【高等几何】04 - 射影结合公理
上一篇我们扩展了仿射空间，并在其上定义了交比和射影变换。同素性和关联性是射影不变性，（点列和线束）交比是射影不变量，现在我们就要以这些射影性质为启发，抽象并构建新的几何空间。但这一次要做得更彻底，不同于仿射几何对于欧氏几何做减法，我们要从零开始建立射影几何，并顺带推广仿射几何与欧氏几何。是的，你将不再受困于三维空间和实数域，而是以最自由开放的方式重建几何空间。现在开始我们才正式进入课程的正题，请先自备一点抽象代数以及线性代数的知识。
1. 射影公理
1.1 结合公理
几何公理的建立仍然要从基本元素和基本关系定义起。同素性中的“素”就是要讨论的几何对象（基本元素），为了不拘泥于三维空间，我们把基本元素定义为\(n\)个集合\(G_0,G_1,\cdots,G_n\)。其中\(G_0\)的元素称为点，\(G_k,(k>0)\)的元素称为\(k\)维平面，特别地\(G_1\)的元素也叫线，\(G_{n-1}\)的元素称为超平面。注意这里的点线面只是一些名称，并不能与直觉几何的名称混淆（虽然有一定联系）。关联性中包含的情况看似比较多，但其实可以由一个基本关系延伸出来，它仅存在于两个不同集合的\(a\in G_p,b\in G_q,(p<q)\)元素之间。如果关系存在，则称\(a\)结合于\(b\)，记作\(a\subset b\)（也只是一个记号），它也可以表述为“\(a\)在\(b\)上”或“\(b\)通过\(a\)”。
以上关于元素和结合关系定义，与希尔伯特公理非常相像（只是维度更自由），但为了能限定高维平面的内涵，还需要借助线性代数的思想。当某\(p+1\)个点\(A_0,A_1,\cdots,A_p\)不能同时在一个维数小于\(p\)的平面上时，则称它们是线性无关的，否则就是线性相关的。现在就可以在基本元素和基本关系下，限定一组公理以构建新的几何空间，其中每一条都要是简洁且必要的。我将课本的公理条目重新做了编排，为的是更有层次和递进感：第一组是说结合关系的传递性；第二组以线性无关点确定新的平面，以及平面间的结合关系；第三组描述了平面之间的公共点；第四组则限定了元素数量。这组公理所描述的几何（元素和关系）就称为\(n\)维射影几何\(\mathbf{P}\)，\(G_n\)中唯一元素\(V\)也叫\(n\)维射影空间\(\mathbf{P}^n\)。
\(I.\) 射影结合公理
\(I_1\) 如果\(a\subset b,b\subset c\)，则有\(a\subset c\)；
\(I_{2.1}\) 任何\(p+1\)个线性无关的点确定唯一\(p\)维平面（存在唯一\(p\)维平面经过它们）；
\(I_{2.2}\) 如果平面\(b\)包含线性无关点组\(\{A_0,A_1,\cdots,A_p\}\)，且点组确定\(p\)维平面\(a\)，则有\(a\subset b\)；
\(I_{3.1}\) 如果平面\(a,b\)上各有线性无关点组\(\{A_0,A_1,\cdots,A_p\}\)和\(\{B_0,B_1,\cdots,B_q\}\)，且它们的并集线性相关，则\(a,b\)至少有一个公共点；
\(I_{3.2}\) 同一个二维平面上的两条直线\(a,b\)必有一个公共点；
\(I_{4.1}\) 每个\(p\)维平面至少有\(p+1\)个线性无关点，每条直线上至少有三个不同点；
\(I_{4.2}\) 存在唯一的一个\(n\)维平面\(V\)。
仅凭以上公理便可得到一些基本的几何命题，这里仅作罗列阐述，请自行证明。比如两点确定一条直线；直线和直线外一点确定一个平面；给定\(k\)维平面\(a\)和平面外一点\(A\)，则存在唯一的\(k+1\)维平面\(b\)经过\(A,a\)。一组线性无关点集\(\{A_0,A_1,\cdots,A_p\}\)，其中任意\(k+1,(k>0)\)个点也是线性无关的（反证）。一个\(p\)维平面和所有与之结合的元素，可以构成一个\(p\)维射影几何，该平面代表的射影空间也称为\(V\)的子空间。平面上两直线有唯一交点；如果直线\(l\)不经过超平面\(\pi\)，则\(l,\pi\)有唯一公共点；3维射影（子）空间中，（2维）平面与不在其上的直线有唯一交点。两个超平面至少交于一条直线；3维射影（子）空间中，两个平面总交于一条直线。
1.2 笛沙格定理
在3维（子）射影空间中，还有一个非常重要的命题。考察以\(O\)为射心、对两个平面\(\alpha,\beta\)的透视模型，并假定有三点形射影对应\(ABC\)-\(A'B'C'\)。由于\(\alpha,\beta\)的相交线\(l\)（透视轴）是透视自对应的，所以三点形的三条对应边都相交、且交点\(X,Y,Z\)都在\(l\)上，这就是空间的笛沙格（Desargues）定理。如果两个三点形在同一平面（对应边不共线），且仍然以平面上的\(O\)为透视中心，任选平面外直线\(ODD'\)，并记\(D,D'\)与三对点的交叉点\(A'',B'',C''\)。先对异面三点形\(ABD,A'B'D'\)使用笛沙格定理，得到对应边的交点\(A'',B'',Z\)共线，同理也有\(A'',C'',Y\)共线和\(B'',C'',X\)共线。这时以\(D\)为射心对三点形\(ABC,A''B''C''\)使用空间笛卡尔定理，便能得到\(X,Y,Z\)共线，该结论就是平面的笛沙格定理。
要特别注意的是，平面笛沙格定理一定要在3维射影空间中才能被证明，换句话说，如果仅有2维射影结合公理是无法推导出这个定理的，而必须将其引入为公理才能继续后面的讨论。另外你可以自己证明，笛沙格逆定理也成立：如果三点形对应边相交、且交点共线，那么三个对应点的连线共点，后面我们会从对偶的视角轻松证明它。笛沙格定理及其逆定理是平面几何中的重要点线关系，结合无穷远直线，便得以全新的视角看待平面几何中的经典结论。尤其是逆定理，可以意外轻松地解决某些共点问题，比如以三角形及其三边中点为一对三点形，无穷远直线便是它们的透视轴，逆定理表明存在透视中心，也就是说三条中线交于一点。请练习证明以下命题：
• [练习] 试证：任意四边形的两条对边中点连线、以及对角线中点连线相交于一点。
有一件事希望你能注意到，共点还是共线其实取决于你的视角，同样是三线\(a,b,c\)共点，换个视角就是\(a,b\)的交点共于直线\(c\)上。再举一个后面会用到的例子，考察射心\(S\)到直线\(l,l'\)的透视对应\(ABC\)-\(A'B'C'\)，并获得交叉点\(R,T\)。易知\(\triangle AA'R\)和\(\triangle BB'T\)三对应边交点共线，从而三对应点连线共点，也就是说\(O,R,T\)共线。反之如果仅有透视对应\(AB\)-\(A'B'\)，在直线\(OR\)上任取点\(T\)并获得点\(C,C'\)，也可知\(S,C,C'\)共线。值得一提的是，\(ORT\)其实是透视对应下的Puppus线（但没有用到Puppus定理），证明中是比较常用的基本模型。
2. 射影代数
2.1 直线上的加法
射影结合公理对应的是射影变换的同素性和关联性，现在则需要考虑交比不变性，而前提又是将直线上的点代数化。这次我们不能像仿射几何那样直接赋予点一个实数，而是要借助已有性质逐步建立代数系统，并以合适的方式引入交比不变性。不可思议的是，笛沙格定理看似普通的关联定理，却可以帮助我们搭建比较完备的代数系统。以下我将仿照之前《几何基础》中的“笛沙格几何”一章，建立直线上的域结构，然后扩展到高维空间的非齐次坐标系，最终建立射影几何的齐次坐标系。推导过程中抛弃了课本[1]的运算定义、以及并不严谨的构建逻辑，以我自己的理解尽量做到逻辑自洽。如发现有不合理之处，恳请赐教！其实你可以尝试证明，这里的加法、乘法运算和教材上是等价的，不过更加直观而且便于使用。
首先由于直线\(l\)上至少有三个不同点，不妨把它们记作\(0,1,u\)，目的是对应仿射坐标的原点、单位点、无穷远点。任取另一条过\(0\)的直线\(m\)并同样选定单位点、无穷远点，相应三点可构造唯一的透视对应\(S\)。两直线的透视对应点视作相同的“数”。下面就在两条直线上同时建立代数同构的域。如上图在两直线上分别取点\(a,b\)，交点\(P\)引出的直线与\(l,m\)的交点分别定义为\(a+b,b+a\)。这个定义虽然直观，但良性的定义还要求交换\(a,b\)位置后交点相同，下图中先有Pappus线\(0RT\)，然后对\(\triangle RAA'\)和\(\triangle TCC'\)使用笛沙格定理，即有\(S,P,P'\)共线。这就同时为两条直线定义了加法，且右图证明了加法满足交换律。接下来请自行证明\(0\)为加法单位元，并且对任意点\(a\)都存在逆元\(-a\)（构造法），最后再挑战一下加法结合律\((a+b)+c=a+(b+c)\)，最终证得直线上的加法构成一个Abel群。
当然严格的加法应该从给定的直线\(l\)、及选定的基础点\(0,1,u\)开始定义，并且任意点\(a,b\)的加法\(a+b\)应当是直线上的固定点，而与其它辅助元素的选取无关。现在再另选一条直线\(m'\)（它可能不在平面\(lm\)上），类似地得到交点\(P'\)，要证明的是\(SP,S'P'\)相交于直线\(l\)的同一点\(a+b\)。先对\(\triangle SMN\)和\(\triangle S'M'N'\)使用笛沙格逆定理，得到\(SS',MM',NN'\)三线共点，同样可知\(PP',MM',NN'\)三线共点，从而\(SS',MM',PP'\)三线共点，对\(\triangle SMP\)和\(\triangle S'M'P'\)使用笛沙格定理便证得结论。这说明加法的定义是由给定直线和基本点确定的，不依赖辅助元素的选取，并且直观上兼容仿射空间（欧氏空间）的加法定义。另外值得一提的是，加法定义并没有用到单位点\(1\)，因此射心\(S\)可以随意选择。
2.2 直线上的乘法
现在来定义直线上点的乘法。还是以相交直线\(l,m\)以及\(0,1,u\)确定的透视对应\(S\)为基础，在两直线上分别取点\(a,b\)，连接\(1,a\)得到点\(T\)，\(bT\)与\(l\)的交点定义为\(ab\)。注意乘法定义天然是不对称的，良性的定义还要求交换\(a,b\)位置后在\(m\)上也得到\(ab\)，即要证明下图中\(S,C,C'\)共线。先对\(\triangle 11'J\)和\(\triangle AA'K\)使用笛沙格逆定理，得到\(0,J,K\)共线，根据Pappus线的特点即得\(S,C,C'\)共线。接下来需要你自行证明点\(1\)是乘法的单位元，以及对任意点\(a\)都存在逆元\(1/a\)，然后再挑战一下乘法的结合律、还有与加法的分配律。最后针对给定直线和基本点，还需要证明\(ab\)不依赖\(m\)的选取（与加法雷同），是直线上的确定点。最终，直线上的点在乘法下是一个除环（没有交换律），结合加法的交换群便构成了“体”的代数结构。
而事实是，乘法交换律的确不能由以上公理证明，需要另外引入公理。如果图中的乘法交换律成立，就是说\(S,C,C'\)共线，这就要\(1B'T'\)-\(TA1'\)对应的Pappus命题成立。回顾上一篇的仿射空间，Pappus定理是利用射影对应证明的，关键用到了射影的交比不变性。这时我们才恍然大悟：Pappus命题其实就是交比不变性在射影几何的真身，我们必须依赖它间接地引出交比的概念（射影几何对直线度量的唯一限制）！因此以下把2维射影空间的笛沙格命题和Pappus命题都补充进来，以获得射影结合公理的完整体。这样在2维及以上的射影几何中，直线上任选三点\(0,1,u\)都能构建一个代数“域”了，这个域（体）帮助我们建立了直线上的坐标系。
\(I.\) 射影结合公理（可选）
\(I_{5.1}\) 2维射影空间中，笛沙格命题成立（为了2维空间的代数运算）；
\(I_{5.2}\) 2维平面中，Pappus命题成立（为了乘法交换律）。
3. 空间坐标系
3.1 非齐次坐标
以上加法和乘法的定义，采用了更加直观可用的视角，你可以轻松地在图上作出\(a-b\)和\(a/b\)。另外其实还同时为两条相交直线定义了透视同构的域（体）结构，这将方便我们建立空间坐标系。现在延续仿射坐标系的构建方法，只是需要额外增加点\(u\)作为“无穷远点”，因此要事先选取\(n+1\)个线性无关点\(A_i\)，其中\(A_0\)作为原点、\(A_i\)充当不同直线的\(u_i\)。从直线上总存在第三点开始，可以归纳证明空间中存在一个单位点\(E\)，它与任意\(n\)个\(A_i\)都线性无关。空间单位点\(E\)可以确定\(n\)条坐标轴上的单位点，方法是取经过\(E\)以及其它\(n-1\)个\(A_j\)的超平面与轴\(A_0A_i\)的交点\(E_i\)。
先分别以\(A_0,E_1,A_1\)为原点、单位点、无穷点建立直线坐标系，然后透视对应到其它轴\(A_0E_iA_i\)上，并记透视中心为\(S_i(i>1)\)。然后对于空间的任意点\(P\)，可以像\(E\)一样找到它在坐标轴上的投影\(P_i\)，\(P_i\)的坐标\(x_i\)组合成了点\(P\)的非齐次坐标\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)。空间坐标系虽然建成，但还有一个隐患需要清扫，就是轴\(A_0A_1\)的位置太特殊，这会影响后面的推理。对\(\triangle E_1E_iE_j\)和\(\triangle A_1A_iA_j\)使用笛沙格定理，证得\(S,S_i,S_j\)共线，然后对任意透视点\(P_1,P_i,P_j\)，同样可以得到\(P_iP_j\)经过\(S\)。这就是说坐标轴\(A_0A_i\)和\(A_0A_j\)的相应数是点\(S\)的透视对应，坐标轴两两透视对应，它们的位置是对等的。
非齐次坐标系兼容了仿射坐标系，但却有一个致命缺点，就是空间里某些点没有坐标，而这些点在射影空间并不是特殊的。所谓\(P\)没有坐标，是说\(P\)与其它\(n-1\)个\(A_j\)的超平面交坐标轴\(A_0A_i\)于点\(A_i\)，所以\(P\)在\(n\)个点\(\{A_1,\cdots,A_n\}\)所确定的超平面\(\pi\)上，反之亦成立。这个超平面在仿射空间就是无穷远平面，但在未选定坐标系的射影空间只是一个普通超平面，非齐次坐标显然不是最合适的代数工具。但令人欣喜的是，我们在\(n\)维射影空间建立非齐次坐标，却能为其中的超平面（\(n-1\)维射影空间）建立完美坐标系。以\(\pi\)为例，其上的每一点\(P\)都与\(0\)点确定了一条直线，继而\(\pi\)上的每个\(k\)维平面都与\(0\)确定了一个\(k+1\)维平面，这就启发我们用这些过\(0\)点的平面等价研究超平面\(\pi\)。
3.2 超平面方程和齐次坐标
非齐次坐标构成了域（体）\(F\)上的\(n\)维线性空间\(V\)，在欧氏空间中过\(0\)的直线和平面分别对应\(F\)的1维和2维子线性空间，然而在射影空间里，这个结论并不是天然成立的。从坐标的定义出发好像只能证明，在某些维度全为0的点构成的线性子空间可以组成特定平面（比如坐标轴平面），我顶多还能证明\(A_0A_iA_j\)中的过\(0\)直线对应1维子线性空间，然后就束手无策了（教材对这个关键一环表述不严谨）。最终我还是找到了一个比较靠谱的证明思路，就是先推导出超平面的线性方程是\(a_1x_1+\cdots+a_nx_n=C\)，其它平面方程由超平面相交得到。对于过\(0\)平面，先根据方程得知超平面上的点是\(k-1\)维线性子空间，而它们相交便得到其它平面（线性子空间）。
超平面方程的获得，得利于加法、乘法的直观定义以及归纳法。先来看2维平面的直线方程，如图令直线\(l\)分别交两轴于点\(A(a),B(b)\)，则点\(N\)指明了“斜率”\(\dfrac{b}{a}\)。对直线上的任意点\(P(x,y)\)，先获得两轴上\(\dfrac{b}{a}x\)的对应点\(C,D\)，然后对\(\triangle PXN\)和\(\triangle YDC\)使用笛沙格定理得知\(S,B,E\)共线。这样便得到2维平面的直线方程\(\dfrac{b}{a}x+y=b\)或\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)，综合各种特殊情况（请自行补充）更应该写成直线方程的一般式\(bx+ay=c\)。以此为基础，可以递归推导出\(n\)维空间的超平面方程。
为了描述方便，现在以3维空间为例，建立（2维）平面的一般方程。设平面\(\pi_0\)与三轴的交点分别为\(a,b,c\)，取平面上的任意点\(P(x_0,y_0,z_0)\)，设平面\(PXY\)与\(\pi_0\)相交于直线\(MN\)。然后以\(Z\)为射心将\(MN\)透视对应到平面\(OXY\)上，并获得交点\(E,F\)，点\(E\)就是\(M\)在\(Y\)轴的坐标，利用直线\(bc\)和平面\(PXY\)的方程可算得\(E=b(1-\dfrac{z_0}{c})\)。同样也能算得\(F=a(1-\dfrac{z_0}{c})\)，并计算整理得到直线\(EF\)的方程\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1-\dfrac{z_0}{c}\)。然而注意到\(EF,P,Z\)共面，可知点\((x_0,y_0)\)就在直线\(EF\)上，最终得到平面\(\pi_0\)的方程\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\)。
这样就完成了我们的最初设想：\(n\)维射影空间中，过\(0\)的每条直线上所有点的坐标，正好组成域（体）\(F\)上\(n\)维线性空间\(V\)中的一个1维子空间；而过\(0\)的\(k+1\)维平面上所有点的坐标，正好组成\(V\)中的一个\(k\)维子空间。并且\(V\)的子空间的包含关系正好对应平面的结合关系，这就提示我们把\(V\)所有子空间对应到射影空间的一个超平面上（比如无穷远平面\(\pi\)），然后用线性空间\(V\)代替讨论这个超平面，彻底完成射影空间的代数化。也就是说讨论射影空间\(\mathbf{P}^n\)时，先把它放进高一维射影空间\(\mathbf{P}^{n+1}\)，然后将\(\mathbf{P}^n\)上任意一点\(P\)，用直线\(OP\)所代表的1维线性子空间表示。
由于1维子空间上点的坐标是成比例的，我们只需采用其中一个\((x_0,x_1,\cdots,x_n)\)来代表它，而它也被称为\(P\)的齐次坐标，并区分记作\(P=[x_0,x_1,\cdots,x_n]\)。射影空间的每个点都有齐次坐标，它是讨论射影几何的完美代数工具。但是为了兼容仿射坐标，我们选择将\(\mathbf{P}^n\)放在\(x_0=1\)位置，以建立齐次坐标和非齐次坐标的关联。如图\(S\)是\(OY,OZ\)的透视中心，然后以\(X\)为透视中心分别将\(OY,OZ\)透视到\(1Y,1Z\)上，利用\(\triangle ABX\)和\(\triangle YZ1\)不难证明\(S,C,D\)共线。所以\(1Y,1Z\)上的坐标也是透视对应的，它们可以直接做为平面\(1YZ\)上的坐标。放到\(\mathbf{P}^n\)里就是说，点\(P=[x_0,x_1,\cdots,x_n]\)的非齐次坐标正好是\((\dfrac{x_1}{x_0},\cdots,\dfrac{x_n}{x_0})\)。
最后做为练习请考虑，非齐次坐标下怎样判断\(k+1\)个点共于同一个\(k\)维平面？（从齐次坐标线性关系推导）
