【高等几何】05 - 射影几何

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1.【高等几何】01 - 古典与现代的结合2024-03-192.【高等几何】02 - 仿射几何2024-03-193.【高等几何】03 - 射影变换2024-03-194.【高等几何】04 - 射影结合公理2024-03-19

5.【高等几何】05 - 射影几何2024-03-19

6.【高等几何】06 - 一般仿射几何2024-03-19

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　　上一篇我们用一组结合公理在射影空间的直线上构建了代数域（体），并且将射影空间的元素用齐次坐标彻底代数化。本篇开始就让这个代数工具大显身手，进一步深入探究射影几何的诸多性质。

1. 射影几何

1.1 射影几何与交比

　　大部分教材绕开了结合公理，直接用线性空间定理射影几何，在方便理解的同时却丢失了数学的核心精神。但为了方便参阅，我们还是用线性空间的语言重新描述一下射影几何。记$V^{n+1}$为体$F$上$n+1$维线性空间，把其中的1维子空间称为点，$k+1$维子空间称为$k$维平面，特别地$2$维子空间称为线、$n$维子空间称为超平面、$V^{n+1}$本身称为$n$维射影空间${\mathbf{P}}^n$。线性子空间的包含关系$S\subset T$定义为点或平面间的结合关系，它可以衍生出几何元素的相交$S\cap T$、联合$S+T$、直和$S\oplus T$的概念。所有这些几何元素和几何关系构成了射影几何$\mathbf{P}(V)$。

• [练习] 设超平面$\pi$上有一组线性无关向量$\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\}$，则任意点$X\in \pi$满足方程$|X,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n|=0$。

　　基于这个定义，你可以很轻松地利用线性空间的维度关系证得基本的结合关系，而这些早在公理系统中已经被证明，故不再赘述。比如2维射影几何中，不同两点联合为一直线、不同两直线交于一点；3维射影几何中，两不同点联合为一直线，两不同平面交于一直线，两不同且相交直线联合成一平面，两不同共面直线交于一点，一点与不过点的直线联合为一平面，平面与不在其上的直线交于一点等。对于更复杂的结合关系，则需要借助线性空间的向量运算（线性相关），为此我们把向量（齐次坐标）$\overrightarrow{a}=(x_0,x_1,\cdots ,x_n)$所代表的点简写为$A=[a]$。向量$\{{\overrightarrow{a}}_1,\cdots ,{\overrightarrow{a}}_n\}$共面等价于它们线性相关，也就是说存在等式$\sum k_i{\overrightarrow{a}}_i=0$，比如三点$[a],[b],[c]$共线的条件是存在代表元使得$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=0$。

　　为了示范怎样通过向量运算讨论结合关系，我们就拿笛沙格定理为例子。假设三点形$ABC,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$对应点的连线交于点$P$，则可以选出代表向量使满足$\overrightarrow{p}={\overrightarrow{a}}^{\prime }-\overrightarrow{a}={\overrightarrow{b}}^{\prime }-\overrightarrow{b}={\overrightarrow{c}}^{\prime }-\overrightarrow{c}$。然后假定三条对应边$BC,AC,AB$分别交于点$L,M,N$，根据$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}={\overrightarrow{b}}^{\prime }-{\overrightarrow{c}}^{\prime }=\overrightarrow{l}$可知$[l]$同时在直线$BC$和$B^{\prime }{C}^{\prime }$上，所以$\overrightarrow{l}$就是$L$的代表向量。同样可以得到$M,N$的代表向量$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，综合便有$\overrightarrow{l}+\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=0$，它就是说$L,M,N$共线，笛沙格定理成立（逆定理反向构造）。类似的也可以有Pappus定理（需要在域上，以后总默认为域），只需熟练使用共线和相交的向量表示、并选择合适的代表向量，这些在公理系统里已有的命题就不再多说了。

　　要使得向量代数继续发挥威力，现在是时候来重新定义交比了，它将成为射影变换的核心不变量（更需要在域上）。只是在以线性子空间为基本元素的空间，交比一定也要转化为线性相关的某个度量值，比如向量的线性表出系数。另外为了兼容欧氏几何的交比定义，我们还是得回到欧氏空间中寻找答案，只是这一次要加上齐次坐标系。如图$X_0$轴是齐次坐标额外扩展的一个维度，超平面$x_0=1$则是要讨论的欧氏空间，设其上有共线三点$A=[a],B=[b],P=[a+\lambda b]$（避开无意义值）。从图中可以直观看出，单比$(ABP)={\displaystyle \frac{\lambda b_0}{a_0}}$，从而直线上四点$A=[a],B=[b]$和$C=[a+\lambda b],D=[\mu a+b]$的交比为$(AB,CD)=\lambda \mu$，这个值是射影几何中直线上点列的交比定义。

　　可见直线上点列的交比本质上就是向量的线性关系，这反过来可以做为单点线束的交比定义。试想射影空间里的共面单点线束$S(l_1,l_2,l_3,l_4)$，把它看成以$S$为零点的向量束，可以证明其线性相关系数之积$\lambda \mu$是任意直线截得点列的交比（参考下面“对偶原理”）。这个性质使得我们更有理由把一般线束的系数关系式作为直线上点列的交比定义，故2维平面上的交比性质是不证自明的：线束的不同透视点列的交比相同；点列的不同透视线束的交比也相同。顺便提一句，2维平面上直线如果选定$X,Y$轴为参考向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$，其向量可表示为$\overrightarrow{a}+k_i\overrightarrow{b}$（$k_i$为直线斜率），套用交比的定义不难算得斜率为$k_i$的四条直线的交比为式（1）。更多交比的讨论请参考“射影变换”章节。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (l_1{l}_2,l_3{l}_4)={\displaystyle \frac{(k_1-k_3)(k_2-k_4)}{(k_2-k_3)(k_1-k_4)}}\end{array}$$

1.2 射影变换

　　前面给出过射影对应的定义：保持同素性、关联性、交比不变性的一一映射，同一空间的自对应也叫射影变换（课本叫直射变换）。线性变换是线性空间的“本原”变换，它在用线性空间定义的射影几何中还可以是什么的样貌呢？我们来考察$V^{n+1}$中的线性变换$f$，它显然可以诱导出射影空间的一个几何变换$\phi (f)$，且保持同素性、关联性和交比不变性，所以$\phi (f)$就是射影变换。如果有$\phi (g)=\phi (f)$，可设$g(\overrightarrow{a})=\rho (\overrightarrow{a})f(\overrightarrow{a})$，然后分别讨论$g(k\overrightarrow{a}),g(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$不难得知$\rho$是一个固定值，所以$\phi (g)=\phi (f)$的充要条件是$g=\rho f$。下面还需证明，射影变换$\phi$总可以扩展为一个线性变换$f$，这样两者才能等价起来（课本直接使用后者）。

　　对于任意的射影变换$\phi$，我们来尝试叠加一系列诱导变换$\phi (f_i)$使其变成恒同变换。记${\phi }_0=\phi$为初始射影变换，$M_0=\varnothing$为初始的不变线性子空间，然后反复进行以下操作直至${\phi }_k=I,M_k=V^{n+1}$。设$M_i$有基向量组$A_i=\{{\overrightarrow{a}}_1,\cdots ,{\overrightarrow{a}}_i\}$，从$M_i$之外选择不同的向量$\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}$使得$\overrightarrow{q}={\phi }_i(\overrightarrow{p})$，构造线性变换$f_{i+1}$使得$f_{i+1}(\overrightarrow{p})=\overrightarrow{q}$，且在$\overrightarrow{p}$之外包括$A_i$在内的$n$个基上自对应。这样得到的变换${\phi }_{i+1}=\phi (f_{i+1}^{-1}){\phi }_i$在$M_{i+1}=M_i+\{\overrightarrow{p}\}$上是恒同变换，如果$M_k$再找不到新的$\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}$，则说明${\phi }_k$已经是恒同变换，$M_k$直接扩充至$V^{n+1}$。从${\phi }_k=\phi (f^{-1})\phi =I,(f=f_1\cdots f_k)$即可知，射影变换$\phi$即是诱导变换$\phi (f)$，它可以扩展为线性变换$f$。

　　以上证明过程还说明，任何射影变换$\phi$都可以拆分成一系列特殊变换的乘积$\phi (f_1)\cdots \phi (f_k)$，而$P=\phi (f_i)$总是某个超平面$H$上的恒同变换。记$\overrightarrow{c}$为$H$之外的一个向量，则空间任意向量可表示为$\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{c}+\overrightarrow{h}$，从诱导变换的角度不难得知$P([v])-[v]=[P(c)]-[c]=[a]$。也就是说$H$外的点与像的连线过定点$A=[a]$，即所有过$A$的直线变换为自身，由结合性不变性知$A$点就个不变点（可能在$H$上）。不难证明这样的不变点是唯一的，它被称为射影中心（简称射心），而射影变换$P$也被称为中心直射。以上论述放到一般的射影对应中也成立，即射影对应总可以分解为若干透视对应的乘积，这是2维平面透视对应的扩展结论。

　　1维射影变换虽然简单，但在后面的二阶曲线里会有重要应用，故这里补充一些基础结论。首先，不难写出1维射影变换的非齐次坐标（为计算方便）转换式$axy+bx+cy+d=0$，它可以由3组对应点唯一确定。在复数域直线上，变换有1个或2个不动点，当有两个不动点$A_1,A_2$时，根据齐次坐标的交比定义不难证明：任意其它变换点对$B,B^{\prime }$与不动点的交比$(A_1{A}_2,B,B^{\prime })$为定值，它称为这类1维变换的特征值。对合变换是一类特殊的1维射影变换，它一定有2个不动点，且特征值显然为$-1$。对合变换可以由2个固定点、或1个固定点和1组对合点、或2组对合点唯一确定，比较容易根据交比不变性写出变换方程。

1.3 对偶原理

　　在线性空间的定义下，射影几何还有一个非常有用的规则叫“对偶原理”，它可以解释并推广之前碰到的诸多“对称命题”。其本质在于线性空间中正交互补空间的一一对应，以及子空间的包含、相交、联合关系在对应下的转变规律。比如2维空间中的所有点与直线可以建立正交互补的一一对应，而3维空间中的点与平面、直线与直线也能建立这样的对应。然后对于空间中的一个命题（或推导过程的每一步），试想把其中的子空间$M$替换为其正交空间$M^0$，并同时把结合关系按式（2）作替换，则得到的新命题和原命题（或每一步推导）同时成立。比如笛沙格定理和它的逆定理就是一组对偶命题，证明其一就相当于证明了其二。相应的概念还有对偶元素、对偶图形、对偶作图等，比如线上的点列与过点的线束、完全四边形和完全四点形都是对偶图形。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& M\subset N\Rightarrow M^0\supset N^0;(M+N{)}^0=M^0\cap N^0;(M\cap N{)}^0=M^0+N^0\end{array}$$

　　但是正交互补的概念并不是对偶原理所必需的，我们现在换一个概念依赖少一点的说法。在线性代数中我们已知（参考“线性函数”），线性空间$V$的全体线性函数空间$V^{\ast }$也是线性空间，且它们互为“对偶空间”。所谓对偶空间是指各自存在一组基$\{e_i\}$和$\{e_i^{\ast }\}$，使得$e_i^{\ast }(e_i)=1$与$e_i(e_i^{\ast })=1$同时成立（其它值皆为0），从而对两空间的任意向量$\overrightarrow{x},\overrightarrow{f}$都有$f(x)=x(f)$，两者的地位对等。然后对$V$的任意子空间$M$考察集合$M^0=\{f\in V^{\ast },f(M)=0\}$，它显然是$V^{\ast }$的线性子空间，且根据对偶性不难有$M^{00}=M$，我们称$M,M^0$互为零化子空间。将$V,V^{\ast }$中的所有子集以此建立起一一对应，不难证明$\dim M+\dim M^0=\dim V$而且有结合关系式（2）。现在就可以和上面一样，在对偶空间$V,V^{\ast }$中描述对偶原理。

　　特别地，点和超平面互为对偶元素，设$V$中点$[a]$的对偶平面是$\pi \in V^{\ast }$，易知$\pi$上的任意点$\overrightarrow{x}$满足$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{x}=0$。超平面的方程系数就是它的对偶点向量，为书写方便以后就用向量指代超平面，它们显然也有加法和数乘运算，从而直线上点列对偶为共轴超平面（轴为直线的对偶子空间）。取共轴超平面$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\mu \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}$，假定任意直线$l$不在超平面上且分别与它们交于点$[r],[s],[{\mu }^{\prime }r+s],[r+{\lambda }^{\prime }s]$，容易算得${\mu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }=\mu \lambda$为定值。因此我们有理由把共轴超平面的交比定义为对偶点列的交比，它也等于任意透视直线上点列的交比。该结论适用于任何子空间的次高维共轴平面，比如任意2维平面上的共点线束就是最低维的共轴平面，它的交比定义和性质在此得到了严格证明。

2. 二阶曲面

2.1 共轭与配极

　　以上算是完整阐述了射影几何的核心概念和主要性质，我们从简单直觉的结合公理（或线性空间）出发构建出了一个完整的几何空间。但如果仅止于此，你可能觉得它的理论意义大于实际价值，除了能巧妙构思一些直线形问题外也无堪大用。不过你千万别忘记，当初我们可是受到圆锥曲线的启发而引出的射影概念，这些妖娆的二阶曲线才是射影几何真正大放光彩的地方！接下来我们要驶进快车道，感受本课程的高潮部分，洞察二阶曲面（线）在射影下的真面目。$n$维二阶曲面的一般方程是关于$x_i$的二次多项式，而它的齐次坐标方程则更简单，本质上就是我们熟悉的二次型方程${\overrightarrow{x}}^{\prime }A\overrightarrow{x}=0$。这又回到了线性代数的主战场，请务必回顾一下（对称）双线性函数的主要概念和结论，那将是剖析二阶曲面$\mathrm{\Omega }(A)$的利器。

　　需要注意的是，研究二阶曲面的性质可不光是解出曲面上点的坐标，而是要放眼整个空间去讨论各种几何元素与二阶曲面的关系。具体来说，我们要把二次方程回溯到对称双线性函数$f(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})={\overrightarrow{x}}^{\prime }A\overrightarrow{y}$，并把它视作线性空间的度量矩阵，二阶曲面$\mathrm{\Omega }$则像是空间的“零界”。正交是比较特殊的向量关系，而这种关系都能延展到整个子空间，因此也成为射影空间的特殊关系。空间中正交的两个点${\overrightarrow{a}}^{\prime }A\overrightarrow{b}=0$被叫做共轭点，显然二阶曲面$\mathrm{\Omega }$上的点都是自共轭点，而根子空间$V^{\perp }$都在$\mathrm{\Omega }$上，它们与任意点共轭，也被称为曲面上的奇点（退化的二阶曲面）。由于射影变换可以由线性变换诱导出来，那么它不会改变点的正交性，因此二阶曲面仍然变换为二阶曲面，且所有共轭相关的性质不变。

　　子空间$M$与$M^{\perp }$互为对方关于二阶曲面的极面，非退化二阶曲面的一对极面的维数显然互补为$\dim V$。子空间的简单结合关系$M\subset N\iff M^{\perp }\supset N^{\perp }$被称为配极原则，它陈述了相结合的元素之间极面的结合关系。特别地，空间中的所有点和超平面以配极关系建立一一对应$\overrightarrow{a}\leftrightarrow A\overrightarrow{a}$（非退化），由线性关系不难看出，共线点的交比等于对应极面的交比，这样的对应关系也叫配极对应。如果选一个极点不在其上的直线$l$，上面点列$A,B,C,\cdots$的极面束又与$l$相交于新的点列$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },\cdots$，这个两个点列的对应显然是一个对合变换（二阶曲面与$l$的两个交点为不动点），直线上的这种关系也叫配极变换。

2.2 直线与曲面

　　另外，如果一对极面有公共点$M\cap M^{\perp }=G\ne 0$，则称平面$M$与二阶曲面相切于$G$。特别地，一点$P=[p]$关于非退化二阶曲面的极面$f(\overrightarrow{a},\overrightarrow{x})=0$是一个超平面${\pi }_p$，如果$P\in \mathrm{\Omega }$则${\pi }_p$与$\mathrm{\Omega }$相切于$P$。下面来研究直线$l=\{\mu \overrightarrow{p}+\lambda \overrightarrow{q}\}$与二次曲面$\mathrm{\Omega }$的关系，将直线表达式带入曲面方程得到式（3），其中$S_{pq}=f(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q})$。为了在讨论中获得更完整的视角，以下将$V$延拓到代数闭域上（比如复数域），而实数域仅作为特例捎带阐述。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& S_{pp}{\mu }^2+2S_{pq}\mu \lambda +S_{qq}{\lambda }^2=0\end{array}$$

　　设点$P=[p]$为$\mathrm{\Omega }$之外的一点，然后取$Q=[q]$为$l$与极面${\pi }_p$的交点，这时式（3）中$S_{pp}\ne 0,S_{pq}=0,\lambda \ne 0$，方程简化为二次方程$S_{pp}{\displaystyle \frac{{\mu }^2}{{\lambda }^2}}+S_{qq}=0$。如果$Q$不在$\mathrm{\Omega }$上（$S_{qq}\ne 0$），则$l$与$\mathrm{\Omega }$相交于另外两个不同的点$M_1,M_2$，这时$l$不与$\mathrm{\Omega }$相切（$l\cap l^{\perp }=\varnothing$）。由方程两根满足${\displaystyle \frac{{\mu }_1}{{\lambda }_1}}+{\displaystyle \frac{{\mu }_2}{{\lambda }_2}}=0$，可知$(M_1{M}_2,PQ)={\displaystyle \frac{{\mu }_1}{{\lambda }_1}}\cdot {\displaystyle \frac{{\lambda }_2}{{\mu }_2}}=-1$，即点$P,Q$与$M_1,M_2$总是一对调和点。另外如果$Q$在$\mathrm{\Omega }$上（$S_{qq}=0$），则$Q$也是$l$与$\mathrm{\Omega }$的唯一重合交点，这时$l$与$\mathrm{\Omega }$相切于点$Q$。

　　将以上两段论述对应到2维平面上的非退化二阶曲线$\mathrm{\Omega }$，可以有更直观具体的结论。首先，点的极面是直线、直线的极面是点，它们也分别叫极点和极线。配极原则是说：如果直线$l$经过点$A$，那么$l$的极点在$A$的极线上。并可以简单推导出：直线束$S$的所有极点都在$S$的极线上，直线$l$上所有点的极线都经过$l$的极点。然后，曲线外一点$P$的极线$l$与$\mathrm{\Omega }$交于两个不同切点$S,T$，则直线$PS,PT$都是$\mathrm{\Omega }$的切线。其它直线$PQ,(Q\in {\pi }_p)$总与$\mathrm{\Omega }$相交于另外两个不同点$M_1,M_2$，且有$(M_1{M}_2,PQ)=-1$。特别地，过曲线上任意点$Q=[q]$的切线方程是$f(\overrightarrow{q},\overrightarrow{x})=0$，它就是$Q$的极线，切线上面其它点的极线必经过$Q$。

　　看到四点调和，让我们不禁想到完全四点型，而后者可以直线作图调和点。在非退化二阶曲线上任取四点并构造完全四点形，根据调和性不难证明直线$YZ$是点$X$的极线，这说明$X,Y,Z$三点互为共轭点。这个性质可以帮助我们作出曲线外一点的极线，然后利用配极原理可作出任意直线的极点，进而还能作出二阶曲线过任意给定点（外或上）的切线。三个点如果互为共轭点（比如$X,Y,Z$），也称为自极三点形，它在获取二阶曲线标准型上有妙用。如果以自极的三点$A_0,A_1,A_2$为坐标系标架（总可以选到），坐标单位向量$A_i,A_j$共轭的意思就是$a_{ij}=a_{ji}=0$，从而二阶曲线立即被简化为$\sum a_{ii}{x}_i^2=0$。$A$的秩为3时，曲线可能是实圆或虚圆；秩为2时曲线退化为单点或两条相交直线；秩为1时又退化为一条直线。

2.3 二阶曲线的射影定义

　　2维平面上的二阶曲线还有高维二次曲线所没有的重要性质。考察平面上一对射影对应的线束$\alpha +{\lambda }_i{\beta }_i=0$（$\alpha$为中心$S_1,S_2$连线，$\alpha ,\beta$为列向量），由交比不变性不难推知，对应参数满足二次方程$a{\lambda }_1{\lambda }_2+b{\lambda }_1+c{\lambda }_2+d=0$（简化对应会丢失信息）。消除参数${\lambda }_i$便可以得到对应直线的交点轨迹，最终整理成式（4）的二次型方程，它显然是一个二阶曲线。注意点$S_1,S_2$在二阶曲线上，结论总结为：平面上射影对应的线束相交得到一条过两个中心的二阶曲线，该结论称为Steiner定理。注意到式（4）中矩阵$A$的秩最高只能到3（3个一维向量的线性和），所以结论在更高维空间只能得到退化的二阶曲面，不具有讨论价值。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& x^{\prime }[a\alpha {\alpha }^{\prime }+\alpha (b{\beta }_2^{\prime }+c{\beta }_1^{\prime })+d{\beta }_1{\beta }_2^{\prime }]x=x^{\prime }Ax=0\end{array}$$

　　反之，对于非退化二阶曲线$\mathrm{\Omega }$（退化的情况单独讨论），选择没有三点共线的5个点$S_1,S_2,A,B,C$，而由二阶曲线的方程可知它们确定了唯一的二阶曲线。然后以$S_1,S_2$为中心建立唯一的射影对应$S_{i}A,S_{i}B,S_{i}C$。由Steiner定理可知，对应交点的轨迹是一条经过这5点的二阶曲线，由曲线唯一性便知它就是$\mathrm{\Omega }$。这个逆定理是说，以二阶曲线$\mathrm{\Omega }$上的任意两点$S_1,S_2$为中心，与$\mathrm{\Omega }$上的所有点的连线（重合为切线）是射影对应的线束。考察平面上与$A,B,C,D$（无三点共线）连线的交比为定值${\lambda }_0$的所有点$S_i$，不难证明$S_i$都在$S_0,A,B,C,D$所确定的二阶曲线上，这个性质也非常适合做二阶曲线的定义。

• [练习] 证明一般二阶曲线上的蝴蝶定理。

　　射影定义可以得到二阶曲线相关一些点线关系。考察非退化二次曲线$\mathrm{\Omega }$上的六边形$A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$，分别以$A_1,A_3$为线束中心并连接其它四点，然后把这两个射影对应的线束分别透视到直线$A_5{A}_4$和$A_5{A}_6$上（交比相等）。记六边形三条对边的交点分别为$L,M,N$，其中点$N$确定了两条直线的透视对应，由交比相等可证得$L,M,N$共线。这个结论就是著名的帕斯卡（Pascal）定理（Puppus定理是它的特殊形式），直线$LMN$也叫Pascal线，不难证明其逆定理也成立（六点共曲线）。定理证明中使用的是线束的射影对应，而其中的直线可取曲线的切线，这时某些点就会重合起来，但并不影响定理成立。下图列举了几个比较有用的特殊情况，它们都是二阶曲线的重要性质。

• [练习] 给定五个点（无三点共线），作图这五点确定的二阶曲线。

2.4 二级曲线

 　　二阶曲线的射影定义还说明，所有二阶曲线相关的结论、性质都可以照搬到对偶空间中，我们来看看点线对换之后能带来怎样的性质。首先平面上满足${\alpha }^{\prime }B\alpha =0$的直线组成了二级曲线$\mathrm{\Theta }(B)$，且所有直线以$g(\alpha ,\beta )={\alpha }^{\prime }B\beta$为度量函数，在正交关系下也能产生共轭直线、极点极线、射影不变、配极原则等基本性质。过空间中任意点$S$的线束，其中必有两条$l_s,m_s$（可重合）在二级曲线上。如果点$S$不在极线$l$上，则以$l$上任意点$P$为中心的线束$l,SP,l_p,m_p$是调和的；如果点$S$在极线$l$上，那么$l$就在二级曲线上，$l$上所有点的极线都经过$S$。容易验证，非退化二次曲线$\mathrm{\Omega }(A)$上所有点的切线组成了二级曲线$\mathrm{\Theta }(A^{-1})$，反之亦然。$\mathrm{\Theta }(A^{-1})$称为$\mathrm{\Omega }(A)$的包络（不是对偶！），往后将二者统称为二次曲线。

• [练习] 阐述自极三点形的对偶命题：二级曲线的四条切线构成的完全四线形，其对顶三角形是自极三线形。

　　类似地，二级曲线也有其射影定义：两条射影对应的直线上对应点的连线组成了二级曲线，或者与四条直线（无三条共点）交点的交比为定值的所有直线组成二级曲线，非退化的二级曲线可以由五条直线唯一确定（无三条共点）。继而帕斯卡定理的对偶定理叫布利安桑（Brianchon）定理，即非退化二级曲线上任意六线形$a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6$的对顶点连线共点（如下图），该点也称Brianchon点。Brianchon逆定理也成立，它可以用来判断六条直线外切于同一二阶曲线。同样地，某些直线重合时定理仍然成立，这时直线重合、交点变成了重合直线与曲线的切点。下图列举了定理的几个特殊情况，它们也都是二阶曲线的重要性质。

• [练习] 求证：椭圆的两个内接三角形同时外切另一个椭圆

　　至此，我们快速浏览了射影几何的基本性质，尤其是它在二次曲线上的亮眼表现。你大概能感受到，线性空间定义下的射影几何，一切性质都那么古朴优雅。代数虽然是核心，但它丝毫没有抢综合推理的风头，反而使得综合法更加得力和从容。下面我们把这个优势继续发挥下去，用全新的视角再次打开仿射几何与欧氏几何，畅想还能有怎样的发现！