1. 增补仿射空间

1.1 点透视的启发

　　在第一篇中说到，圆锥面对于不同平面的截面构成了我们熟悉的二次曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线），因此它们也被称为圆锥曲线。至于为什么会是这样，最直观的证明就是著名的丹德林（Dandeline）双球模型。上一篇中圆柱截面为椭圆的证明，放在圆锥中依然适用。下图则演示了截面为双曲线的情况，依据中学对二次曲线的定义（椭圆为固定线段和，双曲线为固定线段差），很容易看出结论（抛物线视为特殊椭圆）。当然这个证明不是本课程要关心的，现在我们来换个观察角度。

　　同一个圆锥面被不同平面截出一系列迥异的曲线（甚至包括单点、重叠直线、相交直线、平行线），就好比是一簇光线在不同平面上的投影，它们之间必然有着内在的联系。这也正如人们在透视画法中发现的，不同角度的画虽然有各种程度扭曲，但它们仍然保留了原像图形的诸多性质，比如直线以及直线间的关系基本没有改变。以上点透视模型只是一个直观描述，但它对我们的深入讨论有两个至关重要的启发：（1）平面间的投影究竟是怎样的几何变换？（2）光线簇与投影的不变性质有怎样的关联？

　　第一个问题是把平面作为研究对象，把模型中的不同平面重叠起来，透视映射就表现为平面上点的某种变换，我们需要将其扩展为完整的变换群、并用更精确的数学语言来描述它。第二个问题非常关键，它提醒我们平面上的投影不变性可以放到高一维的空间、以研究线束来代替研究图形，也许能得到更简洁更本质的方法！上一篇的仿射几何受到了平行透视的启发，定义了单比不变的几何变换，这里则提出了更一般的点透视模型。按照纲领的思路，我们先要找到那些关键的透视不变性，以抽取出新几何的元素和特征。

1.2 无穷远元素

　　不过在回答这两个问题之前，我们需要先解决模型中的一点残缺遗憾。继续考察空间中以点 $O$ 为光源（射影中心或射心）的透视模型，并以任意不过 $O$ 的平面 $α$ 为投影面，这时除了与 $α$ 平行的光线（过 $O$ 的直线）外，光线簇和平面上的点形成一一对应。不仅如此，那些在同一平面（不与 $α$ 平行）的所有光线（除去与 $α$ 平行的一条），在 $α$ 上还投影出一条直线（反之亦成立）。无论 $α$ 换成哪个平面，与之平行的光线总使得映射关系存在缺憾，这就促使我们扩展空间的点，以使得一一对应完全成立。

　　扩展后的空间中，投影面要以光线簇为原象，不仅点与所有光线一一对应，而且共面的光线要投影为一条直线。具体要求则是：任一光线与所有投影面有且仅有一个交点，同一平面的光线总是投影出一条直线，两个光线面（相较于一条光线）总是投影出两条相交直线。考虑与 $α$ 平行的光线 $p$ ，设它们交于一个虚拟点 $P_{\infty}$ 。观察所有经过 $p$ 的光线平面，它们在 $α$ 上的投影是一簇 $p$ 的平行线，从而它们与 $p$ 都相交于唯一点 $P_{\infty}$ 。这个特点可以轻松推广到整个空间，即所有与 $p$ 平行的直线都相交于唯一点 $P_{\infty}$ 。这在本质上消除了平行的概念，即新空间中的直线要么异面、要么相交于唯一点。

　　据此便得到了最小的扩展空间：在欧几里得空间中，为每个平行线簇增补一个共同交点，直觉上也叫无穷远点。每一条光线都有唯一的无穷远点，不同光线的无穷远点不相同。在细致讨论无穷远点的性质之前，请不要忘记，这一切的动机都来自透视模型，由此光线簇既是一般的直线集合，更是理论来源。扩展后的空间在任一平面的性质，应当与原象（光线簇）保持一致。比如所有普通直线都有唯一无穷远点，直线两端就好像在无穷远点处相接，从而变成了一个大环，这就对应到光线的圆周辐射。再比如共面光线的投影应当总是一条直线，而任何普通平面的无穷远点是与之平行的光线的投影，由此可视为一条直线，直觉上也叫无穷远直线。
　　进一步地，任取两个无穷远点，其对应光线确定唯一的光线平面，所以它们就确定了唯一的无穷远直线。最后，任意两条无穷远直线代表了两个相交普通平面（或两个不同光线平面），总是相交于某一无穷远点。由此所有无穷远点都可以视为在同一平面上，直觉上也叫无穷远平面，记作 $π_{\infty}$ （无穷元素一般都使用 $\infty$ 下标）。这时再来看平行透视模型，其实就是无穷远点的点透视模型（无穷远点还对应无穷远点），两种透视模型在增补了无穷远平面后统一起来，平行透视只是一种特殊的点透视。

　　最后请注意，透视模型的讨论不光在欧氏空间成立，它同样没有离开仿射几何的范畴，而它是欧氏几何的父几何。所以我们把无穷远平面的增补说成是在仿射空间中，增补后的空间仍然叫仿射空间，对应的点线面则叫仿射点、仿射直线、仿射平面。只要把以前的“平行”“相交”替换成“相交于无穷远点”“相较于普通点”，所有的讨论在语言上都没有困扰（无穷元素在仿射几何里是特殊元素）。当然由于欧氏几何是特殊的仿射几何，往后提到它也是增补了无穷远平面的。下面就在这新定义的仿射空间下，研究透视映射（中心射影）的不变性质。

2. 射影变换

2.1 交比

　　相比仿射变换，仿射空间的中心射影的不变量少了很多，如果不增补无穷平面，甚至连同素性都保不住。幸好在扩展后的仿射空间里，仿射点（直线、平面）仍然对应仿射点（直线、平面），所以中心射影具有同素性。另外仿射空间元素之间的关联变得更加简单：两点确定一直线；两共面直线交于一点；直线与外一点确定一平面；两平面交于一直线；直线与平面交于一点。这些特点都是透视模型自带的，你不必一个个去证明，而且这些关系也透视不变，所以中心射影还具有关联性。对比仿射变换的三个性质，还有一个单比不变显然不再成立，甚至看到连顺序性都被打破了，直线在度量上难道就没有约束了吗？

　　还是回到欧氏空间的透视模型，如果直线上点的关系存在不变量，猜想一定可以表示为对应透视线的关系。比如在平行透视中（仿射对应），单比其实就是对应平行光线的距离比。而如果是普通透视点，光线之间不变量应当只与角度有关，为此先定义平面上直线 $a$ 到 $b$ 的角度为：从 $a$ 的一条射线顺时针转到 $b$ 的角度。这时再来考察单比 $(A B C)$ ，它等于 $△ S A C$ 和 $△ S B C$ 的面积比（有正负），再用三角形面积的正弦定理，则有 $(A B C) = \frac{a \sin (a, c)}{b \sin (b, c)}$ 。但要注意，这时单比已经与直线角度的方向选择无关了，顺时针、逆时针统一选一个就可以。

$\begin{matrix} (1) & (A B, C D) = (a b, c d) = \frac{\sin (a, c) \sin (b, d)}{\sin (b, c) \sin (a, d)} \end{matrix}$

　　为了消除单比 $(A B C)$ 中的线段 $a, b$ 以找到不变量，只需将它除以另一个单比 $(A B D)$ ，结果 $(A B, C D) = (A B C) / (A B D)$ 只与四条直线 $a, b, c, d$ 的夹角有关，它被称为直线上四点的交比，也称为线束中四条直线的交比。需要注意，定义中要求 $b \neq c, a \neq d$ 或者 $B \neq C, A \neq D$ ；当投影线与一条光线平行时，四点交比退化为其它三点的单比（线束的单比没有退化），或者可以把单比视为特殊的交比（第四点为无穷远）。既然交比是单比之比，那一定也是仿射不变量，它可以被定义到仿射空间（线束的交比由点的交比间接定义）。因此切回到仿射空间，交比显然是中心射影的不变量，不管射影中心是无穷远点还是普通点。

2.2 调和共轭

　　需要注意，交比的值与点的顺序有关，但不难发现 $4! = 24$ 种排序实质上只有6个不同值，且有着紧密的相关性，你可以利用式（2~4）画出一个清晰的循环六边形。下面将会看到，值为 $- 1$ 的交比有着非同寻常的意义，此时四点的交比值只有 $- 1, 2, 1 / 2$ 三种情况。其中 $(A B, C D) = - 1$ 的四点只要两点的分组不变，调换字母顺序后的交比都是 $- 1$ ，一般称 $A B, C D$ 为互相调和共轭的点偶，每个点都是其它三点的（第四）调和点。同样也有调和共轭的线束偶，以及第四调和线。比较特殊的调和点是无穷远点，它是 $A B$ 与中点 $C$ 的调和点，对应到线束就是两相交直线与其两个角平分线。

$\begin{matrix} (2) & (A B, C D) = (C D, A B) = (B A, D C) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (3) & (A B, D C) = 1 / (A B, C D) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (4) & (A C, B D) = 1 - (A B, C D) \end{matrix}$

　　调和点列是最容易作图获得的，基本原理则是构造 $(A B, C D) = (B A, C D)$ 的点列。如图平面上有三三不共线的四点 $A, B, C, D$ ，它们两两组合形成3组对边，3组对边交点 $X, Y, Z$ 简称对边点，连接对边点形成对边三角形，这样的模型叫完全四点形。以 $X$ 为透视中心有 $(A B, P Z) = (D C, Q Z)$ ，而以 $Y$ 为透视中心又有 $(A B, P Z) = (C D, Q Z)$ ，所以 $(A B, P Z) = - 1$ 。更一般地结论则是：完全四点形的六条边和对边三角形的三边，都被对边点透视出调和共轭点。受这个结论启发，很容易用直尺作出已知三点的调和点，比如图中已知 $A, P, B$ ，任意取直线 $P Y X$ 并连接 $A, B$ 与 $X, Y$ ，连接交点 $D, C$ 与直线 $A B$ 交于调和点 $Z$ 。

2.3 射影变换

　　（点列）交比是中心射影的核心不变量，可视为单比的一种扩展，以后就把仿射空间中保持同素性、关联性、点列交比不变性的映射叫做射影对应，而同一空间的射影对应则叫射影变换。中心射影显然是一种射影对应，且有限个中心射影 ${φ_{1}, \dots, φ_{n}}$ 的乘积 $φ = \prod φ_{i}$ 仍然是射影对应。后面还将证明，射影对应总可以表示为一系列（广义的）中心射影之积，这里先给出平面上两直线的射影对应的证明。假定两条射影对应的直线已知3组对应点 $A B C$ - $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，从 $A^{'}$ 引出新的直线并选取射心 $S$ 使得 $A B C$ - $A^{'} B^{″} C^{″}$ ，然后再选取射心 $S^{'}$ 使得 $A^{'} B^{'} C^{'}$ - $A^{'} B^{″} C^{″}$ 。对任意其它射影对应点 $D$ - $D^{'}$ ，根据交比不变性可知， $D$ 在 $S$ 的像与 $D^{'}$ 在 $S^{'}$ 的像一定重合于 $D^{″}$ ，这就将射影对应拆成了两个中心射影的乘积。

　　平面射影对应还有一些有趣的性质，这里一并介绍完。但务必要交代清楚：它们不仅存在于仿射空间，也同样适用于更一般的射影空间（下篇介绍），因为论证中只涉及到了点线的关联性质和射影对应。后面就不重复这里的证明了，你就权当提前感受一下射影几何的独特视角。让我们继续刚才讨论，如上证明过程中其实已经表明：（1）两条平面直线的射影对应可以由三对不同的点完全确定；（2）两个射影点列如果在交点处自对应，那么射影对应是一个透视对应。一维射影变换是特殊的射影对应，每个点都是象和原象，如果两个不同点 $P, P^{'}$ 互相对应，它们称为对合点。这时考察其它点 $S$ 的象 $S^{'}$ 以及象的象 $S^{″}$ ，由交比不变 $(P P^{'}, S S^{'}) = (P^{'} P, S^{'} S^{″})$ 以及式（2）可证得 $S, S "$ 重合。所以这个变换的所有象和原象都是对合点，这样的非恒等变换也叫对合变换。

• [练习] （笛沙格对合定理）求证：任意不过四点形点的直线，与6条边的3对交点是某个对合变换的对应点。

　　刚才定义点列交比时，同时也定义了线束交比，并且两者的值由基本模型绑定在一起。其实不难发现，模型中的点列和线束在概念上是完全对等的（以后会详细讨论）：点列在一条直线上，线束经过同一点。再加上点列交比和线束交比的相关性，我们有理由把刚才的讨论都平移到线束上，而点列成为了线束透视对应的透视轴。类似的结论有：（1）平面上线束的射影对应总可以拆成两个透视对应的乘积；（2）线束的射影对应由三组不同的对应线完全确定；（3）如果两个线束的中心连线自对应，那么射影对应是一个透视对应；（4）有一对对合线的射影变换是对合变换。同样也有完全四边形、以及对顶线和对顶三角形的概念，图形和完全四点形几乎一样，只是把点线互换、点列线束互换。

2.4 定理举例

　　综合一维透视对应的性质，在点列和线束间传递透视关系，还能得到平面几何上不少有趣的点线关联性质。比如分别以点 $A, B$ 为射影中心、直线 $A^{'} B^{'}$ 为透视轴确定一个线束透视对应。在直线 $A B$ 上任取一点 $C$ 并连接 $C A^{'}, C B^{'}$ ，则可以把线束透视对应化作 $C A^{'}, C B^{'}$ 上的点列透视对应，且以点 $R$ 为透视中心。这时在透视轴上任取点 $C^{'}$ ，则交点 $S, T$ 就是 $R$ 的两个透视点，也即 $R, S, T$ 共线。这个结论就是帕普斯（Pappus）定理，直线 $R S T$ 也叫Pappus线（帕斯卡定理是该定理的特例）。然后再换个视角看这个图，假定 $A B C$ - $A^{'} B^{'} C^{'}$ 确定了一个射影对应，则同时也确定了一个以 $A, A^{'}$ 为线束中心、以直线 $R S$ 为透视轴的透视对应。这时对于任意的点列对应点 $D$ - $D^{'}$ ， $A D^{'}, A^{'} D$ 的交点必然在直线 $R S$ 上，也就是说射影对应的交叉点都在一条Pappus线上，也可以用任意一条线反向构造点列射影对应。

• [练习] 设有点 $S$ 对点列 $A_{i}, B_{i}$ 的中心射影，过 $S$ 的直线上有定点 $P, Q$ ，试证 $P A_{i}, Q B_{i}$ 的交点共线。

　　最后再举一个经典案例。设两直线 $l, m$ 分别交三角形 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 三边于点 $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ 和 $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ ，以两直线的交点 $O$ 为射心分别透视 $P_{1} P_{2}, P_{1} P_{3}$ 到 $P_{2} P_{3}$ 。记三个交比为式（5），不难证明边 $P_{2} P_{3}$ 上的5点有关系式 $(S P_{2}, Q_{1} R_{1}) (P_{2} P_{3}, Q_{1} R_{1}) (P_{3} S, Q_{1} R_{1}) = 1$ ，根据透视关系就是说 $k_{1} k_{2} k_{3} = 1$ 。反之也可以证明 $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ 共线，所以 $k_{1} k_{2} k_{3} = 1$ 是三点共线的充要条件，取 $l$ 为无穷远线就是中学里著名的梅涅劳斯（Menelaus）定理。再如右图使得 $P_{1} R_{1}, P_{2} R_{2}, P_{3} R_{3}$ 共点于 $O$ ，分别对 $△ P_{1} P_{2} R_{1}$ 和 $△ P_{1} P_{3} R_{1}$ 使用刚才的结论，综合后可以得到 $k_{1} k_{2} k_{3} = - 1$ 。反之亦能证明 $P_{1} R_{1}, P_{2} R_{2}, P_{3} R_{3}$ 共点，所以 $k_{1} k_{2} k_{3} = - 1$ 是三线共点的充要条件，这时再取 $l$ 为无穷远点就是著名的塞瓦（Ceva）定理。