【实变函数】06 - 导数和单调函数

合集 - 实变与泛函(8)

1.【实变函数】01 - 更合理的积分2023-05-032.【实变函数】02 - 测度论基础2023-05-033.【实变函数】03 - 可测函数2023-05-034.【实变函数】04 - 基于测度的积分2023-05-035.【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度2023-05-03

6.【实变函数】06 - 导数和单调函数2023-05-03

7.【实变函数】07 - 微积分基本定理2023-05-038.【实变函数】08 - 广义测度和积分2023-05-03

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　　建立完积分的理论后，现在来讨论微分、以及牛顿-莱布尼兹定理。因为涉及导函数的积分，自然要求导数几乎处处存在，而这类函数的全体过于复杂，很难得出一般性结论。这时我们不妨从“简单函数”入手，先探讨出基础的结论，然后把函数延展到更普遍的范围。本篇和下一篇就在Lebesgue积分上讨论这些问题，你可以把相应结论和微积分作对比。

1. 函数的微分

1.1 导数

　　对于${\mathbf{R}}^1$上的有限函数$f(x)$，要讨论任意点$x_0$上导数时，我们不应该急于像微积分中那样限定$f(x_0)$的周边趋势，而是先看看$f(x_0)$与周边值$f(x)$的所有可能关系。任取收敛于0的数列$\{h_n\}$，考虑式（1）类似导数的极限。这个极限要是存在（可以为无穷），则称为$f(x)$在$x_0$的一个导出数，相应有左（右）导出数。$\{h_n\}$的任意性使得导出数可能是一个实数集，不难证明它是个闭集，从而导出数集上（下）确界也是导出数，这样就可以有左（右）方上（下）导出数的定义，分别记作$D^{-}f(x_0),D_{-}f(x_0),D^{+}f(x_0),D_{-}f(x_0)$。如果所有导出数相等，或者说式（2）成立，则称这唯一的导出数为$f$在$x$点的导数，记作$f^{\prime }(x)$。如果$f^{\prime }(x)$有限，则称$x$为$f$的可微分点。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h_n}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& D^{-}f(x)=D_{-}f(x)=D^{+}f(x)=D_{-}f(x)\end{array}$$

1.2 跳跃函数

　　那些不可微的点，尤其是存在无穷导出数的点，在讨论中是希望被排除出去的。在“简单函数”中，经常会出现函数值的“跳变”，即$f(x_0^{+}),f(x_0^{-})$都存在但不全与$f(x_0)$相等，$x_0$称为第一类不连续点。处理这样的不连续点，也只需平移函数值，使得三者相等，这样原函数就可以按连续函数去分析。一个“简单函数”的第一类不连续点往往是可数的（测度为0），可以将它们集中“剔除出来”分析。为此要使用“跳变函数”$\theta (x)$（在$x>0$由0跳变成1，也叫Heaviside函数），及其变形${\theta }_1(x)=1-\theta (x)$。记$\{x_n\}$是所有跳变点，以及$\{{\lambda }_n\},\{{\mu }_n\}$为$x_0$处的前后跳变量，则式（3）就是抽取出来的“跳跃函数”。其中$|{\lambda }_n|+|{\mu }_n|\ne 0$，$p$可能为$\mathrm{\infty }$）。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \phi (x)=\sum _{n=1}^p{\lambda }_n\theta (x-x_n)+\sum _{n=1}^p{\mu }_n{\theta }_1(x-x_n)\end{array}$$

　　为确保$\phi (x)$存在以及讨论方便，以下假定$\sum (|{\lambda }_n|+|{\mu }_n|)$有限，这时式（3）绝对收敛且是一致收敛的。当$p=\mathrm{\infty }$时，不要把$\{x_n\}$的布局想得过于简单，甚至$\phi (x)$的不连续点也不是理所当然地在$\{x_n\}$。记${\phi }_N$为式（3）的前$N$项和，它的不连续点显然只有$\{x_1,\cdots ,x_N\}$，${\phi }_N(x)$在$x_0\notin \{x_n\}$处是连续的。又由于${\phi }_N$一致收敛于$\phi (x)$，用分析方法不难证明$\phi (x)$在$x_0$处是连续的。这时如果从级数里暂时拿掉跳变点$x_n$，$\phi (x)$就可以表示为在$x_n$处连续的函数${\phi }^{\prime }(x)$，加上一个在$x_n$跳变的函数，因此$\phi (x)$在$x_n$上有相同的跳变。至此我们才扫除了疑虑，$\phi (x)$的跳变点集就是$\{x_n\}$，而且跳变量也是$\{{\lambda }_n\},\{{\mu }_n\}$。

1.3 受控点

　　在讨论简单函数的微分性质时，经常需要估算导出数特殊点的测度，这里会用到一个非常有趣的工具。考虑区间$[a,b]$上的连续函数$g(x)$，对任意点$x\in (a,b)$，如果存在$\xi \in (a,b)$使得$f(\xi )>f(x)$，则称$x$为$g(x)$的右受控点。你随意画出一个函数图像，不难看出右受控点的全体是一个开集$\{(a_k,b_k)\}$，而且有$g(a_k)⩽g(b_k)$，这个结论叫F.Riesz引理。开集不难证明，然后假定存在某个$g(a_k)<g(b_k)$，$b_k$为边界点其实说明了，不存在$x>b_k$而$f(x)>f(b_k)$。考察所有能“控制”$a_k$的点$\xi$，首先由于$g(\xi )>g(b_k)$，显然不能有$\xi ⩾b_k$；然而如果$\xi \in (a_k,b_k)$，则说明$\xi$都是右受控点，但他们的上确界${\xi }_0\in (a_k,b_k)$却不存在控制点，导出矛盾。

　　当$g(x)$只有第一类不连续点时，用式（4）定义右受控点，类似的分析也能证明F.Riesz引理，且有$g(a_k^{+})⩽\hat{g}(b_k)$。然后相应地也有左受控点及其F.Riesz引理，请自行补充。回头再看$f(x)$的导出数，如果存在右方导出数$Df(x)>c$，则说明存在$\xi$使得式（5）成立。这时如果记$g(x)=f(x)-cx$，则式（5）即$g(\xi )>g(x)$，说明$x$是$g(x)$的右受控点。使用F.Riesz引理便得到，所有满足$Df(x)>c$的点$E_c$一定落在一个开集里，端点的不等关系还可以得到估算式（6）。左方导出数和$Df(x)>c$也能得到类似不等关系，它们将是我们讨论可微性的重要工具。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \hat{g}(x)<g(\xi ),\hat{g}(x)=max(g(x^{-}),g(x),g(x^{+}))\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\displaystyle \frac{f(\xi )-f(x)}{\xi -x}}>c,(\xi >x)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& m^{\ast }(E_c)⩽\sum _k(b_k-a_k)⩽{\displaystyle \frac{1}{c}}\sum _k(f(b_k^{-})-f(a_k^{+}))\end{array}$$

2. 单调函数

2.1 单调函数的可微性

　　最常见的“简单函数”就是单调函数，不失一般性，我们只需讨论单调递增函数$f(x)$，它定义在实数区间$[a,b]$上（可拓展为无穷区间）。首先在任意点$x_0$，由左右侧的单调性不难证明，$f(x_0^{+})$和$f(x_0^{-})$都是存在的，所以$f(x)$的不连续点只能是第一类不连续点。另外来考虑这些不连续点的数量，记$E_c$为所有满足$f(x^{+})-f(x^{-})>c$的点，由$f(b)-f(a)$的有限性可知$E_c$的点数也是有限的。这样$f(x)$的所有不连续点$E=\underset{n=1}{\bigcup ^{\mathrm{\infty }}}{E}_{\frac{1}{n}}$就是一个可列集，且不难证明这些不连续点的跳跃度之和不超过$f(b)-f(a)$。这样就可以从$f(x)$中提取出单调跳跃函数$\phi (x)$，而$g(x)=f(x)-\phi (x)$则为单调连续函数。

　　现在来看单调函数的可微性，不失一般性，仍然假定$f(x)$单调递增。$f(x)$可微就是式（2）成立且为有限值，对那些不可微的点，由于导出数总是存在的，可以逐步排除不可微的点集。而使用的基本工具就是估算式（6），它把直观上的“大的变化不能持续很久”用不等式清晰表示出来。首先考虑存在无穷导出数的点集$E_{\mathrm{\infty }}$，它显然是式（6）中$c\to \mathrm{\infty }$的结果，即有$m^{\ast }(E_{\mathrm{\infty }})=0$。然后对于导出数有限的点集，如果左右导出数不全相等，则存在$D_{L}f(x)<D_{R}f(x)$或$D_{L}f(x)>D_{R}f(x)$。任取两个有理数$c>r$，考察式（7）右的不可微点集$E_{c,r}$，它们的可列并组成了所有$D_{L}f<D_{R}f$的点集$E_{<}$。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& E_{<}=\bigcup _{c,r}{E}_{c,r},E_{c,r}=\{x|D_{L}f(x)<r<c<D_{R}f(x)\}\end{array}$$

　　不同于一般的可微点，$E_{c,r}$中的点在局部也表现出一定的“陡升”，它们同样“不能持续很久”。先根据$D_{L}f(x)<r$选定$E_{c,r}$的一个超集$\{(a_k,b_k)\}$，并有估算式（8）左。然后对每个$(a_k,b_k)$使用$c<D_{R}f(x)$，得到$E_{c,r}$更小的超级$\{(a_{k,l},b_{k,l})\}$和估算式（8）右。综合式（8）就得到估算式（9），它表示$E_{c,r}$在$(a,b)$中的比例。如果把这个比例再应用到每个$\{a_{k,l},b_{k,l}\}$里，就得到新的比例${\displaystyle \frac{r^2}{c^2}}$。持续推导下去，比例终将收敛于0，即有$m^{\ast }(E_{c,r})=0$以及$E_{<}$。对$D_{L}f(x)>D_{R}f(x)$同样也有$E_{>}=0$，排除$E_{\mathrm{\infty }},E_{<},E_{>}$之后的点集都是可微的，也就是说单调函数几乎处处可微。 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& f(b_k^{-})-f(a_k^{+})⩽r(b_k-a_k);b_{k,l}-a_{k,l}⩽{\displaystyle \frac{1}{c}}(f(b_{kl}^{-})-f(a_{kl}^{+}))\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& m^{\ast }(E_{c,r})⩽m(\bigcup _{c,r}(a_{k,l},b_{k,l}))⩽{\displaystyle \frac{r}{c}}(b-a)\end{array}$$

2.2 Fubini定理

　　单调函数的几乎处处可微性是比较深刻的结论，据此还可以推到出逐项求导的Fubini定理。记$\{f_n(x)\}$都是$[a,b]$上的单调递增（递减）函数，并且级数$\sum f_n$处处收敛于$f(x)$，Fubini定理就是式（10）的逐项求导公式。首先由于$f(x)$和$f_n(x)$都是单调递增函数，它们的导函数$f^{\prime }(x),f_n^{\prime }(x)$几乎处处存在。考察部分和函数$S_n(x)=\underset{i=1}{\sum ^n}{f}_i(x)$，由于$f_n(x)$单调递增使得$f_n^{\prime }(x)=S_n^{\prime }(x)-S_{n-1}^{\prime }(x)$几乎处处为正，得出式（11）后便知道式（10）右几乎处处收敛。为了证明收敛函数为$f^{\prime }(x)$，需要用到收敛的隐含结论$f_n^{\prime }(x)\stackrel{m}{\to }0$，以及$f_n(x)\to f(x)$（前面只用到$f(x)$是上限）。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& f^{\prime }(x)\stackrel{m}{=}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n^{\prime }(x),(f_n(x)\to f(x))\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& S_{n-1}^{\prime }(x)⩽S_n^{\prime }(x)⩽f^{\prime }(x)\end{array}$$

　　由于$S_n(x)\to f(x)$，则可以构造单调增加的函数列$\{f(x)-S_{n_k}(x)\}$，且函数列的级数和收敛（取$f(b)-S_{n_k}(b)$足够小）。这与$\{f_n(x)\}$的性质一样，从而导函数当$n\to \mathrm{\infty }$时也几乎处处收敛于0，即$f^{\prime }(x)-S_{n_k}^{\prime }(x)\stackrel{m}{\to }0$或者$S_{n_k}^{\prime }(x)\stackrel{m}{\to }{f}^{\prime }(x)$。又由于$S_n^{\prime }(x)$在$n$方向单调递增且几乎处处收敛，显然能得到式（10）。来看一个Fubini定理的应用，考察$[a,b]$上跳跃函数$\phi (x)$。由于$\theta (x-x_n),{\theta }_1(x-x_n)$都是单调函数，且导函数几乎处处为0，而$\phi (x)$是它们的级数之和，直接使用定理便有：${\phi }^{\prime }(x)\stackrel{m}{\to }0$。

2.3 两个构造例子

　　在得到单调函数的导函数$f^{\prime }(x)$后，可以反过来再计算它的积分（修正不可微的值），看微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹定理）是否成立。利用导函数的定义，构造几乎处处收敛于$f^{\prime }(x)$的函数列$\{{\phi }_n(x)={\displaystyle \frac{f(x+1/n)-f(x)}{1/n}}\}$（$f(b)\mathrm{后}\mathrm{适}\mathrm{当}\mathrm{扩}\mathrm{充}$），而$\phi (x)$的积分更容易计算。不难证明函数列的积分下极限是有限的（式（12）），然后根据Fatou引理便知，函数列极限的积分有（13）成立。注意这里的结论不是等式，这不难理解，你也能轻松举出不相等的例子。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{lim}}{\int }_a^b{\phi }_n(x)\mathrm{d}x=f(b)-f(a^{+})\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\int }_a^b{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x⩽f(b)-f(a)\end{array}$$

　　最后我们来构造一个不可思议的函数$f(x)$，它在$[0,1]$上连续且严格单调递增，却有$f^{\prime }(x)\stackrel{m}{=}0$。先设$f_0(x)=x$，而后假定$f_{n+1}(x)$在$\{{\displaystyle \frac{k}{2^n}}\}$上与$f_n(x)$相同，在这些点的中点处取略高出一点（式（14）），而后把所有的点$\{{\displaystyle \frac{k}{2^{n+1}}}\}$依次以直线相连。函数列$\{f_n(x)\}$随$n$单调递增且有界，故处处收敛于单调函数$f(x)$。先把$f(x)$限定在所有点${\displaystyle \frac{k}{2^n}}$构成的空间$E_0$上，从构造过程不难证明$f(x)$在$E_0$上连续且严格单调递增；结合$f(x)$本身的单调性，可知它在$[0,1]$上连续且严格单调递增。另外$f(x)$几乎处处可微，对$f^{\prime }(x)$存在且有限的点，它应该是式（15）的极限，其中$({\alpha }_n,{\beta }_n)$为包含$x$的$n$级区间。由于右边的乘法级数不收敛（项不收敛于1），故极限只能为0，所以$f^{\prime }(x)\stackrel{m}{=}0$。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& f_{n+1}\left({\displaystyle \frac{2k+1}{2^{n+1}}}\right)=(1-\lambda )f_n\left({\displaystyle \frac{k}{2^n}}\right)+\lambda f_n\left({\displaystyle \frac{k+1}{2^n}}\right),(0<\lambda <{\displaystyle \frac{1}{2}})\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\displaystyle \frac{f({\beta }_n)-f({\alpha }_n)}{{\beta }_n-{\alpha }_n}}=\prod _{k=1}^n(1\pm 2\lambda )\end{array}$$