b1a为分式ab,你可以证明一般方式的加法、乘法、除法规则在域里也是成立的。

   若环R中的任何非零元素a,都有唯一的bR使得aba=a,求证R为除环。(提示:先证无零因子)

  你可能有一个疑问,存不存在除环呢?乘法有单位元和逆元,却不可交换的环存在吗?还记得第一章里介绍的四元群吗,由它们作为“超复数”的单位形成四元数{a+bi+cj+dk},可以证明它就是非交换的除环。这是历史上首次发现的非交换除环,由哈密尔顿(Hamilton)首先发现,因此也叫哈密尔顿四元数除环。后面的课程中,还会介绍到它作为数满足的一般性质,这在历史上是一个重大的发现。对于有限除环,魏德邦(Wedderbum)证明了它的必定是交换的,故必然是域。由前面的讨论我们容易有,有限无零因子环必定是除环,再由魏德邦定理知它又必定是域。

Hamilton(1805 - 1865)

  之前群的定义中,我们讨论了一次方程有解与群的等价性。在除环里也有类似的结论,而且所需条件更弱。首先除环中一次方程(7)都有解,反之若环中满足方程(7)其中之一有解,下面来看它是否是除环。首先要证无零因子,即对任意a,b0,证明ab0。可以构造一个含有ab而值为b(或a)的表达式,利用一次方程的有解性可有bc=dad=b,从而abc=ad=b,则环无零因子。接下来找单位元,设ax=a的解为er,利用消去律(见上面的讨论)可知er为右单位元。再由ax=er知任何元素a有右逆元,从而乘法(除去零元)是一个群,该环为除环。综合以上讨论,环为除环的充要条件是一次方程(7)之一恒有解(a0)。

(7)ax=b,ya=b

2.2 商域

  域的结构是最常见的,它的结论比较丰富,我们希望能把一个环放在域中,以便获得更多的结论。显然不是所有的环都可以扩展为域,它至少要满足无零因子和可交换。自然地我们想问,是不是该先考虑无零因子的不可交换环扩展为除环,可惜这个结论已经有人举出反例了,比较复杂,这里仅当结论。那么无零因子可交换环(整环)是不是都能扩展为域呢?这里就来讨论这个问题。

  要想成为域,需要补充单位元和逆元,但硬要把它们定义出来还是很困难的。回顾一下我们在实数系统介绍的扩展方法,可以用数对来定义扩展的数系,再将原数系嵌入到新数系中。添加单位元和逆元本质上需要做除法,和整数扩展为有理数的过程完全一样,定义元素对的集合{(a,b)}(a,bR,a0)。当ad=bc时,定义相等(a,b)=(c,d),直观上讲其实就是定义了分数ba=dc

  相等关系下的等价类正是我们期望的系统,首先证明新系统的如下加法和乘法定义是良性的,即等价类中代表元的选取不影响结果。然后证明,新系统在这个运算定义下形成一个域,最后通过映射aadd将环嵌入到这个域中。这就证明了无零交换环总可以扩展为域,这个域也叫环的分式域商域

(8)ba+dc=bc+adac,badc=bdac

3. 特殊环

3.1 循环环

  循环群是最简单的群,那这里先分析一下加法群是循环群的环,它称为循环环,设加法群的生成元为a。回顾一下循环群,若它的阶为无穷,它与整数群同构且同时a也是生成元,若阶为有限n,它与n的剩余类群同构,且任何与n互素的剩余类都是生成元。显然整数集合Z和任何剩余类集合Zn在加法和乘法定义下构成环,分别称为整数环和模n剩余类环,下面就来分析一下循环环和它们之间的关系。

  先来看循环环,它的所有元素是{,2a,a,0,a,2a,}0,a,2a,,(n1)a。它们在加法群下,每一个不同的阶仅有一个同构的循环群,但这一点在环里却是不成立的。现在来考虑循环环中的乘法,首先对任意两个元素有(ma)(na)=(na)(ma)=(mn)a2,故循环环必定是交换环。其次由乘法的封闭性,一定有a2=ka,而反过来若在一个循环群上定义乘法(ma)(na)=(mnk)a,它也一定构成环。由此可知,k的任何取值都等价于一个环结构,当然你要清楚,不同的k对应的环是有可能同构的。

  对于无穷阶环,加法生成元只有±a,当|k|取不同值时,对应的环一定互不同构,而容易证明kk对应的环是同构的。对于n阶环,k只能取n个值,而这些值对应的环还有可能是同构的。使用初等数论的一些简单推导,容易证明可以通过选取适当的生成元,使得kn的因子。从而n的每个因子代表了一类同构的环,同不同因子对应的环是不同构的。

  这样循环环的所有同构环就清楚了,每一个非负整数对应一个无穷环,每一个因子对应一个n阶环。最后来看看整数环和剩余类环,显然它们的生成元满足k=1,而它们的子环满足k>1Z的所有子环与正整数一一对应,Zn的所有子环与n的正因子一一对应,而它们包含了除k=0之外的所有循环环。换句话说除k=0之外,每个循环环与一个ZZn的子环同构。

  现在做一些常规讨论,Z只有可逆元±1,所有元素为非零因子,Zn中与n互素的都是可逆元,而其它都是零因子。特别地,Zp的每个元素可逆,故它是一个域,而且还是一个p-环。由于ZZn都有单位元,单位元的阶就是它们特征,所以Z的特征为无穷,而CharZn=n

3.2 多项式环

  将环向多维空间扩展,是得到更多复杂环的常用方法,扩展的形式也是多种多样的。矩阵环可以得到非常丰富的环结构,简单一点的还有在线性空间的简单拓展,比如无理数环{x+y2x,yQ}和复数环{x+yix,yR},特别地{x+yix,yZ}叫做高斯整环

  线性扩展中最一般的当属多项式,多项式一直是代数中的重要概念,它是一个基本的代数对象,现在从环的角度来分析一下多项式系统。先从最常见的一元多项式说起,它是具有以下形式的表达式,其中ak是环R的元素,akxk称为k次项,ak称为k次项系数,系数非零的最高次数称为多项式的次数。

(9)f(x)=anxn++a1x+a0

  大家最初是在域的环境下认识多项式的,这里的限制要求重新定义对多项式的一般认识。首先多项式中的加号和akxk中的“乘号”目前仅是一个记号,两个多项式相等的充要条件是每一项的系数相等,而不是最终的值相等。现在需要重新定义运算,两个次数相同的项akxk,bkxk之和为(ak+bk)xk,而两项aixi,bjxj之积为aibjxi+j,两个多项式相乘时按分配率展开。以上定义对域上的环是不需要定义的,但在环下必须有这样的精确说明。

  容易证明在环R上的多项式集合在以上加法和乘法定义下构成环,一般记作R[x]。显然RR[x]的子环,故对R[x]成立的一般对R也一定成立,但反过来的结论一般要证明。有一些比较显然的结论,比如如果R有单位元则R[x]也有单位元,如果R可交换则R[x]也可交换,如果R为整环则R[x]也是整环。现在来看看R[x]的零因子有什么性质,假设f(x)g(x)=0,设g(x)的首项系数为gn,则f(x)gn的次数比f(x)小。如果再假设环可交换,则有(gnf(x))g(x)=0,用归纳法可知存在cR,使得cg(x)=0。总结以上讨论有,交换环R[x]的元素g(x)是零因子的充要条件是,存在cg(x)=0

  整数环的分解性(算术基本定理)是初等数论的重要内容,在一般环中仍然可以进行这样的讨论,后面会给出专题。除了多项式环,还有一个重要的高斯整数,也是重要的环。多项式要扩展成域,必定引入有理分式域。

posted on   卞爱华  阅读(9292)  评论(2编辑  收藏  举报

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