【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度

合集 - 实变与泛函(8)

1.【实变函数】01 - 更合理的积分2023-05-032.【实变函数】02 - 测度论基础2023-05-033.【实变函数】03 - 可测函数2023-05-034.【实变函数】04 - 基于测度的积分2023-05-03

5.【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度2023-05-03

6.【实变函数】06 - 导数和单调函数2023-05-037.【实变函数】07 - 微积分基本定理2023-05-038.【实变函数】08 - 广义测度和积分2023-05-03

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1. 积分的极限

　　积分与极限运算的交换，是数学分析中的重要工具。但在Riemann积分中，运算交换需要较强的条件，特别是麻烦的“一致收敛性”。然而“一致收敛性”并不是运算交换的必要条件，但是从Riemann积分的定义出发，却很难再有进一步的弱化条件。本篇你将看到，在基于测度的积分上，极限性质只需一些非常简单好用的条件。

1.1 控制收敛定理

　　考察$E$上的可测函数列$\{f_n(x)\}$，它们依测度收敛于可测函数$f(x)$，我们要讨论的是积分与极限互换（式（1））条件。首先为了让$f_n(x)$都可积，假定存在可积函数$F(x)$使得$|f_n|\underset{\mu }{⩽}F$，其中$F$也叫函数列的控制函数。由依测度收敛的定理可知，存在子列$\{f_{n_i}\}$几乎处处收敛于$f$，继而不难证明$|f|\underset{\mu }{⩽}F$，所以$f(x)$也是可积的。最终要证的是$f_n-f$的积分极限趋于零，这里不妨把它分成三个“无限小”的部分。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_E{f}_n(x)\mathrm{d}\mu ={\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu \end{array}$$

　　首先$f_n-f$是被$2F$控制的，所以存在测度有限的可测集$E_k\subset E$，使得$|f_n-f|$在$E-E_k$上积分小于$\epsilon$。接着在$E_k$上，记$E_0=E_k(|f_n-f|>\epsilon )$，由依测度收敛可知$n$足够大之后，$\mu (E_0)$会小于任意小值$\delta$。而根据积分的全连续性，$|f_n-f|$在$E_0$上的积分可以小于$\epsilon$。最后记$F$的积分值为$s$，那么$|f_n-f|$在$E_k-E_0$上的积分小于$s\epsilon$。总结便有，$|f_n-f|$在$E$上的积分总能小于$(s+2)\epsilon$，从而极限为0。总结一下这个控制收敛定理：假如可测函数列$\{f_n\}$有可积控制函数，且以测度收敛于可测函数$f$，则有式（1）成立。

　　不难发现，如果把定理中的“以测度收敛”改成“几乎处处收敛”，证明只需稍作改动便仍然成立。这使得控制收敛定理更具有一般性，关键字也只有“控制”和“收敛”两条。另外在一些特殊条件下，定理也显然成立。比如如果$\mu$是完全测度，则$f$可测是隐含在其中的。再比如如果$\mu (E)$是有限的，而$\{|f_n|\}$有统一上届$K$，这时$F(x)=K$便为可积的控制函数。另外，如果把函数列改成连续的“函数簇”，定理仍然成立。比如考察二元函数$f(x,t)$，如果$F_t(x)=f(x,t)$都是Lebesgue可测函数，且有控制函数$|f(x,t)|\underset{\mu }{⩽}F(x)$，又$t^{\prime }\to t$时都有$f(x,t^{\prime })$几乎处处（或依测度）收敛于$f(x,t)$，则控制收敛定理是说：式（2）的积分存在且为$t$的连续函数。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& I(t)={\int }_a^{b}f(x,t)\mathrm{d}x\end{array}$$

　　在上一篇中，我们得到了Lebesgue积分对Riemann积分的兼容性，即在$[a,b]$上的Riemann可积函数$f(x)$（有界），也一定是Lebesgue可积的（全测度空间）。现在继续研究一般Riemann可积的充要条件，以彻底找到Riemann可积的边界。使用的工具仍然是上一篇中定义的分点组列$\{D_n\}$，以及其上的上下界阶梯函数列$\{{\psi }_n\},\{{\phi }_n\}$，它们是两种积分的桥梁。先说结论，Riemann可积充要条件是：$f(x)$在$[a,b]$上（关于$m$）几乎处处连续。这是比Lebesgue可积强很多的条件，以下来证明结论。

　　首先如果$f(x)$Riemann可积，上篇已知阶梯函数列的极限存在，且有$\phi \underset{m}{=}f\underset{m}{=}\psi$。记$E_0$为等号不成立的点集，再记$E_1$为所有$D_n$的分割点，显然$m(E_0\cup E_1)=0$。而对$E_0\cup E_1$之外的任意点$x_0$，$\phi (x_0)=f(x_0)=\psi (x_0)$就意味着$f(x_0)$周围的点与其无限逼近，也就说$f(x)$在$x_0$连续。反之如果$f(x)$几乎处处连续，则阶梯函数列极限存在且有$\phi \underset{m}{=}\psi$。从Lebusgue积分的角度看这个等式，就是说阶梯函数列有界（控制）且有极限，从而${\phi }_n,{\psi }_n$的积分的极限存在且相等。阶梯函数在两种积分上的定义是相同的，而这个结论在Riemann积分上就是说$f(x)$可积。

1.2 Levi引理和Fatou引理

　　控制收敛定理是比较基础的结论，但控制函数的确定有时并不容易，而“控制”却以其它形式存在着。比如假设可积递增函数列$\{f_n\}$的积分有上界$K$，这里的“控制”条件是积分有界，讨论函数列极限的积分之前，最好先有简单的可积函数。为此不妨先把函数列限定在有限值域$N$和定义域$E_N$上，这时递增函数列$\{[f_n{]}_N\}$收敛于$[h{]}_N$，其中$h(x)$是$\{f_n\}$的极限，它在$E_{\mathrm{\infty }}$上的值为$+\mathrm{\infty }$。这里的$[h{]}_N$当然可积，它既是$[f_n{]}_N$的极限函数也是控制函数，从而有式（3）成立。如果$h(x)$是有限正实函数，则式（3）说明它可积，下面需要讨论$E_{\mathrm{\infty }}$的情况。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\int }_{E_N}[h{]}_N\mathrm{d}\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{E_N}[f_n{]}_N\mathrm{d}\mu ⩽K\end{array}$$

　　首先，式（4）的定义可以说明$E_{\mathrm{\infty }}$是可测集。再由正函数$[h{]}_N$的积分有共同上界$K$，不难得知$E([h{]}_N=N)⩽{\displaystyle \frac{K}{N}}$，当$N\to \mathrm{\infty }$时即有$m(E_{\mathrm{\infty }}）=0$。假定把$h(x)$在$E_{\mathrm{\infty }}$上的值修改为零，并记得到的函数是$f(x)$，以上结论说明$\{f_n\}$几乎处处收敛于可积函数$f(x)$，这就回到了控制收敛定理。证明中如果$h(x)$不恒为正，只要利用$\{f_n-f_0\}$上的结果便能去除这个限制。整个结论可以总结为Levi引理：如果可积递增（减）函数列$\{f_n\}$的积分有上（下）界$K$，则函数列几乎处处收敛于一个可积函数$f(x)$，且有等式（1）成立。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& E_{\mathrm{\infty }}=\bigcap _{N=1}^{\mathrm{\infty }}E([h{]}_N=N)\end{array}$$

　　再来看一个更一般的“控制收敛”的结论。可积函数列$\{f_n\}$有可积的上界函数$h(x)$，即$f_n\underset{\mu }{⩽}h$，要讨论的是函数列上（下）极限的积分与积分的上（下）极限的关系。先看函数列的上极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overline{lim}}{f}_n$，考察它在具体点上的值，其直观意义是“上界函数的下界函数”。记$F_{m,n}=max\{f_m,\cdots ,f_n\}$，“上界函数”是说$F_m=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_{m,n}$，由于$F_{m,n}$关于$n$递增但“受控”于$h$，根据Levi引理可知$F_m$可积（修改零测度的$\mathrm{\infty }$值），且有不等式（5）。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\int }_E{F}_m\mathrm{d}\mu ⩾\underset{k⩾m}{sup}{\int }_E{f}_k\mathrm{d}\mu \end{array}$$

　　而$F_m$显然又关于$m$递减，且以${\int }_E{f}_k\mathrm{d}\mu$的上极限（如果存在）为下限，再次使用Levi引理可知，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overline{lim}}{f}_n=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_m$可积（修改零测度的$\mathrm{\infty }$值），并结合式（5）有式（6）的Fatou引理。同理函数列的下极限也有对应的Fatou引理，而通过上下的Fatou引理又能直接证明控制收敛定理。至此，其实我们完成了控制收敛定理、Lavi引理、Fatou引理的“循环证明”，它们本质上揭露了同样的性质。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\int }_E\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overline{lim}}{f}_n\mathrm{d}\mu ⩾\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overline{lim}}{\int }_E{f}_n\mathrm{d}\mu \end{array}$$

2. 多维测度

2.1 乘积可测空间

　　到此为止，我们已经梳理完从测度到积分的定义和性质。在继续走下去之前，你有必要回顾一下其主要思想和结论，以下讨论将是它们的综合应用。测度在欧几里得空间中的典型例子是长度、面积、体积，在那里我们注意到，高维空间的测度其实是低维测度的积分。下面我们就顺着这个思路，尝试定义一般“高维空间”的测度。特别值得提醒的是，以下会反复使用一种论证空间$\mathbf{A}=\mathbf{B}$的方法，即$\mathbf{A}$中包含某些生成元、且对$\mathbf{B}$的特征运算封闭。

　　首先对于一般的点集$X,Y$，它们的笛卡尔积$X\times Y$也称为$X,Y$的乘积空间。为了讨论$X\times Y$的可测空间，并且与可测空间$(X,\mathbf{S}),(Y,\mathbf{T})$建立联系，先考察乘积空间中的简单子集类$\mathbf{P}=\{A\times B|A\in \mathbf{S},B\in \mathbf{T}\}$，其中每个子集$A\times B$也叫以$A,B$为边的矩形。假定两个可测空间上有测度$\mu ,\nu$，则规定$A\times B$的测度为$\mu (A)\nu (B)$是最合理且自然的，以下讨论便基于这个预想。

　　然而$\mathbf{P}$还不是可测空间，它甚至都不是一个环。为此记$\sigma$-环$\mathbf{S}(\mathbf{P})=\mathbf{S}\times \mathbf{T}$，并称$(X\times Y,\mathbf{S}\times \mathbf{T})$为乘积可测空间。它是由$\mathbf{P}$拓展到的最小可测空间，而$\sigma$环可以保证它足够丰富实用。但是$\mathbf{S}(\mathbf{P})$里的集已经很难与简单的矩形相联系，讨论起来十分不方便。更多时候我们把它看成单调类$\mathbf{M}(\widehat{\mathbf{S}\times \mathbf{T}})$，其中集类$\widehat{\mathbf{S}\times \mathbf{T}}$的元素是$\mathbf{P}$中有限个互不相交的矩形之并，不难证明它是一个环，从而有式（7）的等价关系。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathbf{M}(\widehat{\mathbf{S}\times \mathbf{T}})=\mathbf{S}(\widehat{\mathbf{S}\times \mathbf{T}})=\mathbf{S}\times \mathbf{T}\end{array}$$

　　为了继续讨论$\mathbf{S}\times \mathbf{T}$上的测度及其与$\mu ,\nu$的关系，这里还需要一些基础的定义。对$X\times Y$上的任意的子集$E$，式（8）左被称为$E$上被$x$决定的截口，或简称$x$-截口。同样还有$y$-截口，以及式（9）中$f(x,y)$被$x,y$决定的截口。由于交并差运算的截口等价于截口的交并差，也就是说保持截口可测的“封闭集”一定是$\sigma$-环，从而$\mathbf{M}(\mathbf{P})$元素的截口都是可测的，继而其上的可测函数的截口也是可测函数。总结便是：乘积可测空间上，可测集的截口是可测集，可测函数的截口也是可测函数。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& E_x=\{y|(x,y)\in E\};E^y=\{x|(x,y)\in E\}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& f_x(y)=f(x,y);f^y(x)=f(x,y)\end{array}$$

2.2 乘积测度空间

　　以下开始建立$\mathbf{S}\times \mathbf{T}$上的测度定义，而基本的预期是，任意可测集$E\in \mathbf{S}\times \mathbf{T}$，它的测度$\lambda (E)$类似平面图形的面积，应当是两个维度截口的积分。式（10）是我们要达到的目标，下面要讨论等式成立的条件，以及它是否满足测度的定义。最终建立的测度称为乘积测度，也记作$\mu \times \nu$，整个乘积测度空间则是$(X\times Y,\mathbf{S}\times \mathbf{T},\mu \times \nu )$。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \lambda (E)={\int }_X\nu (E_x)\mathrm{d}\mu ={\int }_Y\mu (E^y)\mathrm{d}\nu \end{array}$$

　　首先把$(X,\mathbf{S},\mu )$和$(Y,\mathbf{T},\nu )$限定为全有限测度空间，并证明式（10）的两个积分相等。刚才已经说明过，截口$E_x,E^y$一定是可测集，现在要证明$\nu (E_x),\mu (E^y)$都是可测函数、积分存在且相等，这一点从$\mathbf{M}(\widehat{\mathbf{S}\times \mathbf{T}})$的角度讨论比较方便。首先对任意矩形$E=A\times B\in \mathbf{P}$，结论显然成立；然后对$E\in \widehat{\mathbf{S}\times \mathbf{T}}$，有限个不相交矩阵的截口仅是矩形截口的有限和，结论仍然成立。最后要证明满足等式的集类是单调类，以单调增加集类$E_1\subset E_2\subset \cdots$为例，并记$E=\underset{n=1}{\bigcup ^{\mathrm{\infty }}}{E}_n$。由于$\{\nu (E_{nx})\}$可积且单调递增，积分还有上限$\mu (X)\nu (Y)$，根据Levie引理，函数列的极限$\nu (E_x)$可积且有式（11）成立。同样可以得到$E^y$的等式（12），并最终得到式（10）。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X\nu (E_{nx})\mathrm{d}\mu ={\int }_X\nu (E_x)\mathrm{d}\mu \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_Y\mu (E_n^y)\mathrm{d}\nu ={\int }_Y\mu (E^y)\mathrm{d}\nu \end{array}$$

　　以上证明过程其实已经包含了测度的条件，即$\lambda (E)$非负且满足可列可加性（利用式（11）），从而$\lambda$是乘积测度$\mu \times \nu$。对于一般的测度空间，如果存在有限测度的$A,B$使得$E\subset A\times B$，可以证明式（13）成立（请自行论证）。也就是说$\mathbf{S}\times \mathbf{T}$在限制$A\times B$下，是全有限的测度空间的乘积空间，式（10）在限制下仍然成立，而且在不同限制下式（10）的值都是一样的。利用这个受限的性质，并结合可列性，可以将结论进一步带到$\sigma$-有限的测度空间。以下总假定$(X,\mathbf{S},\mu )$和$(Y,\mathbf{T},\nu )$为$\sigma$-有限测度空间，对任意集合$E\in \mathbf{S}\times \mathbf{T}$，如果$E$可以被有限矩形$A\times B$覆盖，则定义式（14）为其测度值。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \mathbf{S}\times \mathbf{T}\cap A\times B=(\mathbf{S}\cap A)\times (\mathbf{T}\cap B)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \lambda (E)={\int }_A\nu (E_x)\mathrm{d}\mu ={\int }_B\mu (E^y)\mathrm{d}\nu \end{array}$$

　　对于一般的$E\in \mathbf{S}\times \mathbf{T}$，首先由$\mathbf{S}\times \mathbf{T}=\mathbf{S}(\mathbf{P})$，必存在$\mathbf{P}$中的单调序列$\{F_n\}$，使得$E\subset \underset{n=1}{\bigcup ^{\mathrm{\infty }}}{F}_n$。另外对每个$F_n\in \mathbf{P}$，也必存在有限矩形的单调序列$\{F_{nk}\}$，使得$F_n\subset \underset{k=1}{\bigcup ^{\mathrm{\infty }}}{F}_{nk}$。由此不难构造出一个有界矩形的递增序列$\{E_n\}$，使得$E\subset \underset{n=1}{\bigcup ^{\mathrm{\infty }}}{E}_n$，这时定义式（15）为其测度值。同样可以证明，式（15）的值不因$\{E_n\}$的选取而不同，该定义式良性的。最后还需证明（14）（15）定义的值满足可列可加性，这样$\lambda$在$\sigma$-有限空间也是乘积测度$\mu \times \nu$，并且是满足矩阵测度的唯一测度（利用封闭运算）。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \lambda (E)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\lambda (E\cap E_n)\end{array}$$

　　设$E$有可列划分$\underset{i=0}{\bigcup ^{\mathrm{\infty }}}{F}_i$，测度值$\lambda (E),\lambda (F_i)$统一使用式（15）的定义。可列可加性本质上是两个极限的互换，只需一点分析方法即可证明两个方向的不等关系。首先式（16）说明$\lambda (E)⩾\underset{i=0}{\sum ^{\mathrm{\infty }}}\lambda (F_i)$，式（17）则说明$\lambda (E)⩽\underset{i=0}{\bigcup ^{\mathrm{\infty }}}\lambda (F_i)$（$E_k$同上定义，等式成立因为限制下为测度），从而可列可加性得证。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \lambda (E)⩾\lambda \left(\bigcup _{i=0}^n{F}_i\right)=\sum _{i=0}^n\lambda (F_i)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \lambda (E_k\cap (\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{F}_i))=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\lambda (E_k\cap F_i)⩽\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\lambda (F_i)\end{array}$$

2.3 Fubini定理

　　建立完乘积测度空间，就可以像在一般测度空间一样计算二元函数$f(x,y)$的积分。由于乘积测度是由单维测度定义的，乘积测度空间的积分也一定与单维测度空间的积分有着密切关联。为了描述方便，积分${\int }_{E}f(x,y)\mathrm{d}\mu \times \nu$被称为$E=A\times B\in \mathbf{S}\times \mathbf{T}$上的重积分，而式（18）称为$E$上的累次积分或二次积分。注意累次积分是有积分顺序的，所以还有累次积分${\iint }_{BA}f(x,y)\mathrm{d}\mu \mathrm{d}\nu$，由于对称性，后面不会重复讨论它。类似于数学分析中重积分的结论，下面来讨论更一般化的Fubini定理（式（19））及其成立条件。

$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\iint }_{AB}f(x,y)\mathrm{d}\nu \mathrm{d}\mu ={\int }_A({\int }_{B}f(x,y)\mathrm{d}\nu )\mathrm{d}\mu \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\int }_{E}f\mathrm{d}\mu \times \nu ={\iint }_{AB}f\mathrm{d}\nu \mathrm{d}\mu ={\iint }_{BA}f\mathrm{d}\mu \mathrm{d}\nu \end{array}$$

　　还是先限定$\mu (A),\nu (B)<\mathrm{\infty }$，并假设$f(x,y)$是$E$上关于$\mu \times \nu$的正可积函数，以下从特殊函数逐步讨论到一般函数。首先式（14）已经说明对特征函数${\chi }_E$总有式（19）成立，接下来的思路在第3篇用过很多次，将$E$按值域分割为有限个子集$E_n^k=A\times B({\displaystyle \frac{n-1}{2^k}}⩽f<{\displaystyle \frac{n}{2^k}})$，并在$E^k=\underset{n=1}{\bigcup ^{2^{k+1}}}{E}_n^k$上上定义“阶梯函数”${\phi }_k(x,y)$（特征函数的线性和）。函数列$\{{\phi }_k\}$递增且收敛于$f(x,y)$，根据Levi引理有式（20）成立。对右式使用式（19）并记${\psi }_k(x)=\int {\phi }_k\mathrm{d}\nu$，式（20）说明可积函数列$\{{\psi }_k\}$几乎处处收敛于可积函数$\psi (x)$。这在一方面可以把右式替换成${\int }_A\psi (x)\mathrm{d}\mu$，另一方面给定了可积函数列$\{{\phi }_{kx}(y)\}$的积分极限，从而有$\psi (x)={\int }_{B}f\mathrm{d}\nu$，式（20）得证。

$$\begin{array}{}\text{(20)}& {\int }_{A\times B}f\mathrm{d}\mu \times \nu =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{A\times B}{\phi }_k\mathrm{d}\mu \times \nu \end{array}$$

　　如果$f(x,y)$不是恒正的，那分成正负两部证明即可。如果$A\times B$不是有限的，则根据$\sigma$-有限性分割为可列个有限矩形，最后利用积分的可列可加性也能得到式（20）。最后有两点需要提醒，一个是Fubini定理的逆定理也成立，即如果式（20）的某个累次积分存在，则累次积分也存在，从而另一个累次积分也存在且都相等。证明方法是考察可积的限定函数列$\{[f(x,y){]}_N\}$，那个存在的累次积分就是函数列积分的上界，再次使用Lavi引理整得累次积分存在。另一个是证明中出现了“几乎处处收敛”，不管是函数$f_x(y)$还是$\psi (x)$，都需要在零集进行修补才能确保累次积分的存在性。特别地，如果$E\in \mathbf{S}\times \mathbf{T}$是$\mu \times \nu$-零集，则非负函数$\psi (x)$几乎处处为0，也就是说截口$E_x$（以及$E^y$）的测度几乎处处为0。

　　最后讨论一下乘积测度的完全性。假定$(X,\mathbf{S},\mu )$和$(Y,\mathbf{T},\nu )$都是完全测度空间，取零集$A\in \mathbf{S}$和不可测集$B\in \mathbf{T}$，$E=A\times B$是零集的子集但截口$E_x$恒不可测。上段的结论说明$E$不可测，即乘积测度空间不是完全测度空间。继续将其扩张成为完全测度空间$(X\times Y,(\mathbf{S}\times \mathbf{T}{)}^{\ast },\mu \times \nu )$，由于增补的只是一些零集，以上的性质并不会发生根本变化。还是假定原单维空间都是$\sigma$-有限的完全测度空间，对任意$E\in (\mathbf{S}\times \mathbf{T}{)}^{\ast }$，可以证明截口$E_x,E^y$几乎处处可测，还有可测函数$f(x,y)$的截口$f_x(y),f^y(x)$几乎处处是可测函数。

　　先看测度为0的$E$，总能找到测度为0的$F\in \mathbf{S}\times \mathbf{T}$使得$E\subset F$，上面已经说明$F_x,F^y$几乎处处为0，从而$E_x,E^y$几乎处处为0。对一般的$E$，也能找到$F\in \mathbf{S}\times \mathbf{T}$使得$E\subset F$且$F-E$测度为0，由$(F-E{)}_x,(F-E{)}^y$几乎处处为0即得$E_x,E^y$几乎处处可测。对于可测函数$f(x,y)$，也是先从特征函数开始，然后讨论到特征函数的线性组合，最后构造收敛于$f$的特征函数线性组合的函数列$\{f_n\}$，不难论证截口$f_x(y),f^y(x)$几乎处处是可测函数。由于去掉异常的零集并不影响积分，Fubini定理及其逆定理在这个完全测度空间上仍然成立。