【集合论】 02 - 集合与自然数
1. 公理系统
先来看看康托尔对集合的定义:“一个集合是我们知觉中或理智中的、确定的、互不相同的事物的一个汇集,被设想为一个整体”。尽管康托尔本人已经建立起了相当广泛而深刻的集合理论,但对于集合本身的定义却还是含糊的,他的理论被称为“朴素集合论”(Native Set Theory)。虽然试图描述集合的每个属性,但其中“汇集”、“整体”等词其实是和“集合”等价的。定义的含糊使得各种悖论趁虚而入,这也成为反对者们的主要攻击目标。之后,策梅洛(Zermelo)为集合建立了一套公理化系统,并由弗兰克尔(Fraenkel)进行了扩充和修正,被称为ZF公理系统,包含选择公理(见下文)的ZF系统简称为ZFC系统。ZFC系统对集合的限制比较严格,后来由冯·诺伊曼(von Neumann)、哥德尔(Gödel)等人建立的GB公理系统则宽松很多,但这里仅介绍ZFC系统。
Zermelo(1871 - 1953) von Neumann(1903 - 1957) Gödel(1906 - 1978)
1.1 有限集
公理化系统中对原始概念不作定义,而只给出一些限定条件和定义,并在此基础上进行推理。同样,公理集合论中对集合不作定义,它是我们讨论的唯一对象。另外,集合间有未定义的基本关系:
【ZFC-1】外延公理(Atom of Extensionality):如果对任意
鉴于语言不方便也不精确,公理系统采用了一阶谓词逻辑的语言。使用
ZFC系统共10条公理,除去外延公理,其它9条都是对集合的限定,后续讨论的集合必须可以由这些公理构造。公理将集合限定在可控制的范围内,消除了悖论的产生,下面我们就从零开始,构建集合的大厦。
【ZFC-2】 空集公理(Atom of Empty Set):存在不含任何元素的集合。
空集公理承认不包含任何元素的集合是存在的,这样就避免了追究元素到底是什么。更重要的是,空集公理承认了至少有一个集合存在,有了这块砖,集合的大厦就有了基础。当然,根据外延公理,空集都是相等的,即空集是唯一的(这样的推论以后不再赘述),一般记作
有了一个集合,接下来可以构造包含1个元素、2个元素...的集合。它们的数量非常庞大,如何用尽量少的公理去构造它们?我们直接来看看ZFC系统是如何解决的:
【ZFC-3】偶集公理(Atom of Pairing):对任何集合
【ZFC-4】并集公理(Atom of Union):对任意集合
偶集公理开始对集合进行打包,构造更上层的集合,选择两个集合是因为1是无法扩展的,而且
有了这3个公理,任何有限集都可在有限步内构造完成,有限的世界已经没有什么秘密了。如果再加上交(
在向无穷集进发之前,我们需要休整一下,再了解几个今后有用的公理和概念。
【ZFC-5】幂集公理(Atom of Power Set):集合
【ZFC-6】子集公理(Atom Schema of Separation):存在满足给定条件的子集。
幂集构建了一个很大的上层集合,为子集公理提供了非常好的限制集,
Russell(1872 - 1970) Peano(1858 - 1932) Dedekind(1831 - 1916)
1.2 关系
数学处理的对象除了数之外,更多的是关系,而关系一般由有序对组成。集合中的元素是没有顺序的,需要为有序对(ordered pairs)建立模型。集合论中比较通用的有序对定义是:
关系的逆和复合已是我们熟悉的概念,它们分别记作
2.自然数
集合是数学的语言,而数学首先是研究数的,所以必须用集合为数下个定义。人们最初认识的是自然数(natural number),它有着非常简单的性质:“以0为起点,以1为步长依次排列”,所有自然数的运算都可以建立在这个简单的模型上。所以定义自然数不是一件难事,著名的皮亚诺公理系统(Peano)就为自然数建立了一个很好的模型,不过这里我们只介绍冯·诺伊曼用集合为自然数下的定义。
首先用
当然,我们需要用集合的语言重新描述一下,定义
【ZFC-7】无穷公理(Atom of Infinity):至少存在一个归纳集。
归纳集是我们构造的第一个无穷集,但要注意一个归纳集中可能含有自然数之外的的其它元素,需要剔除它们才能得到纯正的自然数集。当然,有了一个归纳集作为限制集,加上用子集公理可以这样定义自然数集:
接下来需要验证这样的自然数集是否合理,看看它与我们直观上认识的自然数集是否兼容。直观上的自然数集表现为一个有序序列,每两个自然数
类似于自然数的定义,有一种常见的递归序列
有了递推原理,就可以按如下递归的方法定义自然数上的运算,容易证明它们都是
(1)
(2)
(3)
归纳原理和递推原理都依赖于“前序数”,而自然数则更强调“后序者”,如果想扩展这两个原理,需要摆脱对“前序数”的依赖。一个简单而有效的做法就是依赖所有“前序数”,如同最小数定理的证明一样,我们可以关注它们的“后序者”(学完超限数,这些就更明白了)。由此可以得到更具一般性的第二归纳原理和第二递推原理:
第二归纳原理:自然数集合
第二递推原理:存在满足递归定义
至此,自然数已经被很好的定义和研究了,你甚至可以自己很轻松地定义整数(integer number)和有理数(rational number),它们都可以由自然数扩展得来。但实数(real number)的定义似乎并不是那么显然,而实数却又是那样的真实和重要,必须有一个好的模型才能使微积分有个坚实的基础,这就回到了集合论创立的初衷。历史上有两个优秀的实数模型,一个来自康托尔的战友戴德金(Dedekind),一个来自康托尔本人。戴德金分割(Dedekind cut)将一个实数定义为有理数集的一个分割,这个简单而有效的定义非常适合于实数运算。康托尔则用无穷有理数列定义实数,本质是将实数定义为实无穷。关于数系的内容,我打算另开专题,这里就不展开讲了。
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