【实变函数】06 - 导数和单调函数

　　建立完积分的理论后，现在来讨论微分、以及牛顿-莱布尼兹定理。因为涉及导函数的积分，自然要求导数几乎处处存在，而这类函数的全体过于复杂，很难得出一般性结论。这时我们不妨从“简单函数”入手，先探讨出基础的结论，然后把函数延展到更普遍的范围。本篇和下一篇就在Lebesgue积分上讨论这些问题，你可以把相应结论和微积分作对比。

1. 函数的微分

1.1 导数

　　对于\(\mathbf{R}^1\)上的有限函数\(f(x)\)，要讨论任意点\(x_0\)上导数时，我们不应该急于像微积分中那样限定\(f(x_0)\)的周边趋势，而是先看看\(f(x_0)\)与周边值\(f(x)\)的所有可能关系。任取收敛于0的数列\(\{h_n\}\)，考虑式（1）类似导数的极限。这个极限要是存在（可以为无穷），则称为\(f(x)\)在\(x_0\)的一个导出数，相应有左（右）导出数。\(\{h_n\}\)的任意性使得导出数可能是一个实数集，不难证明它是个闭集，从而导出数集上（下）确界也是导出数，这样就可以有左（右）方上（下）导出数的定义，分别记作\(D^-f(x_0),D_-f(x_0),D^+f(x_0),D_-f(x_0)\)。如果所有导出数相等，或者说式（2）成立，则称这唯一的导出数为\(f\)在\(x\)点的导数，记作\(f'(x)\)。如果\(f'(x)\)有限，则称\(x\)为\(f\)的可微分点。

\[\lim_{n\to\infty}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h_n}\tag{1}\]

\[D^-f(x)=D_-f(x)=D^+f(x)=D_-f(x)\tag{2}\]

1.2 跳跃函数

　　那些不可微的点，尤其是存在无穷导出数的点，在讨论中是希望被排除出去的。在“简单函数”中，经常会出现函数值的“跳变”，即\(f(x_0^+),f(x_0^-)\)都存在但不全与\(f(x_0)\)相等，\(x_0\)称为第一类不连续点。处理这样的不连续点，也只需平移函数值，使得三者相等，这样原函数就可以按连续函数去分析。一个“简单函数”的第一类不连续点往往是可数的（测度为0），可以将它们集中“剔除出来”分析。为此要使用“跳变函数”\(\theta(x)\)（在\(x>0\)由0跳变成1，也叫Heaviside函数），及其变形\(\theta_1(x)=1-\theta(x)\)。记\(\{x_n\}\)是所有跳变点，以及\(\{\lambda_n\},\{\mu_n\}\)为\(x_0\)处的前后跳变量，则式（3）就是抽取出来的“跳跃函数”。其中\(|\lambda_n|+|\mu_n|\ne 0\)，\(p\)可能为\(\infty\)）。

\[\varphi(x)=\sum_{n=1}^p\lambda_n\theta(x-x_n)+\sum_{n=1}^p\mu_n\theta_1(x-x_n)\tag{3}\]

　　为确保\(\varphi(x)\)存在以及讨论方便，以下假定\(\sum(|\lambda_n|+|\mu_n|)\)有限，这时式（3）绝对收敛且是一致收敛的。当\(p=\infty\)时，不要把\(\{x_n\}\)的布局想得过于简单，甚至\(\varphi(x)\)的不连续点也不是理所当然地在\(\{x_n\}\)。记\(\varphi_N\)为式（3）的前\(N\)项和，它的不连续点显然只有\(\{x_1,\cdots,x_N\}\)，\(\varphi_N(x)\)在\(x_0\notin\{x_n\}\)处是连续的。又由于\(\varphi_N\)一致收敛于\(\varphi(x)\)，用分析方法不难证明\(\varphi(x)\)在\(x_0\)处是连续的。这时如果从级数里暂时拿掉跳变点\(x_n\)，\(\varphi(x)\)就可以表示为在\(x_n\)处连续的函数\(\varphi'(x)\)，加上一个在\(x_n\)跳变的函数，因此\(\varphi(x)\)在\(x_n\)上有相同的跳变。至此我们才扫除了疑虑，\(\varphi(x)\)的跳变点集就是\(\{x_n\}\)，而且跳变量也是\(\{\lambda_n\},\{\mu_n\}\)。

1.3 受控点

　　在讨论简单函数的微分性质时，经常需要估算导出数特殊点的测度，这里会用到一个非常有趣的工具。考虑区间\([a,b]\)上的连续函数\(g(x)\)，对任意点\(x\in(a,b)\)，如果存在\(\xi\in(a,b)\)使得\(f(\xi)>f(x)\)，则称\(x\)为\(g(x)\)的右受控点。你随意画出一个函数图像，不难看出右受控点的全体是一个开集\(\{(a_k,b_k)\}\)，而且有\(g(a_k)\leqslant g(b_k)\)，这个结论叫F.Riesz引理。开集不难证明，然后假定存在某个\(g(a_k)<g(b_k)\)，\(b_k\)为边界点其实说明了，不存在\(x>b_k\)而\(f(x)>f(b_k)\)。考察所有能“控制”\(a_k\)的点\(\xi\)，首先由于\(g(\xi)>g(b_k)\)，显然不能有\(\xi\geqslant b_k\)；然而如果\(\xi\in(a_k,b_k)\)，则说明\(\xi\)都是右受控点，但他们的上确界\(\xi_0\in(a_k,b_k)\)却不存在控制点，导出矛盾。

　　当\(g(x)\)只有第一类不连续点时，用式（4）定义右受控点，类似的分析也能证明F.Riesz引理，且有\(g(a_k^+)\leqslant \hat{g}(b_k)\)。然后相应地也有左受控点及其F.Riesz引理，请自行补充。回头再看\(f(x)\)的导出数，如果存在右方导出数\(Df(x)>c\)，则说明存在\(\xi\)使得式（5）成立。这时如果记\(g(x)=f(x)-cx\)，则式（5）即\(g(\xi)>g(x)\)，说明\(x\)是\(g(x)\)的右受控点。使用F.Riesz引理便得到，所有满足\(Df(x)>c\)的点\(E_c\)一定落在一个开集里，端点的不等关系还可以得到估算式（6）。左方导出数和\(Df(x)>c\)也能得到类似不等关系，它们将是我们讨论可微性的重要工具。

\[\hat{g}(x)<g(\xi),\;\hat{g}(x)=\max(g(x^-),g(x),g(x^+))\tag{4}\]

\[\dfrac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}>c,\;(\xi>x)\tag{5}\]

\[m^*(E_c)\leqslant\sum_k(b_k-a_k)\leqslant\dfrac{1}{c}\sum_k(f(b_k^-)-f(a_k^+))\tag{6}\]

2. 单调函数

2.1 单调函数的可微性

　　最常见的“简单函数”就是单调函数，不失一般性，我们只需讨论单调递增函数\(f(x)\)，它定义在实数区间\([a,b]\)上（可拓展为无穷区间）。首先在任意点\(x_0\)，由左右侧的单调性不难证明，\(f(x_0^+)\)和\(f(x_0^-)\)都是存在的，所以\(f(x)\)的不连续点只能是第一类不连续点。另外来考虑这些不连续点的数量，记\(E_c\)为所有满足\(f(x^+)-f(x^-)>c\)的点，由\(f(b)-f(a)\)的有限性可知\(E_c\)的点数也是有限的。这样\(f(x)\)的所有不连续点\(E=\underset{n=1}{\overset{\infty}{\bigcup}} E_{\frac{1}{n}}\)就是一个可列集，且不难证明这些不连续点的跳跃度之和不超过\(f(b)-f(a)\)。这样就可以从\(f(x)\)中提取出单调跳跃函数\(\varphi(x)\)，而\(g(x)=f(x)-\varphi(x)\)则为单调连续函数。

　　现在来看单调函数的可微性，不失一般性，仍然假定\(f(x)\)单调递增。\(f(x)\)可微就是式（2）成立且为有限值，对那些不可微的点，由于导出数总是存在的，可以逐步排除不可微的点集。而使用的基本工具就是估算式（6），它把直观上的“大的变化不能持续很久”用不等式清晰表示出来。首先考虑存在无穷导出数的点集\(E_\infty\)，它显然是式（6）中\(c\to\infty\)的结果，即有\(m^*(E_\infty)=0\)。然后对于导出数有限的点集，如果左右导出数不全相等，则存在\(D_Lf(x)<D_Rf(x)\)或\(D_Lf(x)>D_Rf(x)\)。任取两个有理数\(c>r\)，考察式（7）右的不可微点集\(E_{c,r}\)，它们的可列并组成了所有\(D_Lf<D_Rf\)的点集\(E_<\)。

\[E_<=\underset{c,r}\bigcup E_{c,r},\;E_{c,r}=\{x|D_Lf(x)<r<c<D_Rf(x)\}\tag{7}\]

　　不同于一般的可微点，\(E_{c,r}\)中的点在局部也表现出一定的“陡升”，它们同样“不能持续很久”。先根据\(D_Lf(x)<r\)选定\(E_{c,r}\)的一个超集\(\{(a_k,b_k)\}\)，并有估算式（8）左。然后对每个\((a_k,b_k)\)使用\(c<D_Rf(x)\)，得到\(E_{c,r}\)更小的超级\(\{(a_{k,l},b_{k,l})\}\)和估算式（8）右。综合式（8）就得到估算式（9），它表示\(E_{c,r}\)在\((a,b)\)中的比例。如果把这个比例再应用到每个\(\{a_{k,l},b_{k,l}\}\)里，就得到新的比例\(\dfrac{r^2}{c^2}\)。持续推导下去，比例终将收敛于0，即有\(m^*(E_{c,r})=0\)以及\(E_<\)。对\(D_Lf(x)>D_Rf(x)\)同样也有\(E_>=0\)，排除\(E_\infty,E_<,E_>\)之后的点集都是可微的，也就是说单调函数几乎处处可微。 

\[f(b_k^-)-f(a_k^+)\leqslant r(b_k-a_k);\;b_{k,l}-a_{k,l}\leqslant\dfrac{1}{c}(f(b_{kl}^-)-f(a_{kl}^+))\tag{8}\]

\[m^*(E_{c,r})\leqslant m\left(\underset{c,r}{\bigcup}(a_{k,l},b_{k,l})\right)\leqslant\dfrac{r}{c}(b-a)\tag{9}\]

2.2 Fubini定理

　　单调函数的几乎处处可微性是比较深刻的结论，据此还可以推到出逐项求导的Fubini定理。记\(\{f_n(x)\}\)都是\([a,b]\)上的单调递增（递减）函数，并且级数\(\sum f_n\)处处收敛于\(f(x)\)，Fubini定理就是式（10）的逐项求导公式。首先由于\(f(x)\)和\(f_n(x)\)都是单调递增函数，它们的导函数\(f'(x),f'_n(x)\)几乎处处存在。考察部分和函数\(S_n(x)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}f_i(x)\)，由于\(f_n(x)\)单调递增使得\(f'_n(x)=S'_n(x)-S'_{n-1}(x)\)几乎处处为正，得出式（11）后便知道式（10）右几乎处处收敛。为了证明收敛函数为\(f'(x)\)，需要用到收敛的隐含结论\(f'_n(x)\overset{m}{\to}0\)，以及\(f_n(x)\to f(x)\)（前面只用到\(f(x)\)是上限）。

\[f'(x)\overset{m}=\sum_{n=1}^{\infty}f'_n(x),\;(f_n(x)\to f(x))\tag{10}\]

\[S'_{n-1}(x)\leqslant S'_n(x)\leqslant f'(x)\tag{11}\]

　　由于\(S_n(x)\to f(x)\)，则可以构造单调增加的函数列\(\{f(x)-S_{n_k}(x)\}\)，且函数列的级数和收敛（取\(f(b)-S_{n_k}(b)\)足够小）。这与\(\{f_n(x)\}\)的性质一样，从而导函数当\(n\to\infty\)时也几乎处处收敛于0，即\(f'(x)-S'_{n_k}(x)\overset{m}{\to}0\)或者\(S'_{n_k}(x)\overset{m}{\to}f'(x)\)。又由于\(S'_n(x)\)在\(n\)方向单调递增且几乎处处收敛，显然能得到式（10）。来看一个Fubini定理的应用，考察\([a,b]\)上跳跃函数\(\varphi(x)\)。由于\(\theta(x-x_n),\theta_1(x-x_n)\)都是单调函数，且导函数几乎处处为0，而\(\varphi(x)\)是它们的级数之和，直接使用定理便有：\(\varphi'(x)\overset{m}{\to}0\)。

2.3 两个构造例子

　　在得到单调函数的导函数\(f'(x)\)后，可以反过来再计算它的积分（修正不可微的值），看微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹定理）是否成立。利用导函数的定义，构造几乎处处收敛于\(f'(x)\)的函数列\(\{\varphi_n(x)=\dfrac{f(x+1/n)-f(x)}{1/n}\}\)（\(f(b)后适当扩充\)），而\(\varphi(x)\)的积分更容易计算。不难证明函数列的积分下极限是有限的（式（12）），然后根据Fatou引理便知，函数列极限的积分有（13）成立。注意这里的结论不是等式，这不难理解，你也能轻松举出不相等的例子。

\[\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}\int_a^b\varphi_n(x)\,\mathrm{d}x=f(b)-f(a^+)\tag{12}\]

\[\int_a^bf'(x)\,\mathrm{d}x\leqslant f(b)-f(a)\tag{13}\]

　　最后我们来构造一个不可思议的函数\(f(x)\)，它在\([0,1]\)上连续且严格单调递增，却有\(f'(x)\overset{m}=0\)。先设\(f_0(x)=x\)，而后假定\(f_{n+1}(x)\)在\(\{\dfrac{k}{2^n}\}\)上与\(f_n(x)\)相同，在这些点的中点处取略高出一点（式（14）），而后把所有的点\(\{\dfrac{k}{2^{n+1}}\}\)依次以直线相连。函数列\(\{f_n(x)\}\)随\(n\)单调递增且有界，故处处收敛于单调函数\(f(x)\)。先把\(f(x)\)限定在所有点\(\dfrac{k}{2^n}\)构成的空间\(E_0\)上，从构造过程不难证明\(f(x)\)在\(E_0\)上连续且严格单调递增；结合\(f(x)\)本身的单调性，可知它在\([0,1]\)上连续且严格单调递增。另外\(f(x)\)几乎处处可微，对\(f'(x)\)存在且有限的点，它应该是式（15）的极限，其中\((\alpha_n,\beta_n)\)为包含\(x\)的\(n\)级区间。由于右边的乘法级数不收敛（项不收敛于1），故极限只能为0，所以\(f'(x)\overset{m}=0\)。

\[f_{n+1}\left(\dfrac{2k+1}{2^{n+1}}\right)=(1-\lambda) f_n\left(\dfrac{k}{2^n}\right)+\lambda f_n\left(\dfrac{k+1}{2^n}\right),\;(0<\lambda<\dfrac{1}{2})\tag{14}\]

\[\dfrac{f(\beta_n)-f(\alpha_n)}{\beta_n-\alpha_n}=\prod_{k=1}^{n}(1\pm 2\lambda)\tag{15}\]