【实变函数】04 - 基于测度的积分

合集 - 实变与泛函(8)

1.【实变函数】01 - 更合理的积分2023-05-032.【实变函数】02 - 测度论基础2023-05-033.【实变函数】03 - 可测函数2023-05-03

4.【实变函数】04 - 基于测度的积分2023-05-03

5.【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度2023-05-036.【实变函数】06 - 导数和单调函数2023-05-037.【实变函数】07 - 微积分基本定理2023-05-038.【实变函数】08 - 广义测度和积分2023-05-03

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1. 有限有界积分

1.1 积分及存在性

　　有了前两篇的铺垫，现在可以顺理成章地定义积分的概念了。和Riemann积分一样，定义要分成两步，先是在有限定义域的有界函数上，然后使用极限法推广到一般函数上。具体来说，设$E$是某测度空间的有限可测集（$\mu (E)<\mathrm{\infty }$），$f(x)$是$E$上的有界可测函数（$f(x)\subset (l,u)$）。取值域的任一分点组$D:l=y_0<y_1<\cdots <y_n=u$，式（1）分别记分组点距$\delta (D)$和原象集$E_k$，式（2）就是我们用来讨论积分的一个“和数”。定义中的分组点和代表值$\xi$可以自由变动，然而如果$\delta (D)\to 0$时$S(D)$也收敛于定值$s$，那么称$f(x)$是可积的，并称$s$为$f(x)$的积分，式（3）的记法强调了$E$和$\mu$。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \delta (D)=\underset{k}{max}(y_k-y_{k-1});E_k=E(y_{k-1}⩽f(x)<y_k)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& S(D)=\sum _{k=1}^n{\xi }_k\mu (E_k),y_{k-1}⩽{\xi }_k⩽y_k\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \underset{\delta (D)\to 0}{lim}S(D)=s={\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu \end{array}$$

　　式（2）中${\xi }_k$分别取$y_k,y_{k-1}$而得到的和数，分别叫“大和数”$\bar{S}(D)$和“小和数”$\underset{―}{S}(D)$。对两个分组点$D_1,D_2$，可以将它们合并为分组点$D$，不难证明式（4）的不等关系，以及大小和数之差可以任意小（必须要$E$有限）。这说明大和数的下确界$\bar{S}$与下和数的上确界$\underset{―}{S}$，不仅有$\bar{S}⩾\underset{―}{S}$，而且等号是成立的（式（5）），即$f(x)$总是可积的。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \underset{―}{S}(D_i)⩽\underset{―}{S}(D)⩽\bar{S}(D)⩽\bar{S}(D_j),(D_i,D_j\subset D)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \underset{D}{sup}\underset{―}{S}(D)=\underset{D}{inf}\bar{S}(D)={\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu \end{array}$$

1.2 积分的性质

　　简单讨论几个积分的性质，下段的一般积分中也会用到它们，更多的性质到后面再讨论。在定义域上，记$E_1,\cdots ,E_n$是$E$的一个分割，直接利用定义（交换级数顺序），可得式（6）的有限可加性。在值域上，就是讨论积分函数的线性和，证明其实没有本质困难，根本上用到的还是$E$的有限性。对$f(x),g(x)$各自的分组区间$d_i,d_j^{\prime }$，记子集$e_{ij}=E(f(x)\in d_i,g(x)\in d_j^{\prime })$，不难有式（7）的不等关系（以及类似的反向关系）。两边级数求和并取极限就得到${\int }_E(f+g)\mathrm{d}\mu ={\int }_{E}f\mathrm{d}\mu +{\int }_{E}g\mathrm{d}\mu$，再加上显然的常数等式，就是式（8）的线性关系。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu =\sum _{i=1}^n{\int }_{E_i}f(x)\mathrm{d}\mu \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\int }_{e_{ij}}(f+g)\mathrm{d}\mu ⩽\delta \mu (e_{ij})+{\int }_{e_{ij}}f\mathrm{d}\mu +{\int }_{e_{ij}}g\mathrm{d}\mu \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\int }_E(\alpha f(x)+\beta g(x))\mathrm{d}\mu =\alpha {\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu +\beta {\int }_{E}g(x)\mathrm{d}\mu \end{array}$$

　　有限可加性和线性是两个最基本、最常用的性质，由此还能得到一些有用的性质。首先容易证明式（9）的单调性，并由此推出式（10）的绝对值不等式。特别地，如果$f(x)\underset{\mu }{⩾}0$，且${\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu =0$，则$E(f>0)=\bigcup E(f>{\displaystyle \frac{1}{n}})$是零集，即有$f(x)\underset{\mu }{=}0$。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& f(x)\underset{\mu }{⩾}g(x)\Rightarrow {\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu ⩾{\int }_{E}g(x)\mathrm{d}\mu \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& |{\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu |⩽{\int }_E|f(x)|\mathrm{d}\mu \end{array}$$

　　在Lebesgue测度空间上，可以定义Lebesgue可积（积分），积分一般记作$(L){\int }_{E}f(x)\mathrm{d}x$或省去$(L)$，为区分Riemann积分则要使用标识$(R)$。现在我们要证明，Lebesgue积分是兼容Riemann积分的。具体来说，如果$f(x)$在$[a.b]$上Riemann可积（普通积分，不包含反常积分），那么它也是Lebesgue可积的，且有式（11）成立。从Riemann积分的定义入手，构造$[a,b]$上的分点组列$\{D_n\}$，满足$D_n\subset D_{n+1},\delta (D_n)\to 0$。在每个分点组上构造上下界阶梯函数${\phi }_n(x),{\psi }_n(x)$，这些函数便是连接两种积分的桥梁，因为它们的积分极限等价于Riemann积分的定义，而且它们又都是可测函数。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& (L){\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=(R){\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

　　根据普通Riemann积分的定义，不难证明$f(x)$是有界的，从而$\{{\phi }_n(x)\},\{{\psi }_n(x)\}$单调且有界，它们存在极限函数$\phi (x),\psi (x)$且也是可测的。考察阶梯函数的积分并取极限，不难证得式（12）成立。另外从函数列极限的角度，有式（13）左成立，结合式（12）便有式（13）的结论。在全测度空间上，$f(x)$也是可测函数以及有积分式（11）。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& (L){\int }_E\phi (x)\mathrm{d}x=(L){\int }_E\psi (x)\mathrm{d}x=(R){\int }_{E}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \phi (x)⩽f(x)⩽\psi (x);\phi (x)\underset{\mu }{=}f(x)\underset{\mu }{=}\psi (x)\end{array}$$

2. 更一般的积分

2.1 完整的积分定义

　　现在把测度定义扩展到无限的无穷可测函数上，或者也可以看成积分定义的后续部分。具体来说，实变可测函数$f(x)$的定义域$E$是$\sigma$-有限集，值域也可能没有上下界。$E$是$\sigma$-有限集意味着，存在一列测度有限的单调覆盖集，使得式（14）成立。扩展的积分应当是$E_n$上普通积分的极限，这正是限定在$\sigma$-有限集上而不是任意无限集上的原因。对于无界函数，自然的想法是先把函数值限定在$[-N,N]$上，然后讨论$N\to \mathrm{\infty }$时积分的极限。为了描述方便，假定$f(x)$被限定在$[-N,N]$之后记作$[f{]}_N(x)$（$f(x)>N(<-N)$的函数值修改为$N(-N)$。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& E=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n,\mu (E_n)<\mathrm{\infty },E_1\subset E_2\subset \cdots \end{array}$$

　　为了得到更好的结果，我们需要暂时再加一个限制条件：假定$f(x)$是非负函数，这将是新积分与黎曼积分的一个较大差别。条件具备后，要定义的积分就是：如果式（15）右的极限存在，则称$f(x)$在测度空间是可积的，极限值就是$f(x)$的积分。当然你可能发现，这个积分定义好像比较依赖$\{E_N\}$和$N$，而积分值理应跟覆盖集还有值域增序列的选取无关。其实根据式（15）右积分的递增性，不难证明任何一种新的选取都不会超过式（15）的极限值，然后由对称关系可知，所有选取的极限值一定都相等。所以式（15）定义的积分式是确定的，而且是最简洁的一种。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{E_N}[f(x){]}_N\mathrm{d}\mu \end{array}$$

　　现在来看$f(x)$的值为任意实数的情况，在已有如上定义的状况下，一个自然的想法是：分别计算函数正部$f^{+}=max(f,0)$和负部$f^{-}=max(-f,0)$的积分。式（16）便是积分定义的第三部分，它与式（3）（15）组成完整的积分定义。“正负部”分离可能会缩小可积函数的范围，但这更符合实际使用的需求，而且可以得到更多有意义的性质。虽然普通积分（3）没有分正负部，但式（15）的积分是完全兼容（3）的。以下就基于这个完整的积分定义，讨论剩下的积分性质。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& {\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu ={\int }_E{f}^{+}(x)\mathrm{d}\mu -{\int }_E{f}^{-}(x)\mathrm{d}\mu \end{array}$$

2.2 积分的性质

　　在讨论一般积分的性质时，一定会用到上面普通积分的性质，只是还要留意积分存在性的证明，以及定义第二、三部分的分步讨论。其中式（16）提醒我们，$f(x)$可积与$|f(x)|$可积是等价的，可以先在正值上讨论，然后顺便推广到一般值上。这一点与Riemann积分是不同的，Riemann积分可积还包括那种“正负部都不可积，但合在一起刚好相互抵消”的情况，Lebesgue积分并不讨论这种特殊情况。然后式（15）极限的存在性，在正值函数的情况下，其实只要证明极限存在上限即可。

　　比如证明式（6）的有限可加性，先看$f(x)>0$的情况，设$\{F_n\}$是$E$的一个单调覆盖，则有式（17）普通积分的有限可加性。它就足以说明，$f(x)$在$E$上可积的充要条件是：它在$\{E_i\}$上都可积，而且取极限后也得到式（6）。对一般的$f(x)$，它在$E$上可积等价于$f^{+}(x),f^{-}(x)$都在$E$上可积，结合刚刚的结论并同时将其推广到一般函数。

$$\begin{array}{}\text{(17)}& {\int }_{F_N}[f(x){]}_N\mathrm{d}\mu =\sum _{i=1}^n{\int }_{E_i\cap F_N}[f(x){]}_N\mathrm{d}\mu \end{array}$$

　　再来证明式（8）的线性，即如果$f(x),g(x)$是$E$上的可积函数，则$\alpha f(x)+\beta g(x)$也是可积函数，且有式（8）的等式。其中$\alpha f(x)$的可积性和等式不难证明（还是要分两步说明），下面只需证$f(x)+g(x)$可积且有等式成立。还是先看$f(x),g(x)$都为正的情况，记$\{E_N\}$为$E$的一个单调覆盖，由普通积分的单调性可有式（18）成立。中间项的极限就是$f(x),g(x)$的积分之和，左边不等式即说明$f(x)+g(x)$可积，三者同时取极限就得到式（8）。最后对于一般的$f(x),g(x)$，分正负部也很容易得到可积性和等式。

$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\int }_{E_N}[f+g{]}_N\mathrm{d}\mu ⩽{\int }_{E_N}([f{]}_N+[g{]}_N)\mathrm{d}\mu ⩽{\int }_{E_N}[f+g{]}_{2N}\mathrm{d}\mu \end{array}$$

　　有了这两大基本性质，你可以自行证明式（9）的单调性、和式（10）的绝对值不等式，以及式（19）的结论。结合这些定理，证明式（20）的可列可加性就很自然了，即$f(x)$可积的充要条件是：$f(x)$在$E_i$上（可列分割）可积，且有式（21）成立。考虑式（22）的划分，$\{F_n\}$就是$E$的一个单调覆盖，式（21）其实就是$E$上$|f(x)|$积分的上限，从而$E$上$f(x)$的积分存在。反之如果$E$上$f(x)$可积，则$|f(x)|$的积分就是$E_i$上$|f(x)|$积分的上限，即$E_i$上$|f(x)|$可积且有式（21）成立。最后易证${\int }_{F_n}f(x)\mathrm{d}\mu$在$n\to \mathrm{\infty }$时趋向于零（考虑$|f(x)|$），这样即得到式（20）。

$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu =0,(f(x)\underset{\mu }{⩾}0)\Rightarrow f(x)\underset{\mu }{=}0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& {\int }_{E}f(x)\mathrm{d}\mu =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_i}f(x)\mathrm{d}\mu \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(21)}& \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_i}|f(x)|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(22)}& E=F_n\cup (E-F_n),F_n=\underset{i=1}{\sum ^n}{E}_i\end{array}$$

　　最后作为练习，请自行证明积分的全连续性：如果$f(x)$可积，则对任意$\epsilon >0$都存在$\delta >0$，使得对任意子集$\mu (e)<\delta$都有式（23）成立。

$$\begin{array}{}\text{(23)}& \mu (e)<\delta \Rightarrow |{\int }_{e}f(x)\mathrm{d}\mu |<\epsilon \end{array}$$