【实变函数】07 - 微积分基本定理

合集 - 实变与泛函(8)

1.【实变函数】01 - 更合理的积分2023-05-032.【实变函数】02 - 测度论基础2023-05-033.【实变函数】03 - 可测函数2023-05-034.【实变函数】04 - 基于测度的积分2023-05-035.【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度2023-05-036.【实变函数】06 - 导数和单调函数2023-05-03

7.【实变函数】07 - 微积分基本定理2023-05-03

8.【实变函数】08 - 广义测度和积分2023-05-03

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1. 有界变差函数

1.1 有界变差函数及性质

　　我们已经看到，单调函数有着很好的微分性质，但单调函数又过于“简单”了，更一般的函数都会有上下起伏。那要做怎样的限定才能保证函数既够“简单”又够“一般”呢？现在来讨论“起伏之和”有限的函数。记$f(x)$是$[a,b]$上的有限函数，并取$[a,b]$的分组点$D=\{x_0=a,x_1\cdots ,a_n=b\}$，则和式（1）称为$f(x)$对分组点$D$的变差。如果所有变差都有界，则$f(x)$称为$[a,b]$上的有界变差函数，所有变差的上确界称为$f(x)$的全变差（式（2）），而$\underset{a}{\stackrel{x}{\bigvee }}(f)$则称为$f(x)$的变差函数。不难证明，单调函数以及满足Lipschitz条件（式（3）,M为常数）的函数都是有界变差函数，而且有界变差函数本身也是有界函数。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& V_f(D)=\sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \underset{a}{\overset{b}{\bigvee }}(f)=\underset{D}{sup}{V}_f(D)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& |f(x)-f(y)|⩽M|x-y|,x,y\in [a,b]\end{array}$$

　　现在来证明有界变差函数对基本运算的封闭性，假定$f(x),g(x)$都是有界变差的。首先对式（1）使用简单的绝对值不等式，容易证明线性运算$\alpha f(x)+\beta g(x)$也是有界变差函数，且有式（4）成立。再对式（1）使用不等式（5），就能证明$f(x)g(x)$也是有界变差函数。然后设$a<c<b$，由于$[a,c],[c,b]$的分组点之并一定是$[a,b]$的分组点，则有$\underset{a}{\stackrel{b}{\bigvee }}⩾\underset{a}{\stackrel{c}{\bigvee }}+\underset{c}{\stackrel{b}{\bigvee }}$；另外$[a,b]$的分组点添加$c$后又一定是$[a,c],[c,b]$分组点之并，从而有$\underset{a}{\stackrel{b}{\bigvee }}⩽\underset{a}{\stackrel{c}{\bigvee }}+\underset{c}{\stackrel{b}{\bigvee }}$，综合便有式（6）。最后如果函数列$\{f_n(x)\}$处处收敛于$f(x)$，而它们都是有界变差函数、且全变差有界，则使用极限与有限加法的可交换性，不难证明$f(x)$也是有界变差函数，且有式（7）成立。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \underset{a}{\overset{b}{\bigvee }}(\alpha f+\beta g)⩽|\alpha |\underset{a}{\overset{b}{\bigvee }}(f)+|\beta |\underset{a}{\overset{b}{\bigvee }}(g)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& |f_1{g}_1-f_2{g}_2|⩽M|f_1-f_2|+M|g_1-g_2|,M=max(f,g)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \underset{a}{\overset{b}{\bigvee }}(f)=\underset{a}{\overset{c}{\bigvee }}(f)+\underset{c}{\overset{b}{\bigvee }}(f)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \underset{a}{\overset{b}{\bigvee }}(f)⩽\underset{n}{sup}\underset{a}{\overset{b}{\bigvee }}(f_n)\end{array}$$

1.2 Jordan分解定理

　　直观上，变差函数$\underset{a}{\stackrel{x}{\bigvee }}(f)$其实是把$f(x)$的所有“起伏”都改成正向的。自然地可以想到，如果把$f(x)$的“起”$\varphi (x)$和“伏”$\psi (x)$拆分开来，那么应该有式（9）成立。然而$\varphi ,\psi$的严格定义，反过来还是需要借助$\underset{a}{\stackrel{x}{\bigvee }}(f)$，请自行证明，式（8）的正变差函数$\varphi (x)$和负变差函数$\psi (x)$都是单调增加函数。这时式（9）称为正规分解，该结论也称Jordan分解定理。分解定理可以把许多对有界变差函数的讨论拆分到单调函数上，比如不难得知，有界变差函数的不连续点都是第一类的、且只有可列个，以及有界变差函数处处可微、并且导函数Lebesgue可积。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \varphi (x),\psi (x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{a}{\overset{x}{\bigvee }}(f)\pm (f(x)-f(a)))\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& f(x)-f(a)=\varphi (x)-\psi (x);\underset{a}{\overset{x}{\bigvee }}(f)=\varphi (x)+\psi (x)\end{array}$$

　　更进一步地，还可以得到$\underset{a}{\stackrel{x}{\bigvee }}(f)$与$f(x)$有着相同的左（右）方连续点，请利用变差函数的定义自行证明。这样$\underset{a}{\stackrel{x}{\bigvee }}(f)$与$f(x)$就有相同的连续点和不连续点。另外也可以从$f(x)$抽取出跳跃函数$\phi (x)$，使得$f(x)-\phi (x)$为连续的有界变差函数，不难证明所有跳跃值的绝对值和不超过$\underset{a}{\stackrel{b}{\bigvee }}(f)$。

1.3 Helly选取原理

　　最后来介绍有界变差函数族$\{f_{\alpha }|\alpha \in \mathrm{\Lambda }\}$的重要性质：Helly选取原理，其中$\mathrm{\Lambda }$为无限指标集。先把$\{f_{\alpha }(x)\}$限定在可列集$E=\{x_1,x_2,\cdots \}$上，并且假定它们是一致有界的。根据有界性和指标的无限性，在$x_1$上一定存在收敛数列$f_{{\alpha }_{1k}}(x_1)$，继而在$x_2$上也存在收敛数列$f_{{\alpha }_{2k}}(x_2)$，其中$\{{\alpha }_{2k}\}\subset \{{\alpha }_{1k}\}$。以此类推得到下标集$\{{\alpha }_{jk}\}$，取其子集$\{{\alpha }_{kk}\}$，不难证明函数列$\{f_{{\alpha }_{kk}}\}$在$E$上处处收敛。所以如果函数簇$\{f_{\alpha }(x)\}$在$[a,b]$上一致有界，则存在子函数列$\{f_{{\alpha }_k}(x)\}$在$[a,b]$的全体有理数集$E$上处处收敛于$f(x)$。

　　现在再假定$\{f_{\alpha }(x)\}$在$[a,b]$都是单调增加的，则刚才得到的$f(x)$在$E$上也是单调的；按式（10）补充$f(x)$的定义，显然$f(x)$在$[a,b]$上还是单调增加的。记$f(x)$的不连续点集为$E_0$，对任意$x_0\in ([a,b]-E_0)$，使用$x_0$的连续性以及在有理点$f_{{\alpha }_k}(x)\to f(x)$，不难证明也有$f_{{\alpha }_k}(x_0)\to f(x_0)$。另外由于$E_0$是可列集，则可以再取函数列$\{f_{{\alpha }_k^{\prime }}(x)\}$（其中$\{{\alpha }_k^{\prime }\}\subset \{{\alpha }_k\}$），使得它们在$E_0$上收敛于$g(x)$。将$f(x)$在$E_0$上的值修正为$g(x)$，则$\{f_{{\alpha }_k^{\prime }}(x)\}$处处收敛于$f(x)$。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& f(x)=\underset{\xi \in E,\xi <x}{sup}f(\xi ),(x\in ([a,b]-E))\end{array}$$

　　最后再把条件放宽到$\{f_{\alpha }(x)\}$都是$[a,b]$上一致有界的有界变差函数，并且$\{\underset{a}{\stackrel{x}{\bigvee }}(f_{\alpha })\}$也一致有界。做Jordan分解$f_{\alpha }(x)={\varphi }_{\alpha }(x)-{\psi }_{\alpha }(x)$，其中$\{{\varphi }_{\alpha }(x)\},\{{\psi }_{\alpha }(x)\}$都是一致有界的单调递增的函数簇。则存在函数列$\{{\varphi }_{{\alpha }_k}(x)\}$处处收敛于单调递增函数$\varphi (x)$，然后还可以取函数列$\{{\psi }_{{\alpha }_k^{\prime }}(x)\}$处处收敛于单调递增函数$\psi (x)$，其中$\{{\alpha }_k^{\prime }\}\subset \{{\alpha }_k\}$。这样就有函数列$\{f_{{\alpha }_k^{\prime }}(x)\}$处处收敛于$f(x)=\varphi (x)-\psi (x)$，显然$f(x)$是有界变差函数。

2. 微积分基本定理

　　在微积分中，牛顿-莱布尼兹定理被称为“微积分基本定理”。命题的主体是导函数$f(x)=F^{\prime }(x)$，定理描述为连续函数$f(x)$的积分与原函数$F(x)$的关系。然而从测度的角度，$f(x)$的连续性还是太强了，本段就来寻找更弱、更普遍的条件。另外，命题的主体可以区分为可积函数$f(x)$和可导函数$F(x)$，从而问题被拆分为两个不同的方向。一个是对可积函数$f(x)$的积分函数求导，结果与$f(x)$会有什么关系？另一个则是，函数$F(x)$的导函数的积分，与$F(x)$又会有什么关系？以及这些关系成立的条件。

2.1 积分的导数与Legesgue点

　　先来看第一个问题，对$[a,b]$上的任意Lebesgue可积函数$f(x)$，它的积分其实分为独立的正负两部分$\int f^{+},\int f^{-}$，从而积分函数${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$就是两个单调增加函数之差。利用上篇关于单调函数的不等式（13），不难证明有不等式（11）成立，左式中的导数和积分现在还不能轻易抵消，除非$f(x)$是连续函数。而之前我们已知，对任意$\epsilon >0$都存在连续函数$\phi (x)$使得${\int }_a^x|f-\phi |\mathrm{d}t<\epsilon$。使用$\phi (x)$作为桥梁，并结合式（11）可以证得不等式（12），取$\epsilon \to 0$就得到等式（13）。这就回答了第一个问题：L可积函数的积分函数的导函数与自身几乎处处相等。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\int }_a^b|{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t|\mathrm{d}x⩽{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\int }_a^b|{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t-f(x)|\mathrm{d}x<2\epsilon \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\stackrel{m}{=}f(x)\end{array}$$

　　其实积分函数的导数还有一个直观的意义，那就是函数在$x$附近的“平均值”，可以从这个角度去描述式（13）的意义。然而满足式（13）的点情况还是会很复杂，这个性质并不能方便地用于其它推导。现在来介绍一种性质更强的点，而且对可积函数也是几乎处处成立。记$[a,b]$上的Lebesgue可积函数$f(x)$，如果对点$x_0$有式（14）的极限成立（$h_1,h_2⩾0,h=h_1+h_2$），则称$x_0$为$f(x)$的Lebesgue点。不难证明，Lebesgue点一定满足式（13）；另外由测度积分的定义，可知Lebesgue点又比连续点的条件稍弱。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{h}}{\int }_{x_0-h_2}^{x_0+h_1}|f(x)-f(x_0)|dx=0\end{array}$$

　　为了从满足式（13）的点中剔除非Lebesgue点，要能体会到后者比前者强的特征在于其“近似连续性”。式（13）仅表示$x_0$附近以零线$y=0$为准的均值是$f(x_0)$，而“近似连续点”$x_0$应当在任何“零线”上的均值都是$f(x_0)$，包括$y=f(x_0)$。我们取遍所有有理数作为零线$y=r$，而记全体满足式（15）的点为$E_r$。由于$|f(x)-r|$是Lebesgue可积函数，由式（13）的结论知$m(E_r)=b-a$；记$E=\bigcap _r{E}_r$，易知也有$m(E)=b-a$。注意看$E$中的点$x_0$，假定$f(x_0)$可以被有理数列$\{r_n\}$逼近；由于所有$|f(x)-r_n|$在$x_0$上都满足式（15），取$n\to \mathrm{\infty }$便能证明式（14）成立，即$E$中的点都是Lebesgue点。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}{\int }_a^x|f(t)-r|\mathrm{d}t=|f(x)-r|\end{array}$$

2.2 全连续函数

　　现在再来看第二个问题，它也是牛顿-莱布尼兹定理的本体问题，即什么样的函数满足式（16）。积分式本身显然要求$F(x)$连续且有界变差，但上篇的式（14）告诉我们，连续有界变差函数可能不满足式（16）。因此等式的充分性还需要一个更强的条件，而这个条件可以继续从必要性里挖掘。不要忘了Lebesgue积分还有全连续性，我们取它在实数域的特殊情况（后面会看到用意），即$[a,b]$上任意有限或可列个不相交区间组成的点集$E_{\delta }$（式（17））。全连续性是说，对任意$\epsilon >0$都存在$\delta >0$，使得$F^{\prime }(x)$在所有$E_{\delta }$上的积分都小于$\epsilon$。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& F(x)-F(a)={\int }_a^x{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& E_{\delta }=\bigcup _n(a_n,b_n),m(E_{\delta })<\delta \end{array}$$

　　把这个结论换成对$F(x)$的描述，则是$F(x)$在所有$E_{\delta }$上满足式（18）。我们先单独研究这个必要条件的性质，为此将满足式（18）的函数$F(x)$称为全连续函数。不难证明（请自行证明），满足Lipschitz条件的函数是全连续函数；还有全连续函数是连续的；以及全连续函数的线性组合、乘积仍然是全连续函数。将$[a,b]$分割为$M>{\displaystyle \frac{b-a}{\delta }}$等分，全连续性说明$\underset{a}{\stackrel{x}{\bigvee }}(F)<M\epsilon$，即$F(x)$是有界变差函数。我们看到，全连续函数其实包含了连续和有界变差，由此可以直接将其看作式（16）的必要条件。以下来证明它也是充分条件。

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \sum _n|F(b_n)-F(a_n)|<\epsilon \end{array}$$

　　充分性其实是说，$F(x)-F(a)$不含有$G(x)={\int }_a^x{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$之外的部分，这就引导我们去证明另一个更简洁的命题：如果$[a,b]$上的全连续函数$F(x)$满足$F^{\prime }(x)\stackrel{m}{=}0$，则$F(x)$为常数。为了把$F^{\prime }(x)\ne 0$的部分分开处理，可以用式（17）的开集$E_{\delta }$将其包含，在其上有式（18）成立。另外$E_0=[a,b]-E_{\delta }$上总有$F^{\prime }(x)=0$，由导数的定义知，对任意$x_0\in E_0$存在区间$(x_0-h,x_0+h)$，其上总有式（19）成立。显然$E_{\delta }$和所有$(x_0-h,x_0+h)$覆盖了整个$[a,b]$，由Borel覆盖定理可选出一个有限覆盖。然后利用有限覆盖中的点$\{a_i,b_i,x_{0k}\}$，可生成一个$[a,b]$上的分点组。以这个分组点为连线，并结合式（18）（19）可估算出$|F(b)-F(a)|<(b-a+1)\epsilon$，取$\epsilon \to 0$即有$F(b)=F(a)$。这就证得了$F(x)$为常数，往回追溯，也就是说全连续函数是式（16）成立的充要条件。

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \left|{\displaystyle \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}}\right|<\epsilon \end{array}$$

　　此前，我们已经把$[a,b]$上的有界变差函数$g(x)$拆分为跳跃函数$\phi (x)$加连续有界变差函数$g_0(x)$。刚才的结论则是说，$g_0(x)$还可以拆分为全连续函数$g_c(x)={\int }_a^x{g}_0^{\prime }(t)\mathrm{d}t$和奇异的连续有界变差函数$g_s(x)$。而且容易证明，式（20）的拆分在相差一个常数外是唯一的，它被称为Lebesgue分解定理。

$$\begin{array}{}\text{(20)}& g(x)=g_c(x)+g_s(x)+\phi (x)\end{array}$$