【实变函数】08 - 广义测度和积分

合集 - 实变与泛函(8)

1.【实变函数】01 - 更合理的积分2023-05-032.【实变函数】02 - 测度论基础2023-05-033.【实变函数】03 - 可测函数2023-05-034.【实变函数】04 - 基于测度的积分2023-05-035.【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度2023-05-036.【实变函数】06 - 导数和单调函数2023-05-037.【实变函数】07 - 微积分基本定理2023-05-03

8.【实变函数】08 - 广义测度和积分2023-05-03

收起

　　本篇我们将对测度做更一般的讨论，以将其推广到更大的范围。

1. 变数变换和L-S测度

1.1 变数变换

　　我们知道，测度是一个集函数，也就是子集到实数的映射。如果定义两个基本空间的映射$\phi :X_1\to X_2$，就有可能建立两个测度空间的关联。具体来说，假定$\phi$建立在两个测度空间$\{E_1,{\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}\},\{E_2,{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}\}$之间，得要求对任意$E\in {\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}$，都有${\phi }^{-1}(E)\in {\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}$，这样的映射$\phi$称为可测映射。甚至可以认为，测度本身其实就是测度空间$\{X,\mathbf{R}\}$到$\{X^1,\mathbf{B}\}$的可测映射。

　　然后也很显然，在可测映射下，$X_2$上的可测函数$y=f(x_2)=f\circ \phi (x_1)$仍然是可测函数。当讨论$f\circ \phi (x_1)$的积分时，还需要考虑映射的性质、以及${\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathbf{R}}_{\mathbf{2}}$上测度的关系。首先为了简单起见，先假定$\phi$为一一映射并且${\mathbf{R}}_1={\phi }^{-1}({\mathbf{R}}_2)$，这样的可测映射被称为同构可测映射。这时显然可以将${\mu }_1={\mu }_2\circ \phi$定义为${\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}$的测度，最终也不难证明，$f(x_2)$关于${\mu }_2$可积的充要条件是$f\circ \phi (x_1)$关于${\mu }_1$可积，并且两者积分相等（式（1））。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_{E}f(x_2)\mathrm{d}{\mu }_2={\int }_{{\phi }^{-1}(E)}f\circ \phi (x_1)\mathrm{d}{\mu }_1\end{array}$$

　　• 求证：$f(x),f(x+t)$的Lebesgue积分相等。

　　如果你已经彻底明白刚才的讨论，一定会发现式（1）成立不一定要同构映射，而关键是映射保持原像测度的不变。等式左边积分存在时，如果式（2）的映射和测度成立，则等式右边的积分也存在（且与左边相等）。反之等式右边的积分存在时，如果式（3）的映射和测度成立，则等式左边的积分也存在（且与右边相等）。使得（2）（3）同时成立的映射$x_2=\phi (x_1)$也称为保测变换，这样的变换下可以自由地变数变换。当然，更多的变数变换并不是保测变换，这里暂且不展开讨论了。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& E_2\in {\mathbf{R}}_2\Rightarrow {\phi }^{-1}(E_2)\in {\mathbf{R}}_1,{\mu }_1({\phi }^{-1}(E_2))={\mu }_2(E_2)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& E_1\in {\mathbf{R}}_1\Rightarrow \phi (E_1)\in {\mathbf{R}}_2,{\mu }_2(\phi (E_1))={\mu }_1(E_1)\end{array}$$

1.2 Lebesgue-Stieltjes测度

　　在Lebesgue测度的定义中，假定了每个点的“密度”是均匀的，然而这并不是测度的限定条件。所以Lebesgue-Stieltjes测度拓展了Lebesgue测度，它赋予每个点更具体的“密度”。严格来说，假定$g(x)$是$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$上单调增加的右方连续函数，它就是描述“密度”的分布函数。然后在区间$E=(a,b]$上的测度${\mu }_g(E)$定义为$g(b)-g(a)$，与Lebesgue测度的证明一样，它也可以延拓到Borel集乃至L-S集${\mathbf{L}}_g$。${\mathbf{L}}_g$上的完全测度也常写作$g$，$(E^1,{\mathbf{L}}_g,g)$是全$\sigma$-有限完全测度空间。

　　${\mathbf{L}}_g$有很多跟$\mathbf{L}$集一样的性质，比如Borel集满足$\mathbf{B}\subset {\mathbf{L}}^g$，它也是由Borel集和零集组成。然后集合$E\in {\mathbf{L}}_g$的充要条件有三者之一：（1）存在开集$E\subset O$使得$g(O-E)$任意小；（2）存在闭集$F\subset E$使得$g(E-F)$任意小；（3）同时存在存在开集闭集$F\subset E\subset O$，使得$g(O-F)$任意小。

　　接下来自然也有L-S可测空间、L-S可测函数、L-S积分${\int }_{E}f\mathrm{d}g$等概念。需要注意的是，随着$g(x)$的不同，${\mathbf{L}}^g$也会不同，从而$f(x)$的可测性与可积性也不同。常被使用的Baire函数（Borel可测函数）当然是L-S测度空间的可测函数。而且不难证明，如果$f(x)$是有界Borel集上的有界Baire函数，那它一定是L-S可积的。另外还可以证明，第3篇最后的鲁津定理对L-S可积函数仍然成立，并且都存在连续的逼近函数（式（4））。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\int }_a^b|f-\phi |\mathrm{d}g<\epsilon \end{array}$$

2. 广义的导数

2.1 全连续

　　L-S测度的“密度”定义，其实会给我们更好的启发，为Lebesgue空间的每个点赋予非负的“密度”值，可以得到新的测度。而且如果再规定“密度”函数$f(x)$是可积的，则显然新的测度$\nu$就是式（5）中的积分。这个用积分定义新测度的方法，对一般测度空间也是成立的。而且自然地，可以把“密度”函数视为两个测度之间的导数，比如式（5）中称$f(x)$为$\nu$关于$\mu$的Radon-Nikodym导数（R-N导数），记作${\displaystyle \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\mu }}$。如同微积分里对函数可导性的讨论，现在也需要回答：可测空间的两种测度，什么情况会存在R-N导数？

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \nu (E)={\int }_{E}f\mathrm{d}\mu ,E\in \mathbf{R}\end{array}$$

　　这个问题可以先从L-S测度寻求答案，想要“密度”函数可积，而且积分正是分布函数$g(x)$，上篇的基本定理告诉我们：$g(x)$必须是全连续函数。在一般测度$\mu ,\nu$上，类似地也可以规定，如果对任意$\epsilon >0$存在$\delta >0$，使得$\mu (E)<\delta$时必有$\nu (E)<\epsilon$，则称$\nu$关于$\mu$是强全连续的。之所以加个“强”字，因为这个条件还是过于苛刻了，而且使用也不方便。来看强连续的一个性质，定义中如果直接取$\mu (E)=0$，则$\nu (E)$必须任意小，从而一定有$\nu (E)=0$。这个性质称$\nu$关于$\mu$全连续，记作$\nu \ll \mu$，所以强全连续包含了全连续。

　　反之如果已知全连续$\nu \ll \mu$成立，看什么条件下强全连续可以成立。取任意序列$\mu (E_n)<{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$，然后生成单调下降序列$\{F_n=\underset{k=n}{\bigcup ^{\mathrm{\infty }}}{E}_k\}$。根据$\mu (F_n)$的有限性，可知极限$F_n\to F$的测度$\mu (F)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (F_n)=0$，根据全连续性，应该有$\nu (F)=0$。如果增加$\nu$有限的条件（必要），就有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\nu (F_n)=\nu (F)=0$，最终由$E_n$的任意性可知强全连续成立。所以在有界测度下，强全连续和全连续是等价的。上一篇中的全连续函数限定在有限区间$[a,b]$上，因此虽然描述的是强全连续，但用全连续的名称也是合理的。最后在$\sigma$-有限测度上，许多问题可以化解到可列个有限测度集上讨论，因此全连续性也是足够有效的。

2.2 R-N定理

　　现在回到“可导性”的证明。设$\nu ,\mu$是可测空间$(X,\mathbf{R})$上的两个全$\sigma$-有限的测度，并且$\nu \ll \mu$，需要证明存在$f(x)$使得式（5）成立。显然想在每个点$x\in X$上定义$f(x)$是不可能的，而只能从一簇函数里构造其存在性。这里先限定$\nu ,\mu$都是全有限测度，并记对任意$E$都满足式（6）的全体非负可测函数集为$\mathrm{\Gamma }$。直觉上$f(x)$应该是$\mathrm{\Gamma }$的上限，但考虑到单个点函数值的任意性，这样的取法并不合适；而真正合理的取法应当是，在$X$上的积分能达到上限值。具体来说，假定$X$上积分的上限值为$\alpha <\mathrm{\infty }$，然后选取函数列$\{h_n\}$使其积分趋向$\alpha$（式（7）），猜测$f_0=\underset{n}{sup}\{h_n\}$就是我们要找的“导函数”。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\int }_{E}h(x)\text{d}\mu ⩽\nu (E),E\in \mathbf{R}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X{h}_n(x)\text{d}\mu =\alpha =\underset{h\in \mathrm{\Gamma }}{sup}\left\{{\int }_{X}h\text{d}\mu \right\}\end{array}$$

　　记可测函数$f_n(x)=max(h_1,\cdots ,h_n)$，显然$\{f_n\}$单调递增且积分都有上限$\mu (E)$，根据Levi引理可知$f_0=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n$是可积函数，且在$E$上的积分${\int }_E{f}_0\text{d}\mu ⩽\nu (E)$。如果在某个$E_0$上等号不成立，由$\nu \ll \mu$先知道$\mu (E_0)>0$，然后给$f_0(x)$增补一个足够小的特征函数${\displaystyle \frac{1}{N}}{\chi }_{E_0}$。不难证明$f_0+{\displaystyle \frac{1}{N}}{\chi }_{E_0}$仍然属于$\mathrm{\Gamma }$，但其积分却大于$\alpha$，导出矛盾。这就是说$f_0$在任何$E$上的积分都等于$\nu (E)$，$f_0(x)$就是我们要找的R-N导数，一般记作${\displaystyle \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\mu }}$。请自行证明导函数的唯一性，并将结论扩展到$\sigma$-有限测度上。

　　R-N导数反应了两个全连续测度之间的关联，由于测度与积分的本质等价，式（5）也可以看成积分的“换元法”。对于选定的$E$，定义$f(x)$为其可测子集$A$的特征函数${\chi }_A$，R-N导数说明式（8）成立。对于一般的$f(x)$，它可以表示为阶梯函数列$\{f_n\}$的极限，利用函数积分极限的性质，很容易知道式（8）也还是成立。这个结论的严格表述为：设$\nu ,\mu$是$(X,\mathbf{R})$上两个全$\sigma$-有限测度，且$\nu \ll \mu$，则可测函数$f(x)$在$E$上关于$\nu$可积的充要条件是，$f{\displaystyle \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\mu }}$在$E$上关于$\mu$可积，且有式（8）成立。你可以轻松把它对应到微积分的换元公式，并自行推到出分部积分公式（9）。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\int }_E\text{d}\nu (E)={\int }_{E}f{\displaystyle \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\mu }}\mathrm{d}\mu ,E\in \mathbf{R}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\int }_a^{b}f\text{d}g+{\int }_a^{b}g\text{d}f=f(b)g(b)-f(a)g(a)\end{array}$$

2.3 Lebesgue分解定理

　　回头再看全连续$\nu \ll \mu$的条件：$\mu (E)=0$必有$\nu (E)=0$。它所描述的是很直观的条件，即$\mu$有正值的“范围”包含了$\nu$有正值的范围。对于一般的测度$\nu ,\mu$，容易看出有$\mu \ll (\mu +\nu ),\nu \ll (\mu +\nu )$，这个结论下面会用到。另外我们自然还想到把$\nu$拆分与$\mu$全连续和“非全连续”两部分，为此需要定义一个相反的测度关系。如果存在集$A$，使得对一切$E\in \mathbf{R}$都有式（10）右成立，这时称$\nu ,\mu$是相互奇异的，记作$\nu \perp \mu$。奇异与全连续是相反的，它是说$\mu$零值的“范围”包含了$\nu$有正值的范围。典型例子如实数域上的跳跃函数$\phi (x)$生成的测度$\phi$，它的正测度分布在可列个点上，因此有$\phi \perp \mu$。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \nu \perp \mu \iff \nu (E\cap A)=0,\mu (E-A)=0\end{array}$$

　　另一个复杂一点的例子是奇异函数$s(x)$，它在$[a,b]$上单调增加但几乎处处导数为0，直觉上它生成的Borel集测度$s$非零值也集中在某个$m$零集上。记$E=\{x|s^{\prime }(x)=0\}-\{a,b\}$，则存在Boral集$F_{\delta }=\bigcup F_n\subset E$，且有$m([a,b]-F_{\delta })=0$。对任意$F_n$，根据$x\in F_n$上的导数为0，并利用Borel覆盖定理，请自行证明$s(F_n)$可以无限小，从而$s(F_{\delta })=\bigcup s(F_n)=0$，证得$s\perp m$。这时再看Lebesgue分解定理，有界变差函数$g(x)$被分解为全连续函数$g_c(x)$和奇异部分$g_s(x)+\phi (x)$。如果把它们都看成测度的生成函数，则分解定理就把一般测度分解成了全连续测度和奇异测度两部分。

　　现在就来看Lebesgue分解定理的更一般形式，目的是将一般测度$\nu$拆分成与$\mu$全连续和奇异的两部分。设$\nu ,\mu$是$(X,\mathbf{R})$上两个全$\sigma$-有限测度，现在要找能包含所有“$\nu$上非零而$\mu$上为零“的区域（当然还可以包含一些两者都为零的区域）。记$f_{\mu }={\displaystyle \frac{\text{d}\mu }{\text{d}(\mu +\nu )}}$，可以发现$A=X(f_{\mu }=0)$正是满足条件的区域。为此按式（11）分解$\nu ={\nu }_c+{\nu }_s$，请自行证明${\nu }_c\ll \mu ,{\nu }_s\perp \mu$。另外如果存在另一个分解$\nu ={\nu }_c^{\prime }+{\nu }_s^{\prime }$，从${\nu }_c-{\nu }_c^{\prime }={\nu }_s^{\prime }-{\nu }_s$出发可以证得${\nu }_c={\nu }_c^{\prime },{\nu }_s={\nu }_s^{\prime }$，所以分解具有唯一性。这个唯一分解就是一般的Lebesgue分解定理。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\nu }_c(E)=\nu (E-A);{\nu }_s(E)=\nu (E\cap A)\end{array}$$

3. 广义测度

　　以上讨论中，把测度看成“密度函数”的积分，将测度和积分紧密联系起来。而一般可积函数$f(x)$的积分其实是函数正部$f^{+}$和负部$f^{-}$的积分之差，如果测度的“密度函数”也允许有负值，则测度和积分就是完全等价的。当然这样的定义只是启发性的，为了给出严格的新测度定义，还是要回到可测空间$(X,\mathbf{R})$上描述集函数$\mu$。假定有子集$A\subset X$，使得对一切$E\in \mathbf{R}$都有$E\cap A$可测且$\mu (E\cap A)⩾0$，则称$A$为$\mu$的正集，同样可以定义负集。以上新测度可以描述为这样的集函数$\mu$：$X$可以被分割为正集$A$和负集$B$，而$\mu$在$\mathbf{R}\cap A$上、$-\mu$在$\mathbf{R}\cap B$上都是测度，且只有一个可以取到$\mathrm{\infty }$。

　　这个集函数$\mu$被称为广义测度，对比一般测度的定义，广义测度满足：（1）$\mu (\varnothing )=0$；（2）可列可加性；（3）$\pm \mathrm{\infty }$只可能存在一个。其实反过来，满足这3条的集函数也一定是广义测度，证明之前先假定$\mu$不能取$-\mathrm{\infty }$。证明方法是构造最大的可测负集，记$\alpha \ne -\mathrm{\infty }$为所有可测负集函数值$\mu (C)$的下限值，并取可测负集序列$\mu (C_n)\to \alpha$。可以证明$B=\bigcup C_n$还是可测负集，且$\mu (B)=\alpha$，下面证明$A=X-B$是$\mu$的正集。否则如果存在可测子集$E\subset A$满足$\mu (E)<0$，但由于$E$不能是负集，必能构造出测度最大的子集$E_0\subset E$（模仿C的构造），这时$E-E_0$必定是负集，导出矛盾。

　　这个根据（1）~(3)找到正负集分割的结论叫Hahn分解定理，当然满足条件的分解方法并不唯一，因为测度为零的集可以划分到任何一侧。然而容易证明，对不同的分割式（12）所定义的两个普通测度是唯一确定的，它们分别称为正（负）变差测度，另外$|\mu |={\mu }^{+}+{\mu }^{-}$也称为全变差测度。显然有$\mu ={\mu }^{+}-{\mu }^{-}$，这就是一般的Jordan分解定理，也对应到任意可积函数的积分都是一个广义测度。教材上一开始就把广义测度定义为两个普通测度的差，不难证明这个定义与前面两个的等价性（先证它也有3个性质）。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\mu }^{+}(E)=\mu (E\cap A),{\mu }^{-}(E)=-\mu (E\cap B)\end{array}$$

　　全变差测度$|\mu |$是广义测度的上限，它在很多性质决定的过程中比较重要。比如容易证明，$\mu$是（全/$\sigma$-）有限的充要条件是$|\mu |$（全/$\sigma$-）有限。再比如，把$f(x)$对广义测度的可积定义为同时对${\mu }^{+},{\mu }^{-}$可积，并定义式（13）的对广义测度的积分，其实$f(x)$的可积性等价于它关于$|\mu |$可积。对应有Lebesgue广义积分，其积分值${\int }_a^{x}f\text{d}t$是一个有界变差函数（两个递增函数之差），所以如果把L-S积分的中的生成函数$g(x)$换成有界变差函数，那就是广义的L-S积分。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\int }_{E}f\text{d}\mu ={\int }_{E}f\text{d}{\mu }^{+}+{\int }_{E}f\text{d}{\mu }^{-}\end{array}$$

　　广义测度在根本上与一般测度无异，只要不是特别要求正值的性质，在广义测度上仍然成立。比如，有界可测函数一定可积；积分的线性（函数或测度的线性和）；式（14）的绝对值不等式；积分的全连续性；积分的控制收敛定理等。只是要注意，以往关于$\mu$的“零集”“几乎处处”都要改成对$|\mu |$的“零集”“几乎处处”。特别地，把测度之间（强）全连续的条件全部换成$|\nu |,|\mu |$，请自行证明对广义测度，仍然有R-N定理（式（5））、换元公式（8）、分部积分公式（9）成立。最后把测度相互奇异的条件也换成$|\nu |,|\mu |$，同样有广义测度的相互奇异性、以及Lebesgue分解定理成立。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \left|{\int }_{E}f\text{d}\mu \right|⩽{\int }_E|f|\text{d}|\mu |\end{array}$$

 

---

【全篇完】