【实变函数】08 - 广义测度和积分
本篇我们将对测度做更一般的讨论，以将其推广到更大的范围。
1. 变数变换和L-S测度
1.1 变数变换
我们知道，测度是一个集函数，也就是子集到实数的映射。如果定义两个基本空间的映射\(\varphi:\,X_1\to X_2\)，就有可能建立两个测度空间的关联。具体来说，假定\(\varphi\)建立在两个测度空间\(\{E_1,\mathbf{R_1}\},\{E_2,\mathbf{R_2}\}\)之间，得要求对任意\(E\in\mathbf{R_2}\)，都有\(\varphi^{-1}(E)\in\mathbf{R_1}\)，这样的映射\(\varphi\)称为可测映射。甚至可以认为，测度本身其实就是测度空间\(\{X,\mathbf{R}\}\)到\(\{X^1,\mathbf{B}\}\)的可测映射。
然后也很显然，在可测映射下，\(X_2\)上的可测函数\(y=f(x_2)=f\circ\varphi(x_1)\)仍然是可测函数。当讨论\(f\circ\varphi(x_1)\)的积分时，还需要考虑映射的性质、以及\(\mathbf{R_1,R_2}\)上测度的关系。首先为了简单起见，先假定\(\varphi\)为一一映射并且\(\mathbf{R}_1=\varphi^{-1}(\mathbf{R}_2)\)，这样的可测映射被称为同构可测映射。这时显然可以将\(\mu_1=\mu_2\circ\varphi\)定义为\(\mathbf{R_1}\)的测度，最终也不难证明，\(f(x_2)\)关于\(\mu_2\)可积的充要条件是\(f\circ\varphi(x_1)\)关于\(\mu_1\)可积，并且两者积分相等（式（1））。
\[\int_Ef(x_2)\,\mathrm{d}\mu_2=\int_{\varphi^{-1}(E)}f\circ\varphi(x_1)\,\mathrm{d}\mu_1\tag{1}\]
• 求证：\(f(x),f(x+t)\)的Lebesgue积分相等。
如果你已经彻底明白刚才的讨论，一定会发现式（1）成立不一定要同构映射，而关键是映射保持原像测度的不变。等式左边积分存在时，如果式（2）的映射和测度成立，则等式右边的积分也存在（且与左边相等）。反之等式右边的积分存在时，如果式（3）的映射和测度成立，则等式左边的积分也存在（且与右边相等）。使得（2）（3）同时成立的映射\(x_2=\varphi(x_1)\)也称为保测变换，这样的变换下可以自由地变数变换。当然，更多的变数变换并不是保测变换，这里暂且不展开讨论了。
\[E_2\in\mathbf{R}_2\;\Rightarrow\;\varphi^{-1}(E_2)\in\mathbf{R}_1,\;\mu_1(\varphi^{-1}(E_2))=\mu_2(E_2)\tag{2}\]
\[E_1\in\mathbf{R}_1\;\Rightarrow\;\varphi(E_1)\in\mathbf{R}_2,\;\mu_2(\varphi(E_1))=\mu_1(E_1)\tag{3}\]
1.2 Lebesgue-Stieltjes测度
在Lebesgue测度的定义中，假定了每个点的“密度”是均匀的，然而这并不是测度的限定条件。所以Lebesgue-Stieltjes测度拓展了Lebesgue测度，它赋予每个点更具体的“密度”。严格来说，假定\(g(x)\)是\((-\infty,+\infty)\)上单调增加的右方连续函数，它就是描述“密度”的分布函数。然后在区间\(E=(a,b]\)上的测度\(\mu_g(E)\)定义为\(g(b)-g(a)\)，与Lebesgue测度的证明一样，它也可以延拓到Borel集乃至L-S集\(\mathbf{L}_g\)。\(\mathbf{L}_g\)上的完全测度也常写作\(g\)，\((E^1,\mathbf{L}_g,g)\)是全\(\sigma\)-有限完全测度空间。
\(\mathbf{L}_g\)有很多跟\(\mathbf{L}\)集一样的性质，比如Borel集满足\(\mathbf{B}\subset\mathbf{L}^g\)，它也是由Borel集和零集组成。然后集合\(E\in\mathbf{L}_g\)的充要条件有三者之一：（1）存在开集\(E\subset O\)使得\(g(O-E)\)任意小；（2）存在闭集\(F\subset E\)使得\(g(E-F)\)任意小；（3）同时存在存在开集闭集\(F\subset E\subset O\)，使得\(g(O-F)\)任意小。
接下来自然也有L-S可测空间、L-S可测函数、L-S积分\(\int_Ef\,\mathrm{d}g\)等概念。需要注意的是，随着\(g(x)\)的不同，\(\mathbf{L}^g\)也会不同，从而\(f(x)\)的可测性与可积性也不同。常被使用的Baire函数（Borel可测函数）当然是L-S测度空间的可测函数。而且不难证明，如果\(f(x)\)是有界Borel集上的有界Baire函数，那它一定是L-S可积的。另外还可以证明，第3篇最后的鲁津定理对L-S可积函数仍然成立，并且都存在连续的逼近函数（式（4））。
\[\int_a^b|f-\varphi|\,\mathrm{d}g<\varepsilon\tag{4}\]
2. 广义的导数
2.1 全连续
L-S测度的“密度”定义，其实会给我们更好的启发，为Lebesgue空间的每个点赋予非负的“密度”值，可以得到新的测度。而且如果再规定“密度”函数\(f(x)\)是可积的，则显然新的测度\(\nu\)就是式（5）中的积分。这个用积分定义新测度的方法，对一般测度空间也是成立的。而且自然地，可以把“密度”函数视为两个测度之间的导数，比如式（5）中称\(f(x)\)为\(\nu\)关于\(\mu\)的Radon-Nikodym导数（R-N导数），记作\(\dfrac{\text{d}\nu}{\text{d}\mu}\)。如同微积分里对函数可导性的讨论，现在也需要回答：可测空间的两种测度，什么情况会存在R-N导数？
\[\nu(E)=\int_Ef\,\mathrm{d}\mu,\;E\in\mathbf{R}\tag{5}\]
这个问题可以先从L-S测度寻求答案，想要“密度”函数可积，而且积分正是分布函数\(g(x)\)，上篇的基本定理告诉我们：\(g(x)\)必须是全连续函数。在一般测度\(\mu,\nu\)上，类似地也可以规定，如果对任意\(\varepsilon>0\)存在\(\delta>0\)，使得\(\mu(E)<\delta\)时必有\(\nu(E)<\varepsilon\)，则称\(\nu\)关于\(\mu\)是强全连续的。之所以加个“强”字，因为这个条件还是过于苛刻了，而且使用也不方便。来看强连续的一个性质，定义中如果直接取\(\mu(E)=0\)，则\(\nu(E)\)必须任意小，从而一定有\(\nu(E)=0\)。这个性质称\(\nu\)关于\(\mu\)全连续，记作\(\nu\ll\mu\)，所以强全连续包含了全连续。
反之如果已知全连续\(\nu\ll\mu\)成立，看什么条件下强全连续可以成立。取任意序列\(\mu(E_n)<\dfrac{1}{2^n}\)，然后生成单调下降序列\(\left\{F_n=\underset{k=n}{\overset{\infty}{\bigcup}} E_k\right\}\)。根据\(\mu(F_n)\)的有限性，可知极限\(F_n\to F\)的测度\(\mu(F)=\underset{n\to\infty}{\lim}\mu(F_n)=0\)，根据全连续性，应该有\(\nu(F)=0\)。如果增加\(\nu\)有限的条件（必要），就有\(\underset{n\to\infty}{\lim}\nu(F_n)=\nu(F)=0\)，最终由\(E_n\)的任意性可知强全连续成立。所以在有界测度下，强全连续和全连续是等价的。上一篇中的全连续函数限定在有限区间\([a,b]\)上，因此虽然描述的是强全连续，但用全连续的名称也是合理的。最后在\(\sigma\)-有限测度上，许多问题可以化解到可列个有限测度集上讨论，因此全连续性也是足够有效的。
2.2 R-N定理
现在回到“可导性”的证明。设\(\nu,\mu\)是可测空间\((X,\mathbf{R})\)上的两个全\(\sigma\)-有限的测度，并且\(\nu\ll\mu\)，需要证明存在\(f(x)\)使得式（5）成立。显然想在每个点\(x\in X\)上定义\(f(x)\)是不可能的，而只能从一簇函数里构造其存在性。这里先限定\(\nu,\mu\)都是全有限测度，并记对任意\(E\)都满足式（6）的全体非负可测函数集为\(\Gamma\)。直觉上\(f(x)\)应该是\(\Gamma\)的上限，但考虑到单个点函数值的任意性，这样的取法并不合适；而真正合理的取法应当是，在\(X\)上的积分能达到上限值。具体来说，假定\(X\)上积分的上限值为\(\alpha<\infty\)，然后选取函数列\(\{h_n\}\)使其积分趋向\(\alpha\)（式（7）），猜测\(f_0=\underset{n}{\sup}\{h_n\}\)就是我们要找的“导函数”。
\[\int_Eh(x)\,\text{d}\mu\leqslant\nu(E),\;E\in\mathbf{R}\tag{6}\]
\[\underset{n\to\infty}{\lim}\int_Xh_n(x)\,\text{d}\mu=\alpha=\underset{h\in\Gamma}{\sup}\left\{\int_Xh\,\text{d}\mu\right\}\tag{7}\]
记可测函数\(f_n(x)=\max(h_1,\cdots,h_n)\)，显然\(\{f_n\}\)单调递增且积分都有上限\(\mu(E)\)，根据Levi引理可知\(f_0=\underset{n\to\infty}{\lim}f_n\)是可积函数，且在\(E\)上的积分\(\int_Ef_0\,\text{d}\mu\leqslant\nu(E)\)。如果在某个\(E_0\)上等号不成立，由\(\nu\ll\mu\)先知道\(\mu(E_0)>0\)，然后给\(f_0(x)\)增补一个足够小的特征函数\(\dfrac{1}{N}\chi_{E_0}\)。不难证明\(f_0+\dfrac{1}{N}\chi_{E_0}\)仍然属于\(\Gamma\)，但其积分却大于\(\alpha\)，导出矛盾。这就是说\(f_0\)在任何\(E\)上的积分都等于\(\nu(E)\)，\(f_0(x)\)就是我们要找的R-N导数，一般记作\(\dfrac{\text{d}\nu}{\text{d}\mu}\)。请自行证明导函数的唯一性，并将结论扩展到\(\sigma\)-有限测度上。
R-N导数反应了两个全连续测度之间的关联，由于测度与积分的本质等价，式（5）也可以看成积分的“换元法”。对于选定的\(E\)，定义\(f(x)\)为其可测子集\(A\)的特征函数\(\chi_A\)，R-N导数说明式（8）成立。对于一般的\(f(x)\)，它可以表示为阶梯函数列\(\{f_n\}\)的极限，利用函数积分极限的性质，很容易知道式（8）也还是成立。这个结论的严格表述为：设\(\nu,\mu\)是\((X,\mathbf{R})\)上两个全\(\sigma\)-有限测度，且\(\nu\ll\mu\)，则可测函数\(f(x)\)在\(E\)上关于\(\nu\)可积的充要条件是，\(f\dfrac{\text{d}\nu}{\text{d}\mu}\)在\(E\)上关于\(\mu\)可积，且有式（8）成立。你可以轻松把它对应到微积分的换元公式，并自行推到出分部积分公式（9）。
\[\int_E\,\text{d}\nu(E)=\int_Ef\dfrac{\text{d}\nu}{\text{d}\mu}\,\mathrm{d}\mu,\;E\in\mathbf{R}\tag{8}\]
\[\int_a^bf\,\text{d}g+\int_a^bg\,\text{d}f=f(b)g(b)-f(a)g(a)\tag{9}\]
2.3 Lebesgue分解定理
回头再看全连续\(\nu\ll\mu\)的条件：\(\mu(E)=0\)必有\(\nu(E)=0\)。它所描述的是很直观的条件，即\(\mu\)有正值的“范围”包含了\(\nu\)有正值的范围。对于一般的测度\(\nu,\mu\)，容易看出有\(\mu\ll(\mu+\nu),\nu\ll(\mu+\nu)\)，这个结论下面会用到。另外我们自然还想到把\(\nu\)拆分与\(\mu\)全连续和“非全连续”两部分，为此需要定义一个相反的测度关系。如果存在集\(A\)，使得对一切\(E\in\mathbf{R}\)都有式（10）右成立，这时称\(\nu,\mu\)是相互奇异的，记作\(\nu\perp\mu\)。奇异与全连续是相反的，它是说\(\mu\)零值的“范围”包含了\(\nu\)有正值的范围。典型例子如实数域上的跳跃函数\(\varphi(x)\)生成的测度\(\varphi\)，它的正测度分布在可列个点上，因此有\(\varphi\perp\mu\)。
\[\nu\perp\mu\;\Leftrightarrow\;\nu(E\cap A)=0,\,\mu(E-A)=0\tag{10}\]
另一个复杂一点的例子是奇异函数\(s(x)\)，它在\([a,b]\)上单调增加但几乎处处导数为0，直觉上它生成的Borel集测度\(s\)非零值也集中在某个\(m\)零集上。记\(E=\{x|s'(x)=0\}-\{a,b\}\)，则存在Boral集\(F_\delta=\bigcup F_n\subset E\)，且有\(m([a,b]-F_{\delta})=0\)。对任意\(F_n\)，根据\(x\in F_n\)上的导数为0，并利用Borel覆盖定理，请自行证明\(s(F_n)\)可以无限小，从而\(s(F_\delta)=\bigcup s(F_n)=0\)，证得\(s\perp m\)。这时再看Lebesgue分解定理，有界变差函数\(g(x)\)被分解为全连续函数\(g_c(x)\)和奇异部分\(g_s(x)+\varphi(x)\)。如果把它们都看成测度的生成函数，则分解定理就把一般测度分解成了全连续测度和奇异测度两部分。
现在就来看Lebesgue分解定理的更一般形式，目的是将一般测度\(\nu\)拆分成与\(\mu\)全连续和奇异的两部分。设\(\nu,\mu\)是\((X,\mathbf{R})\)上两个全\(\sigma\)-有限测度，现在要找能包含所有“\(\nu\)上非零而\(\mu\)上为零“的区域（当然还可以包含一些两者都为零的区域）。记\(f_\mu=\dfrac{\text{d}\mu}{\text{d}(\mu+\nu)}\)，可以发现\(A=X(f_\mu=0)\)正是满足条件的区域。为此按式（11）分解\(\nu=\nu_c+\nu_s\)，请自行证明\(\nu_c\ll\mu,\nu_s\perp\mu\)。另外如果存在另一个分解\(\nu=\nu'_c+\nu'_s\)，从\(\nu_c-\nu'_c=\nu'_s-\nu_s\)出发可以证得\(\nu_c=\nu'_c,\nu_s=\nu'_s\)，所以分解具有唯一性。这个唯一分解就是一般的Lebesgue分解定理。
\[\nu_c(E)=\nu(E-A);\;\nu_s(E)=\nu(E\cap A)\tag{11}\]
3. 广义测度
以上讨论中，把测度看成“密度函数”的积分，将测度和积分紧密联系起来。而一般可积函数\(f(x)\)的积分其实是函数正部\(f^+\)和负部\(f^-\)的积分之差，如果测度的“密度函数”也允许有负值，则测度和积分就是完全等价的。当然这样的定义只是启发性的，为了给出严格的新测度定义，还是要回到可测空间\((X,\mathbf{R})\)上描述集函数\(\mu\)。假定有子集\(A\subset X\)，使得对一切\(E\in\mathbf{R}\)都有\(E\cap A\)可测且\(\mu(E\cap A)\geqslant 0\)，则称\(A\)为\(\mu\)的正集，同样可以定义负集。以上新测度可以描述为这样的集函数\(\mu\)：\(X\)可以被分割为正集\(A\)和负集\(B\)，而\(\mu\)在\(\mathbf{R}\cap A\)上、\(-\mu\)在\(\mathbf{R}\cap B\)上都是测度，且只有一个可以取到\(\infty\)。
这个集函数\(\mu\)被称为广义测度，对比一般测度的定义，广义测度满足：（1）\(\mu(\varnothing)=0\)；（2）可列可加性；（3）\(\pm\infty\)只可能存在一个。其实反过来，满足这3条的集函数也一定是广义测度，证明之前先假定\(\mu\)不能取\(-\infty\)。证明方法是构造最大的可测负集，记\(\alpha\ne -\infty\)为所有可测负集函数值\(\mu(C)\)的下限值，并取可测负集序列\(\mu(C_n)\to\alpha\)。可以证明\(B=\bigcup C_n\)还是可测负集，且\(\mu(B)=\alpha\)，下面证明\(A=X-B\)是\(\mu\)的正集。否则如果存在可测子集\(E\subset A\)满足\(\mu(E)<0\)，但由于\(E\)不能是负集，必能构造出测度最大的子集\(E_0\subset E\)（模仿C的构造），这时\(E-E_0\)必定是负集，导出矛盾。
这个根据（1）~(3)找到正负集分割的结论叫Hahn分解定理，当然满足条件的分解方法并不唯一，因为测度为零的集可以划分到任何一侧。然而容易证明，对不同的分割式（12）所定义的两个普通测度是唯一确定的，它们分别称为正（负）变差测度，另外\(|\mu|=\mu^++\mu^-\)也称为全变差测度。显然有\(\mu=\mu^+-\mu^-\)，这就是一般的Jordan分解定理，也对应到任意可积函数的积分都是一个广义测度。教材上一开始就把广义测度定义为两个普通测度的差，不难证明这个定义与前面两个的等价性（先证它也有3个性质）。
\[\mu^+(E)=\mu(E\cap A),\;\mu^-(E)=-\mu(E\cap B)\tag{12}\]
全变差测度\(|\mu|\)是广义测度的上限，它在很多性质决定的过程中比较重要。比如容易证明，\(\mu\)是（全/\(\sigma\)-）有限的充要条件是\(|\mu|\)（全/\(\sigma\)-）有限。再比如，把\(f(x)\)对广义测度的可积定义为同时对\(\mu^+,\mu^-\)可积，并定义式（13）的对广义测度的积分，其实\(f(x)\)的可积性等价于它关于\(|\mu|\)可积。对应有Lebesgue广义积分，其积分值\(\int_a^xf\,\text{d}t\)是一个有界变差函数（两个递增函数之差），所以如果把L-S积分的中的生成函数\(g(x)\)换成有界变差函数，那就是广义的L-S积分。
\[\int_Ef\,\text{d}\mu=\int_Ef\,\text{d}\mu^++\int_Ef\,\text{d}\mu^-\tag{13}\]
广义测度在根本上与一般测度无异，只要不是特别要求正值的性质，在广义测度上仍然成立。比如，有界可测函数一定可积；积分的线性（函数或测度的线性和）；式（14）的绝对值不等式；积分的全连续性；积分的控制收敛定理等。只是要注意，以往关于\(\mu\)的“零集”“几乎处处”都要改成对\(|\mu|\)的“零集”“几乎处处”。特别地，把测度之间（强）全连续的条件全部换成\(|\nu|,|\mu|\)，请自行证明对广义测度，仍然有R-N定理（式（5））、换元公式（8）、分部积分公式（9）成立。最后把测度相互奇异的条件也换成\(|\nu|,|\mu|\)，同样有广义测度的相互奇异性、以及Lebesgue分解定理成立。
\[\left|\int_Ef\,\text{d}\mu\right|\leqslant\int_E|f|\,\text{d}|\mu|\tag{14}\]
【全篇完】
