1. 代数系统
1.1 运算律
我们已经知道函数的概念,它表示集合间的一种映射关系。多数场景里,像和原像往往是同一个集合,这里就讨论这样的函数。一元函数也被称为集合上的变换,其中双射的变换也称为置换。一般如下式的多元函数,也被称为集合上的元运算。集合以及其上的一些运算组成的系统叫代数系统(algebraic system),在不混淆的情况下也可用表示这个代数系统。代数系统可以让我们抛开具体运算对象,而只关注于它们共有的结构和性质。
二元运算是最常见的运算,比如各种对象(数、向量、多项式等)上的加减乘运算,以及变换的复合运算。这里就主要研究二元运算下的代数系统,参照的例子主要是来自数论和置换变换。下面的讨论,在思想分析上会比较啰嗦一点,但这些正是抽象代数的根基,某些证明过程和结果反而不那么重要。希望你可以在学习时,经常合上书本,自己重新构建这些理论,体验抽象代数的思维。
我们先把问题简单化,研究只有一个二元运算的代数系统,那么如何研究?对于这个运算本身需要研究它形式上的特点,而对于整个代数系统还需要分析其结构特点。我们用特定的符号来表示要研究的二元运算,有时也简写为,并且说成是“乘法”,这个代数系统简单记为。如果还有另一个系统,它们之间有一一映射,并且满足下式,则这两个系统称为同构的(isomorphic),记作。显然同构是个等价概念,同构的代数系统可以看作是完全一样的,本质上可以不加区分。
从运算的形式上看,有两种比较重要的性质是需要研究的,一个就是运算的复合,另一个就是变量的位置互换。运算的复合是指变量本身又是另一个运算的结果,比如。我们大部分研究对象的运算都满足下式的特点,它称为运算的结合律。结合律在数学中非常普遍,是一个非常基础的运算律,我们就从这里开始。结合律本质上是说运算只与被操作数的序列有关,而与运算顺序无关。直观地讲,一串运算,无论如何添加括号限制运算顺序,结果都是一样的。满足结合律的代数系统称为半群,半群的性质过于简单,它不会有很特殊的结构,必须结合一些其它的性质才行。
对于很多运算,运算结果是依赖于变量的顺序的,与不一定相等,比如置换和矩阵乘法。反之,如下条件被称为运算的交换律。我们已经看到,交换律在很多场合是不满足的,由此一般也不假定它成立,这一点大家要做好思维上的适应。交换律使得变量顺序不再重要,它和结合律共同作用的结果就是,运算结果仅与变量有关,它们的顺序可以随意安排。
1.2 单位元和逆元
前面两段讨论的是运算本身的形式特点,它们还构成不了十分有趣的代数系统,现在需要对系统的结构作一些限制。所谓系统的结构,当然体现在变量与运算结果的关系。首先是不是所有元素都可以成为结果,最简单的是对某个元素,我们希望存在一个数使得下式至少一个成立,并且最好这个对所有元素都成立。基于这样的要求,分别定义对所有元素满足下式的元素为左(右)单位元。左(右)单位元不定都存在,但如果都存在,我们可以有,它们是相等的!这种情况则统称为单位元(identity)(显然唯一),而含有单位元的半群叫幺半群。
单位元实现了我们一个朴素的目标:任何元素都可以成为运算结果。现在我们还有一个很普遍的要求,就是式(6)的某个一元一次方程总有解。你得承认这也是个不过分的要求,因为一次方程都没有解的话,这个系统是很难玩得转的。如果要求有解,比较直观的方法是要求两边可以“除以”,或“乘以”的逆,得到。换句话说就是要求存在逆,分别使得式(7)成立。满足条件的逆分别称为左逆元和右逆元。
如果左(右)逆元同时存在,则,它们是又是相等的,这时统称为逆元(inverse)(显然唯一)。根据式(8)可知同时也是的逆元,并且它们的运算是可以交换的。比较容易证明逆元有式子(9)的性质,这个形式大家并不陌生。
逆元的存在使得“除法”成为可能,它让系统一下子立体起来。最典型的性质就是,当遍历群时,(或)会遍历整个群。因为若,两边乘以,则有。这个性质又叫消去律,如果把整个运算列成一张矩阵的表,则矩阵的每行和每列都包含整个群,且没有重复元素。这个性质非常重要,以后你还会看到它。
2. 群
2.1 群和子群
存在逆元的幺半群叫群,我们的主角就这样登场了。总结一下,齐集结合律、单位元和逆元这三大基本性质的代数系统就是群,一般用字母表示。如果再满足交换律,它就叫交换群(commutative group)(或Abel群(Abelian group))。集合的元素个数称为群的阶(order),显然有有限群和无限群。有了这三个性质,尤其是逆元的存在,群有着非常有趣的结构,后面会慢慢展开讲述。
值得一提的是,单位元和逆元的条件其实是有些冗余的,在很多教材里只要求群满足结合律、存在左单位元和左逆元(或右单位元和右逆元)。现在我们来证它们和原定义的等价性,即已知对任意,存在,求证的存在性。首先记,则有,从而。这样同时还是右单位元,由前面的讨论知它就是单位元。那么再由刚才的可知还是右逆元,故有逆元。
还有一点需要注意,方程(6)有解和消去律中其实并没有单位元和逆的概念,它们与逆之间是否有等价关系?其实不一定成立,但在某些情况还是等价的,请思考如下问题。
• 满足方程(6)都有解的半群是群;(提示:证明单位元和逆存在)
• 同时满足左右消去律的有限半群是群。(提示:利用上题结论)
群的例子非常普遍,比较显然的有任何数系的加法、正数的乘法、矩阵的加法和乘法。再比如上面提到的变换,以及我们在《初等数论》中看到的即约剩余系的乘法,都容易证明它们是群。还有一些著名的群,它们元素个数很少,但结构却不简单,应用也很广泛。比如著名的四元数群,它满足下表的运算律,它们就是四元数的单位元,是比复数更一般的数系(以后可能会介绍)。
还有就是以下Klein四元群,本篇提交的所有群都是后续讨论中的典型例子,你需要品味一下它们的特点,并带入后续的讨论中。
说了这么多,我们还只是给群下了定义,以后的任务就是要研究它的结构,从而能得到有用的性质。结构分析最常用的方法当然就是分解,将大的复杂对象分解为一个个简单的小对象,结构自然就清楚了。同样道理,我们也希望将群拆解为结构更简单的小群,这个目标将贯穿整个群论。我们自然先给这个“小群”下个定义,它首先必然是群的子集,并且在同样的运算下能独立成群,这样的子集被称为子群(subgroup)。
若是的子群,一般记作,显然和都是的子群,它们也叫平凡子群。如果,叫做的真子群(proper subgroup),记作。由于子群完全继承了父群运算,因此必定满足结合律,并且单位元和逆元不变。唯一的要求就是要子群不残缺,该有的元素(单位元和逆元)都要有,运算在子群中还要封闭。现在我们要把这几个条件写成表达式,才能给出子群的严格定义。对于的一个非空子集,如果满足式子(10)中的条件,它就是的子群。另外容易证明,这三个条件其实和式子(11)的条件是等价的,它一般被用作子群的判定条件。
如果子集不满足子群的条件怎么办?你当然可以把需要的元素一个个补齐,最终满足条件的子群就叫的生成子群,记作。当然,你可以给出生成子群的精确定义:包含的最小子群。只有一个元素生成的子群又叫循环群(cyclic group),叫做它的生成元(generator)。显然整数加群、有原根的即约剩余系都是循环群,并且循环群显然是交换群。
2.2 循环群
虽然定义了子群,但分解群的任务还很重,这里我们暂且休息一下,从最简单的循环群研究起。一个循环群中无非是这样的元素:。类似数系中的幂运算,我们可以引入指数记号表示循环群中的每一个元素,你可以证明它完全满足指数的常规性质(公式(12)(13))。
在任何群中,如果有最小的使得,那么称为的阶(order),记作。如果不存在这样的,则称的阶为无穷大,也记作。阶的性质和我们在《初等数论》中讨论的指数的性质完全一样,这里就不赘述了,你有必要回头去看看。
在循环群中,如果,则显然它和有原根的既约剩余系同构:,并且有个生成元。当的阶为无穷大时,它和整数加法群同构:,其中只有两个生成元。下面有一些阶和子群的习题,难度不大,但颇具思考价值:
• 有限子集是子群的充要条件是:对任何,总有;
• 求证:,,;
• 求证:有限群中阶数大于的元素有偶数个;
• 如果,求证。
2.3 置换群
说完了最简单的群,现在来看最“完整”的群。前面我们看到群中的任何元素使得遍历整个群,和上的一个双射变换相对应。而容易证明,集合上的所有双射变换组成一个群,并且是的子群。一般地,集合上的所有双射变换组成的群叫上的对称群(symmetric group)。当时,又可记作,叫次对称群。显然每个阶群都同构于的某个真子群,而阶为无穷的群也同构于的某个真子群(凯莱定理)。
这样一来,我们就可以通过讨论对称群的子群来研究一般的群。对称群的子群叫置换群(permutation group)(因为元素是置换),的子群叫次置换群,这里我们只讨论次置换群。将集合中元素用编号,每个置换可以表示为下式,改变列的顺序并不改变定义。
考察置换中的映射序列:,容易证明这个序列最终必定会回到,这就形成了一个环路。显然任何置换都是由几个不相交的环路组合而成的,有必要对它继续进行研究。每个环路其实也可以看成是一个置换,只不过环路之外的值映射到自身而已。如果环路上共有个元素,这样的置换就称为-循环置换(或-循环),特别地,-循环也叫对换。循环置换可表示为下式,其中,它的阶显然为。
这样就可知,任何置换都可以唯一分解为几个不相交循环的乘积。另外,显然不相交循环的乘积是可交换的,故置换分解为循环后的顺序是可以任意的。另外也容易有下式成立,即循环可以分解为一系列对换的乘积(不可交换),故任一置换又可以分解为一系列对换的乘积。这个地方你需要弄清置换、对换的本质是映射,而不是对数的直接操作,否则下面的公式你会觉得困惑(因为与你预期的可能相反)。
至此就不能再分解了,我们不禁想问,如果一个置换有不同的分解为对换的方法,那它们的对换个数有什么关系吗?现在需要一个固定的值将它们联系起来,这个值只能从置换本身下手。对于数对,如果,则称为一个反序。总反序数是固定的,定义有奇数个反序的置换为奇置换,否则叫偶置换。你可以证明,任何对换与置换相乘后都会改变它的奇偶性。而由上面的分解可知,任何置换都是由恒等变换与一系列对换相乘得来,这样不同分解的对换个数的奇偶性也就必然相等。
奇偶性是置换的一个符号性质,它们相乘后的奇偶性变化与正负符号是一样的。以某个奇置换为乘积的值,可以将偶置换与奇置换一一配对,这样它们就各占一半。另外容易看出,所有偶置换的运算是封闭的,故它们能组成一个群,这个群叫做次交错群(alternating group),记作。考虑以下问题:
• 求证;
• 求证和都是的生成系。
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