【高等几何】04 - 射影结合公理

合集 - 高等几何(6)

1.【高等几何】01 - 古典与现代的结合2024-03-192.【高等几何】02 - 仿射几何2024-03-193.【高等几何】03 - 射影变换2024-03-19

4.【高等几何】04 - 射影结合公理2024-03-19

5.【高等几何】05 - 射影几何2024-03-196.【高等几何】06 - 一般仿射几何2024-03-19

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　　上一篇我们扩展了仿射空间，并在其上定义了交比和射影变换。同素性和关联性是射影不变性，（点列和线束）交比是射影不变量，现在我们就要以这些射影性质为启发，抽象并构建新的几何空间。但这一次要做得更彻底，不同于仿射几何对于欧氏几何做减法，我们要从零开始建立射影几何，并顺带推广仿射几何与欧氏几何。是的，你将不再受困于三维空间和实数域，而是以最自由开放的方式重建几何空间。现在开始我们才正式进入课程的正题，请先自备一点抽象代数以及线性代数的知识。

1. 射影公理

1.1 结合公理

　　几何公理的建立仍然要从基本元素和基本关系定义起。同素性中的“素”就是要讨论的几何对象（基本元素），为了不拘泥于三维空间，我们把基本元素定义为$n$个集合$G_0,G_1,\cdots ,G_n$。其中$G_0$的元素称为点，$G_k,(k>0)$的元素称为$k$维平面，特别地$G_1$的元素也叫线，$G_{n-1}$的元素称为超平面。注意这里的点线面只是一些名称，并不能与直觉几何的名称混淆（虽然有一定联系）。关联性中包含的情况看似比较多，但其实可以由一个基本关系延伸出来，它仅存在于两个不同集合的$a\in G_p,b\in G_q,(p<q)$元素之间。如果关系存在，则称$a$结合于$b$，记作$a\subset b$（也只是一个记号），它也可以表述为“$a$在$b$上”或“$b$通过$a$”。

　　以上关于元素和结合关系定义，与希尔伯特公理非常相像（只是维度更自由），但为了能限定高维平面的内涵，还需要借助线性代数的思想。当某$p+1$个点$A_0,A_1,\cdots ,A_p$不能同时在一个维数小于$p$的平面上时，则称它们是线性无关的，否则就是线性相关的。现在就可以在基本元素和基本关系下，限定一组公理以构建新的几何空间，其中每一条都要是简洁且必要的。我将课本的公理条目重新做了编排，为的是更有层次和递进感：第一组是说结合关系的传递性；第二组以线性无关点确定新的平面，以及平面间的结合关系；第三组描述了平面之间的公共点；第四组则限定了元素数量。这组公理所描述的几何（元素和关系）就称为$n$维射影几何$\mathbf{P}$，$G_n$中唯一元素$V$也叫$n$维射影空间${\mathbf{P}}^n$。

  $I.$ 射影结合公理

      $I_1$ 如果$a\subset b,b\subset c$，则有$a\subset c$；

      $I_{2.1}$ 任何$p+1$个线性无关的点确定唯一$p$维平面（存在唯一$p$维平面经过它们）；

      $I_{2.2}$ 如果平面$b$包含线性无关点组$\{A_0,A_1,\cdots ,A_p\}$，且点组确定$p$维平面$a$，则有$a\subset b$；

      $I_{3.1}$ 如果平面$a,b$上各有线性无关点组$\{A_0,A_1,\cdots ,A_p\}$和$\{B_0,B_1,\cdots ,B_q\}$，且它们的并集线性相关，则$a,b$至少有一个公共点；

      $I_{3.2}$ 同一个二维平面上的两条直线$a,b$必有一个公共点；

      $I_{4.1}$ 每个$p$维平面至少有$p+1$个线性无关点，每条直线上至少有三个不同点；

      $I_{4.2}$ 存在唯一的一个$n$维平面$V$。

　　仅凭以上公理便可得到一些基本的几何命题，这里仅作罗列阐述，请自行证明。比如两点确定一条直线；直线和直线外一点确定一个平面；给定$k$维平面$a$和平面外一点$A$，则存在唯一的$k+1$维平面$b$经过$A,a$。一组线性无关点集$\{A_0,A_1,\cdots ,A_p\}$，其中任意$k+1,(k>0)$个点也是线性无关的（反证）。一个$p$维平面和所有与之结合的元素，可以构成一个$p$维射影几何，该平面代表的射影空间也称为$V$的子空间。平面上两直线有唯一交点；如果直线$l$不经过超平面$\pi$，则$l,\pi$有唯一公共点；3维射影（子）空间中，（2维）平面与不在其上的直线有唯一交点。两个超平面至少交于一条直线；3维射影（子）空间中，两个平面总交于一条直线。

1.2 笛沙格定理

　　在3维（子）射影空间中，还有一个非常重要的命题。考察以$O$为射心、对两个平面$\alpha ,\beta$的透视模型，并假定有三点形射影对应$ABC$-$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$。由于$\alpha ,\beta$的相交线$l$（透视轴）是透视自对应的，所以三点形的三条对应边都相交、且交点$X,Y,Z$都在$l$上，这就是空间的笛沙格（Desargues）定理。如果两个三点形在同一平面（对应边不共线），且仍然以平面上的$O$为透视中心，任选平面外直线$OD{D}^{\prime }$，并记$D,D^{\prime }$与三对点的交叉点$A^{″},B^{″},C^{″}$。先对异面三点形$ABD,A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$使用笛沙格定理，得到对应边的交点$A^{″},B^{″},Z$共线，同理也有$A^{″},C^{″},Y$共线和$B^{″},C^{″},X$共线。这时以$D$为射心对三点形$ABC,A^{″}{B}^{″}{C}^{″}$使用空间笛卡尔定理，便能得到$X,Y,Z$共线，该结论就是平面的笛沙格定理。

　　要特别注意的是，平面笛沙格定理一定要在3维射影空间中才能被证明，换句话说，如果仅有2维射影结合公理是无法推导出这个定理的，而必须将其引入为公理才能继续后面的讨论。另外你可以自己证明，笛沙格逆定理也成立：如果三点形对应边相交、且交点共线，那么三个对应点的连线共点，后面我们会从对偶的视角轻松证明它。笛沙格定理及其逆定理是平面几何中的重要点线关系，结合无穷远直线，便得以全新的视角看待平面几何中的经典结论。尤其是逆定理，可以意外轻松地解决某些共点问题，比如以三角形及其三边中点为一对三点形，无穷远直线便是它们的透视轴，逆定理表明存在透视中心，也就是说三条中线交于一点。请练习证明以下命题：

• [练习] 试证：任意四边形的两条对边中点连线、以及对角线中点连线相交于一点。

　　有一件事希望你能注意到，共点还是共线其实取决于你的视角，同样是三线$a,b,c$共点，换个视角就是$a,b$的交点共于直线$c$上。再举一个后面会用到的例子，考察射心$S$到直线$l,l^{\prime }$的透视对应$ABC$-$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$，并获得交叉点$R,T$。易知$\mathrm{△}A{A}^{\prime }R$和$\mathrm{△}B{B}^{\prime }T$三对应边交点共线，从而三对应点连线共点，也就是说$O,R,T$共线。反之如果仅有透视对应$AB$-$A^{\prime }{B}^{\prime }$，在直线$OR$上任取点$T$并获得点$C,C^{\prime }$，也可知$S,C,C^{\prime }$共线。值得一提的是，$ORT$其实是透视对应下的Puppus线（但没有用到Puppus定理），证明中是比较常用的基本模型。

2. 射影代数

2.1 直线上的加法

　　射影结合公理对应的是射影变换的同素性和关联性，现在则需要考虑交比不变性，而前提又是将直线上的点代数化。这次我们不能像仿射几何那样直接赋予点一个实数，而是要借助已有性质逐步建立代数系统，并以合适的方式引入交比不变性。不可思议的是，笛沙格定理看似普通的关联定理，却可以帮助我们搭建比较完备的代数系统。以下我将仿照之前《几何基础》中的“笛沙格几何”一章，建立直线上的域结构，然后扩展到高维空间的非齐次坐标系，最终建立射影几何的齐次坐标系。推导过程中抛弃了课本[1]的运算定义、以及并不严谨的构建逻辑，以我自己的理解尽量做到逻辑自洽。如发现有不合理之处，恳请赐教！其实你可以尝试证明，这里的加法、乘法运算和教材上是等价的，不过更加直观而且便于使用。

　　首先由于直线$l$上至少有三个不同点，不妨把它们记作$0,1,u$，目的是对应仿射坐标的原点、单位点、无穷远点。任取另一条过$0$的直线$m$并同样选定单位点、无穷远点，相应三点可构造唯一的透视对应$S$。两直线的透视对应点视作相同的“数”。下面就在两条直线上同时建立代数同构的域。如上图在两直线上分别取点$a,b$，交点$P$引出的直线与$l,m$的交点分别定义为$a+b,b+a$。这个定义虽然直观，但良性的定义还要求交换$a,b$位置后交点相同，下图中先有Pappus线$0RT$，然后对$\mathrm{△}RA{A}^{\prime }$和$\mathrm{△}TC{C}^{\prime }$使用笛沙格定理，即有$S,P,P^{\prime }$共线。这就同时为两条直线定义了加法，且右图证明了加法满足交换律。接下来请自行证明$0$为加法单位元，并且对任意点$a$都存在逆元$-a$（构造法），最后再挑战一下加法结合律$(a+b)+c=a+(b+c)$，最终证得直线上的加法构成一个Abel群。

　　当然严格的加法应该从给定的直线$l$、及选定的基础点$0,1,u$开始定义，并且任意点$a,b$的加法$a+b$应当是直线上的固定点，而与其它辅助元素的选取无关。现在再另选一条直线$m^{\prime }$（它可能不在平面$lm$上），类似地得到交点$P^{\prime }$，要证明的是$SP,S^{\prime }{P}^{\prime }$相交于直线$l$的同一点$a+b$。先对$\mathrm{△}SMN$和$\mathrm{△}{S}^{\prime }{M}^{\prime }{N}^{\prime }$使用笛沙格逆定理，得到$S{S}^{\prime },M{M}^{\prime },N{N}^{\prime }$三线共点，同样可知$P{P}^{\prime },M{M}^{\prime },N{N}^{\prime }$三线共点，从而$S{S}^{\prime },M{M}^{\prime },P{P}^{\prime }$三线共点，对$\mathrm{△}SMP$和$\mathrm{△}{S}^{\prime }{M}^{\prime }{P}^{\prime }$使用笛沙格定理便证得结论。这说明加法的定义是由给定直线和基本点确定的，不依赖辅助元素的选取，并且直观上兼容仿射空间（欧氏空间）的加法定义。另外值得一提的是，加法定义并没有用到单位点$1$，因此射心$S$可以随意选择。

2.2 直线上的乘法

　　现在来定义直线上点的乘法。还是以相交直线$l,m$以及$0,1,u$确定的透视对应$S$为基础，在两直线上分别取点$a,b$，连接$1,a$得到点$T$，$bT$与$l$的交点定义为$ab$。注意乘法定义天然是不对称的，良性的定义还要求交换$a,b$位置后在$m$上也得到$ab$，即要证明下图中$S,C,C^{\prime }$共线。先对$\mathrm{△}{11}^{\prime }J$和$\mathrm{△}A{A}^{\prime }K$使用笛沙格逆定理，得到$0,J,K$共线，根据Pappus线的特点即得$S,C,C^{\prime }$共线。接下来需要你自行证明点$1$是乘法的单位元，以及对任意点$a$都存在逆元$1/a$，然后再挑战一下乘法的结合律、还有与加法的分配律。最后针对给定直线和基本点，还需要证明$ab$不依赖$m$的选取（与加法雷同），是直线上的确定点。最终，直线上的点在乘法下是一个除环（没有交换律），结合加法的交换群便构成了“体”的代数结构。

　　而事实是，乘法交换律的确不能由以上公理证明，需要另外引入公理。如果图中的乘法交换律成立，就是说$S,C,C^{\prime }$共线，这就要$1B^{\prime }{T}^{\prime }$-$TA{1}^{\prime }$对应的Pappus命题成立。回顾上一篇的仿射空间，Pappus定理是利用射影对应证明的，关键用到了射影的交比不变性。这时我们才恍然大悟：Pappus命题其实就是交比不变性在射影几何的真身，我们必须依赖它间接地引出交比的概念（射影几何对直线度量的唯一限制）！因此以下把2维射影空间的笛沙格命题和Pappus命题都补充进来，以获得射影结合公理的完整体。这样在2维及以上的射影几何中，直线上任选三点$0,1,u$都能构建一个代数“域”了，这个域（体）帮助我们建立了直线上的坐标系。

  $I.$ 射影结合公理（可选）

      $I_{5.1}$ 2维射影空间中，笛沙格命题成立（为了2维空间的代数运算）；

      $I_{5.2}$ 2维平面中，Pappus命题成立（为了乘法交换律）。

3. 空间坐标系

3.1 非齐次坐标

　　以上加法和乘法的定义，采用了更加直观可用的视角，你可以轻松地在图上作出$a-b$和$a/b$。另外其实还同时为两条相交直线定义了透视同构的域（体）结构，这将方便我们建立空间坐标系。现在延续仿射坐标系的构建方法，只是需要额外增加点$u$作为“无穷远点”，因此要事先选取$n+1$个线性无关点$A_i$，其中$A_0$作为原点、$A_i$充当不同直线的$u_i$。从直线上总存在第三点开始，可以归纳证明空间中存在一个单位点$E$，它与任意$n$个$A_i$都线性无关。空间单位点$E$可以确定$n$条坐标轴上的单位点，方法是取经过$E$以及其它$n-1$个$A_j$的超平面与轴$A_0{A}_i$的交点$E_i$。

　　先分别以$A_0,E_1,A_1$为原点、单位点、无穷点建立直线坐标系，然后透视对应到其它轴$A_0{E}_i{A}_i$上，并记透视中心为$S_i(i>1)$。然后对于空间的任意点$P$，可以像$E$一样找到它在坐标轴上的投影$P_i$，$P_i$的坐标$x_i$组合成了点$P$的非齐次坐标$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$。空间坐标系虽然建成，但还有一个隐患需要清扫，就是轴$A_0{A}_1$的位置太特殊，这会影响后面的推理。对$\mathrm{△}{E}_1{E}_i{E}_j$和$\mathrm{△}{A}_1{A}_i{A}_j$使用笛沙格定理，证得$S,S_i,S_j$共线，然后对任意透视点$P_1,P_i,P_j$，同样可以得到$P_i{P}_j$经过$S$。这就是说坐标轴$A_0{A}_i$和$A_0{A}_j$的相应数是点$S$的透视对应，坐标轴两两透视对应，它们的位置是对等的。

　　非齐次坐标系兼容了仿射坐标系，但却有一个致命缺点，就是空间里某些点没有坐标，而这些点在射影空间并不是特殊的。所谓$P$没有坐标，是说$P$与其它$n-1$个$A_j$的超平面交坐标轴$A_0{A}_i$于点$A_i$，所以$P$在$n$个点$\{A_1,\cdots ,A_n\}$所确定的超平面$\pi$上，反之亦成立。这个超平面在仿射空间就是无穷远平面，但在未选定坐标系的射影空间只是一个普通超平面，非齐次坐标显然不是最合适的代数工具。但令人欣喜的是，我们在$n$维射影空间建立非齐次坐标，却能为其中的超平面（$n-1$维射影空间）建立完美坐标系。以$\pi$为例，其上的每一点$P$都与$0$点确定了一条直线，继而$\pi$上的每个$k$维平面都与$0$确定了一个$k+1$维平面，这就启发我们用这些过$0$点的平面等价研究超平面$\pi$。

3.2 超平面方程和齐次坐标

　　非齐次坐标构成了域（体）$F$上的$n$维线性空间$V$，在欧氏空间中过$0$的直线和平面分别对应$F$的1维和2维子线性空间，然而在射影空间里，这个结论并不是天然成立的。从坐标的定义出发好像只能证明，在某些维度全为0的点构成的线性子空间可以组成特定平面（比如坐标轴平面），我顶多还能证明$A_0{A}_i{A}_j$中的过$0$直线对应1维子线性空间，然后就束手无策了（教材对这个关键一环表述不严谨）。最终我还是找到了一个比较靠谱的证明思路，就是先推导出超平面的线性方程是$a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=C$，其它平面方程由超平面相交得到。对于过$0$平面，先根据方程得知超平面上的点是$k-1$维线性子空间，而它们相交便得到其它平面（线性子空间）。

　　超平面方程的获得，得利于加法、乘法的直观定义以及归纳法。先来看2维平面的直线方程，如图令直线$l$分别交两轴于点$A(a),B(b)$，则点$N$指明了“斜率”${\displaystyle \frac{b}{a}}$。对直线上的任意点$P(x,y)$，先获得两轴上${\displaystyle \frac{b}{a}}x$的对应点$C,D$，然后对$\mathrm{△}PXN$和$\mathrm{△}YDC$使用笛沙格定理得知$S,B,E$共线。这样便得到2维平面的直线方程${\displaystyle \frac{b}{a}}x+y=b$或${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=1$，综合各种特殊情况（请自行补充）更应该写成直线方程的一般式$bx+ay=c$。以此为基础，可以递归推导出$n$维空间的超平面方程。

　　为了描述方便，现在以3维空间为例，建立（2维）平面的一般方程。设平面${\pi }_0$与三轴的交点分别为$a,b,c$，取平面上的任意点$P(x_0,y_0,z_0)$，设平面$PXY$与${\pi }_0$相交于直线$MN$。然后以$Z$为射心将$MN$透视对应到平面$OXY$上，并获得交点$E,F$，点$E$就是$M$在$Y$轴的坐标，利用直线$bc$和平面$PXY$的方程可算得$E=b(1-{\displaystyle \frac{z_0}{c}})$。同样也能算得$F=a(1-{\displaystyle \frac{z_0}{c}})$，并计算整理得到直线$EF$的方程${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=1-{\displaystyle \frac{z_0}{c}}$。然而注意到$EF,P,Z$共面，可知点$(x_0,y_0)$就在直线$EF$上，最终得到平面${\pi }_0$的方程${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}+{\displaystyle \frac{z}{c}}=1$。

　　这样就完成了我们的最初设想：$n$维射影空间中，过$0$的每条直线上所有点的坐标，正好组成域（体）$F$上$n$维线性空间$V$中的一个1维子空间；而过$0$的$k+1$维平面上所有点的坐标，正好组成$V$中的一个$k$维子空间。并且$V$的子空间的包含关系正好对应平面的结合关系，这就提示我们把$V$所有子空间对应到射影空间的一个超平面上（比如无穷远平面$\pi$），然后用线性空间$V$代替讨论这个超平面，彻底完成射影空间的代数化。也就是说讨论射影空间${\mathbf{P}}^n$时，先把它放进高一维射影空间${\mathbf{P}}^{n+1}$，然后将${\mathbf{P}}^n$上任意一点$P$，用直线$OP$所代表的1维线性子空间表示。

　　由于1维子空间上点的坐标是成比例的，我们只需采用其中一个$(x_0,x_1,\cdots ,x_n)$来代表它，而它也被称为$P$的齐次坐标，并区分记作$P=[x_0,x_1,\cdots ,x_n]$。射影空间的每个点都有齐次坐标，它是讨论射影几何的完美代数工具。但是为了兼容仿射坐标，我们选择将${\mathbf{P}}^n$放在$x_0=1$位置，以建立齐次坐标和非齐次坐标的关联。如图$S$是$OY,OZ$的透视中心，然后以$X$为透视中心分别将$OY,OZ$透视到$1Y,1Z$上，利用$\mathrm{△}ABX$和$\mathrm{△}YZ1$不难证明$S,C,D$共线。所以$1Y,1Z$上的坐标也是透视对应的，它们可以直接做为平面$1YZ$上的坐标。放到${\mathbf{P}}^n$里就是说，点$P=[x_0,x_1,\cdots ,x_n]$的非齐次坐标正好是$({\displaystyle \frac{x_1}{x_0}},\cdots ,{\displaystyle \frac{x_n}{x_0}})$。

　　最后做为练习请考虑，非齐次坐标下怎样判断$k+1$个点共于同一个$k$维平面？（从齐次坐标线性关系推导）