1. 仿射几何

1.1 前言

　　在切入正题之前，有必要再重申一下“埃尔朗根纲领”的主要思想：“几何学就是研究某类变换的不变性”。一般来说，我们终究是为了获得现实空间中的几何性质，但某个特定问题不一定关系到空间中的所有属性，在思考和使用工具时这些属性势必成为干扰限制、甚至障碍。几何变换则是让无关属性“动起来”，在运动中分析图形里仍然保持的性质。这里的几何变换是在常规空间中定义的，但图形的变换不变性给了我们这样一种幻觉：这些图形带着它们的不变属性似乎生活在另一个全新世界，在那里它们自由活动（几何变换）却觉察不出形体的改变。就好比现实世界中的刚体运动（正交变换），物体本身的形体（正交不变性）并未发生改变。

　　由此“埃尔朗根纲领”更完整的阐述可能是这样：在一个常规空间中考察某类几何变换，并以此抽象出新的几何空间，我们为其构建系统的理论和方法，以更高效的途径找到常规空间的变换不变性。这里的常规空间一般指欧几里得空间（简称欧氏空间）或其扩展空间，几何变换是理论的出发点和新旧空间的桥梁。核心目的则是抽象出新的几何空间、建立完整的公理系统和代数工具，最终的研究结论则又可以应用到欧氏空间。这个过程的本质就类似于理论数学对于应用数学，新几何摒弃直觉的干扰和弊端，以更深刻的视角构建起更自由的空间。

　　由于我们需要以更高的视角看待一些简单的概念，需要大家对希尔伯特公理系统有个粗略了解，这里先三言两语交代一下。公理中以不被定义的点线面为对象，提取出了关联、顺序、合同三大关系，关联就是点线面的包含、相交关系（我们暂且把平行也算在其内），顺序关系规定了直线上点的次序性，直至推演出直线、平面、空间上的方向概念，合同则是线段、角度的度量以及迁移重合。细细区分这些几何属性的独立性，将有利于我们理解新几何空间的组成成分。

1.2 仿射对应

　　为了让大家加深对以上陈述的理解，我们先拿“仿射空间”小试牛刀，将理念落实到具体的操作上。“仿射几何”是射影几何的子几何，它又是一般欧氏几何的父几何，所以其抽象程度比射影几何要低，初学者更容易理解。但也正因为它的理论相对直观，很容易被忽视为一个方法手段，而不是新的几何空间，请务必提高警惕。下面就以实数域上的三维欧氏空间（简称欧氏空间）为常规空间，逐步引出三维仿射空间的概念。

　　考察欧氏空间中的两个相交平面 $α, β$ ，并假定一簇平行线（所有同方向的平行线）穿过这两个平面，两个平面上的点以光线为媒介建立起一一对应。在这个映射下，两个平面的点对应点、直线对应直线，相交直线的交点对应、平行直线仍然平行，我们说这样的映射保留了同素性（点和直线）和关联性（点线关系）。当然还容易知道点的顺序关系也是不变的，这就说明了平面上的关联与顺序都没有被破坏。这样的光线模型以后称为透视仿射对应，更简单的透视仿射还有：平面上的光线簇对两条直线的映射关系。

　　透视仿射对应是一一映射，所以多个映射 ${φ_{1}, \dots, φ_{n}}$ 的乘积 $φ = \prod φ_{i}$ 仍然满足透视仿射对应的一切性质，它也叫仿射对应，如果仿射对应在同一平面上就叫仿射变换。更一般地，可以把三维空间中保持同素性（点线面）、关联性（点线面关系）、顺序性的对应（变换）都叫作仿射对应（变换），以后将会证明这两种定义的等价性（先挖个坑）。在这样的定义下，透视仿射及其乘积自然还是仿射对应（变换），特殊的透视仿射还有正交变换、相似变换等。

　　图形中经过仿射变换后保持不变的性质简称仿射性质或仿射不变量，比如定义中的同素性、关联性、顺序性。显然常用度量中的长度、角度都不是仿射不变量，然而在透视仿射中不难看出，直线上的“线段比”是不变的，结合顺序关系定义直线上的向量比 $(P_{1}, P_{2}, P) = \frac{P_{1} P}{P_{2} P}$ 为单比。单比是一个重要且特殊的仿射不变量，教材中一般以同素性、关联性（不包含平行但可以证明）、单比不变作为仿射变换的定义，但它与我们的定义也是等价的（再挖个坑），以下我们就直接使用教材的定义。

1.3 仿射几何

　　定义完仿射变换，我们就进入关键的一步：要抽象出仿射几何，并在其上建立更高效的代数方法。其实变换的定义中就已经交代新几何的主要组成，这里暂且不使用公理语言严格描述（后续会填坑），而只作直白的阐述。首先是同素性描述的对象是点线面，由此首先要将这三种元素引进仿射几何。其次关联性说的是希尔伯特关联公理和平行公理的内容，因此仿射几何也要包含这两套公理的定义与性质。最后的单比不变性有点迷惑，因为欧氏空间的单比定义使用了长度概念(合同公理），而我们不能在仿射几何中引入这种非仿射性质（重要！）。

　　从语言上看，单比应该是直线上三点的固有性质，三个有序点对应到一个实数 $(X_{1}, X_{2}, X_{3})$ 。如果在给定直线上随意选择两个不同点 $O, E$ ，则直线上所有的点 $P$ 都对应一个交比值 $(P, E, O)$ ，从而直线变为坐标轴（顺序公理和连续公理），其中 $O, E$ 的坐标分别是 $0, 1$ ，也被称为原点和单位点。在欧氏空间中，还暗含了单比的另外两个性质：一个是依上建立的坐标系里，单比 $(X_{1}, X_{2}, X_{3})$ 的值等于 $\frac{x_{1} - x_{3}}{x_{2} - x_{3}}$ ；另一个是两条直线在透视对应下的单比不变，据此还可以推导出其它平行相关的单比不变性。这两个特性也应该做为单比的定义引入（而不是证明）仿射几何，并由此可知任意直线上三点的单比表示为式（1）。

$\begin{matrix} (1) & (X_{1}, X_{2}, X_{3}) = \frac{x_{1} - x_{3}}{x_{2} - x_{3}} = \frac{y_{1} - y_{3}}{y_{2} - y_{3}} \end{matrix}$

　　需要再次强调，直线上的点和实数的对应（以及单比代数值）就止于字面意思，它并不包含内积、长度、角度等延伸出的度量概念，这些不是一般仿射几何的不变量，自然也不会讨论它们。另外你可能注意到，我们直接定义了三维仿射几何，而它的透视对应要发生在四位欧氏空间，这就体现了直接用不变性定义变换的好处：不受直观的限制。你可以自己定义平面上乃至直线上的仿射几何，并且不难发现高维空间是包含低维空间的。顺带说一句，一般提到的“空间”是指某一个几何对象（点线面体），而“xx几何”则是包含了所有几何对象以及它们的关联、性质。

2. 仿射代数

2.1 仿射坐标系

　　定义好仿射几何之后，我们的视角也就从欧氏空间转移到了仿射空间，接下来的其它概念即使很“熟悉”也需要去重新审视。比如仿射几何中虽然有了的直线上的实坐标系，但还没有类似笛卡尔坐标系的空间坐标系，幸好建立方法并不难，且所使用的也都是仿射几何已有的性质。以平面仿射空间为例，选定两条相交直线为轴，另选一个直线外的单位点 $E$ 。以相交点 $O$ 为原点，以过 $E$ 与两轴平行的线截得的点 $E_{x}, E_{y}$ 为直线上的单位点，则建立了两轴上的实坐标系。这时任意点 $P$ 同样截得的点 $P_{x}, P_{y}$ 的坐标组合成了二维坐标 $(x, y)$ ，新建的坐标系也叫仿射坐标系（三维坐标系用平行面代替平行线）。

　　仿射坐标系顺便还带来另一个有力的分析工具：几何向量。这里的向量先是在几何层面定义，用一对有序点 $\vec{A_{1} A_{2}}$ 表示，坐标差值 $x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}$ 相同的向量定义为相等，所以向量也可以用有序数组 $[x, y]$ 表示。然后类似地，用三角形 $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ 定义向量加减法，它等价于有序数组的加减法。最后再补充一个数量乘法的定义 $k [x, y] = [k x, k y]$ ，几何向量就等价于线性代数里的向量了（没有向量乘法），线性代数里的线性表示、向量无关等概念都可以直接使用。比如平面上的三点 $X_{1}, X_{2}, X$ 共线，等价于向量 $[x - x_{1}, y - y_{1}]$ 和 $[x - x_{2}, y - y_{2}]$ 线性相关，也就等价于关系式（2）。其中右边称为平面直线的一般方程，可以类似地写出空间平面的方程表示。

$\begin{matrix} (2) & | \begin{matrix} x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{matrix} | = A x + B y + C = 0 \end{matrix}$

　　最后不要忘记，我们构建仿射几何的目的，是要寻找仿射不变量。一方面为了了解图形属性所依赖的根本元素和性质，另一方面可以将仿射性质从特殊图形延伸到一般图形。此前仿射变换定义在欧氏空间，除了一些已知的简单属性，我们想知道还有那些仿射性质、或判断某个性质是否是仿射性质。而由于仿射变换在仿射空间是更“自然”的存在，图形可以在仿射变换下自由移动而保持原貌，所以在仿射空间做判断会更加容易。在有了仿射坐标和向量这样的工具后，先来看看仿射变换的代数表示。

2.2 仿射变换

　　在构建仿射坐标的过程中，我们得知这样一个事实：任意点 $P$ 的坐标 $(x, y, z)$ 由四个不共面点 $O, E_{x}, E_{y}, E_{z}$ 唯一确定，而坐标的确定过程使用的都是仿射性质。这就意味着，如果已知一个仿射变换的某不共面四点的对应点，则其它对应点也都能确定（相对四对应点的位置确定）。换句话说，一个空间仿射变换可以由四个不共面点确定，同样一个平面仿射变换由三个不共线点确定，一个直线仿射变换只由两个不同点确定。

　　所以如图（空间类推），平面上任意一点 $P (x, y)$ 连同坐标系 $O E_{x} E_{y}$ 被仿射变换到 $P^{'}$ 和 $O^{'} E_{x}^{'} E_{y}^{'}$ ， $\vec{O P^{'}}$ 不难有式（3）的推导结果。并继而有坐标向量的线性变换公式（4），其中 $| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | \neq 0$ ，空间和直线上也有类似公式。变换矩阵中共有6个自由变量（分别对应式（3）的3个向量），这也验证了平面仿射变换可由三组对应点确定。作为练习请你思考，给定平面上的直线（或空间中的平面）的一般方程，如何计算经过给定仿射变换后的一般方程。

$\begin{matrix} (3) & \vec{O P^{'}} = \vec{O O^{'}} + \vec{O^{'} P^{'}} = \vec{O O^{'}} + x \vec{O^{'} E_{x}^{'}} + y \vec{O^{'} E_{y}^{'}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} (4) & [\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}] \end{matrix}$

　　以上从仿射变换抽象出仿射几何，然后建立了仿射坐标并表示了仿射变换，点线面都有了线性代数表示，对于仿射几何的讨论都可以在线性空间中进行。更进一步地，其实可以直接将仿射坐标空间定义为仿射空间，然后规定好点线面、单比、以及仿射变换的代数表示，最后证明新仿射几何的同素性、关联性、单比不变性。线性代数的表示还可以将仿射空间扩展到任意维度，综合分析法再一次被代数分析法取代。但请不要忘记，仿射坐标的建立完全来自于综合分析，它只是继续分析的工具、而非最终目的。

2.3 仿射性质

　　系统和工具都有了，最后就来看看仿射几何的一些应用，找到（或判定）仿射不变量，在欧氏空间中推广某些特殊性质。现在我们把视角再切回欧氏空间，请不要忘记它是一个特殊的仿射空间，而笛卡尔坐标系也只是特殊的仿射坐标系，仿射几何（父几何）是躲在欧氏几何（子几何）背后的影子。有些简单场景可以很容易判定仿射性质（比如透视变换及其特例），不太直观的性质则可以借助代数工具。先在欧氏几何中，自由地使用笛卡尔坐标（或欧氏空间的一切手段）表达你所关心的性质，然后考察它在仿射变换后是否改变。

　　现在来举一些仿射不变性的简单的例子。如果点线面关系中，只涉及关联公理和平行公理的，那一定是仿射性质，这在后续的射影几何中将重点讨论。还有线段上定比的点，仿射之后仍然是相同的定比（典型的例子是中点），所以那些只用到线上比例的命题也是仿射性质（比如梅内劳斯定理和塞瓦定理）。另外三角形经过仿射变换后显然还是三角形，我们称这样的图形为仿射图形（比如平行四边形、任意多边形），不难看出三角形的重心（三中线交点）也是仿射不变量。再比如，丹德林（Dandeline）的双球模型直观证明了圆柱截面是个椭圆，这说明椭圆也是仿射图形（柱面母线是透视光线）。

　　最后看一个解析几何（后篇会有概述）的应用。已知三角形面积表达式 $| \begin{matrix} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{matrix} |$ ，在选定的仿射变换下不难算得（作为练习），新旧三角形的面积比为 $| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} |$ ，它是个定值。从而平面上两个三角形的面积比是仿射不变量，不难推广到平面图形的面积比是仿射不变量，类似的还有空间图形的体积比也是仿射不变量。

　　至此我们概述了仿射几何的建立过程，以说明几何变换以及建立新几何的意义和步骤，从而具体地了解“埃尔朗根纲领”的核心精神。但大家可能还是觉得，这些概念跟欧氏几何也差不多少，尤其是仿射坐标简直就是笛卡尔坐标的克隆，用它研究更多的仿射性质一样是不方便的。这其实是因为，仿射变换仍然不够自由，我们还需要再给图形“松绑”，暴露出图形更本质的属性，以找到更好的分析工具。下一篇开始的“射影几何”才是本课程的重头戏，它是仿射几何的父几何，在更自由的变换下抛弃了平行和单比的概念，彻底挖掘点线面的关联性质。