【初等数论】 01 - 数学的皇后
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数学的主题是数和形，它们是最基础、最久远的数学概念。克罗内克说过：“上帝创造了自然数，其它都是人的作品”，所以我们选择从数开始说起。数论（Number Theory）专门研究自然数（或整数），这个看似无意义的智力游戏，其实不光是数学家们的思维乐园，它更是孕育新思想、新方法的肥沃土壤。即使我们已经有了耀眼的成就，却好像还不曾见过她的真面目，在其简单的外表下，总有不为人知的深邃。高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，而数论则是数学的皇后”，不管你觉得数论“有用”与否，她至高无上的威严是无法撼动的。
数论最开始的称号就是我们所熟悉的算术，在古希腊时期就有了初步的发展。欧几里得的《几何原本》中就有了一些经典的结论，比如素数有无穷多个，还有大家熟悉的辗转相除法。包括同时期的素数筛选法，对后来的数论研究都很有启发性。古希腊末期的丢潘图唯独偏爱不定方程，所著的《算术》对数进行了超乎想象的讨论。也正是这本书，为今后的数论埋下了神奇的种子。当欧洲文明在中世纪进入漫长的沉寂时，中国数学界却异常地活跃，主要的数学著作中有很多是数论相关的。只可惜中国人不善于将方法转化成理论，从而也就止于各种方法技巧，并未得到比较深刻的理论体系。
文艺复兴时期，数论迎来了它短暂的萌芽。百无聊赖的律师费马，将他的所有业余时间都花在了科学上（主要是数学），而丢潘图的《算术》更是让他深深地陷入了数论的泥潭。仅靠他在书页空白处的笔记，就已经得出了丰富而深刻的结论以及各种奇妙的方法，著名的费马猜想更是足足困扰了后人三百多年。十七、十八世纪是分析学的天下，所有学科都在微积分阴影的笼罩之下。然而全能王欧拉凭借其超人的才华，得到了更多数论方面的深刻结论，并开始挖向了解析数论的宝藏。
Fermat（1601 - 1665） Euler（1707 - 1783） Gauss（1777 - 1855）
至此，数论已经有了非常丰富的结论，但缺乏一个完整的理论体系，这也限制了它进一步的发展。高斯的《算术研究》集前人的成就于一体，提出了同余理论并扩展了整数的概念，为代数数论提供了理论储备。尤其是得到了被称为“数论之酵母”的二次互反律，一下子将数论带进了崭新的邻域。《算术研究》标志着数论作为一个学科的建立，并直接将其带入了现代意义的数论。
接下来，沿着解析数论和代数数论两个不同的方向，数论在现代数学的道路上飞奔。当与近代最尖端的代数几何相结合时，数论步入了其最深刻的阶段，这就是当今的“算术代数几何”（注意！这是一门学科）。同时，数论还摆脱了以往纯数学的帽子，延伸出了多个应用分支，包括编码学、计算数论、组合数论等，这门古老的学科终于开始服务大众了。
也许没有一个学科像数论这样，在理论数学、应用数学甚至娱乐数学中都扮演者重要的角色。令人欣慰的是，只要有小学数学的知识，我们就可以开始这段旅程。前方的路坎坷而漫长，也许我们进不了那最终的圣殿，但如果能欣赏到了路边的风景，其实也就足够了。当然还是要冷静地提醒你，这里只是初等数论，仅仅包含了整除、同余、不定方程等最基础的数论概念。在学会奔跑之前，先要学会爬行，那就让我们从这里开始匍匐前进……
【前序学科】 实数系统
【参考资料】
[1] 《初等数论》（3rd），潘承洞，2013
国内最好、使用最广泛的初等数论教材，注重思想和理论体系的建立。结构清晰合理，表述严格精准。大量的习题不仅能巩固知识，还具有启发性和挑战性，可以看作是教材的延伸部分。
[2] 《数论导引》，华罗庚，1957
不得不说是国内的一部经典教材，它深刻而广泛地介绍了当时数论的各个分支。语言简练，结构清晰，但内容却极其丰富。因为年代久远，专业名词还未统一，所以读起来会稍微不畅。
[3] 《初等数论》（3rd），闵嗣鹤，2003
表述简洁却不失精准，内容组织合理精巧，难度恰当，非常适合初学者。如果你只是想了解初等数论的基本思想，但又不要过于肤浅，可以从这本书看起。
[4] 《初等数论》，于秀源，2002
不错的入门书籍，内容平实，但例题比较新奇，难度不大却较有趣。
[5] 《初等数论（I,II,III）》，陈景润，2012
内容非常初等，适合只有初中基础的人学习。而且有很多趣味数学的内容，整体感觉是套科普书。
[6] 《初等数论及其应用》，阎满富，1999
比较普通，不是很看重理论的建立，有点奥数的倾向。内容浅显，中学生搞奥数的可看看。
[7] 《初等数论难题集（I）》，刘培杰，2009
初等数论的奥数习题集，题量巨大，难度不低，作者欲出3卷，还未出完。数论习题不仅对奥数和数论本身有利，更是整个数学思维不可或缺的一部分。我暂时还没有时间做，先收藏并推荐！
[8] 《初等数论100例》，柯召，2011
一本习题集小册子，可作练习用。大部分问题只用到整除和同余的概念，搞奥数的可以做一做。
[9] 《数论妙趣--数学女王的盛情款待》，H.贝勒，2000
收集了历史上大量初等数论的趣味故事和问题，以及对问题的各种解法，其中也夹杂一些初等数论的重要结论。作者参考了大量的著作，可作为趣味数论的参考资料，也可以用作数论算法的参考书。
[10] 《谈谈素数》，王元，1978
关于素数的一个科普小册子，前半部分较初等，入门可读，后半部分属高级内容，读来消遣也不错。
[11] 《A Introduction to The Theory of Numbers》（6th），G.H.Hardy，2008
经典巨著，涵盖了数论的大部分重要内容和结论。内容紧凑，材料丰富，既有基础定义和结论，也有大量的扩展材料。
[12] 《A Friendly Introduction to Number Theory》（3rd），J.H.Silverman，2005
非常棒的入门书籍，写作方法清新流畅，可读性强。集科普与入门于一体，为非专业人士而写，工科生可以先从这一本看起。
[13] 《Elementary Number Theory》（7th），D.M.Burton，2010
[14] 《Elementary Number Theory》（2nd），U.Dudley，2008
[15] 《Elementary Number Theory with Applications》（2nd），T.Koshy，2007
[16] 《Elementary Number Theory and Its Applications》（6th），K.H.Rosen，2010
几本不错的英文版入门书，内容比较基础但很丰富，偏应用。
