【实变函数】04 - 基于测度的积分
1. 有限有界积分
1.1 积分及存在性
有了前两篇的铺垫，现在可以顺理成章地定义积分的概念了。和Riemann积分一样，定义要分成两步，先是在有限定义域的有界函数上，然后使用极限法推广到一般函数上。具体来说，设\(E\)是某测度空间的有限可测集（\(\mu(E)<\infty\)），\(f(x)\)是\(E\)上的有界可测函数（\(f(x)\subset(l,u)\)）。取值域的任一分点组\(D:l=y_0<y_1<\cdots<y_n=u\)，式（1）分别记分组点距\(\delta(D)\)和原象集\(E_k\)，式（2）就是我们用来讨论积分的一个“和数”。定义中的分组点和代表值\(\xi\)可以自由变动，然而如果\(\delta(D)\to 0\)时\(S(D)\)也收敛于定值\(s\)，那么称\(f(x)\)是可积的，并称\(s\)为\(f(x)\)的积分，式（3）的记法强调了\(E\)和\(\mu\)。
\[\delta(D)=\underset{k}{\max}(y_k-y_{k-1});\;\;E_k=E(y_{k-1}\leqslant f(x)<y_k)\tag{1}\]
\[S(D)=\sum_{k=1}^n\xi_k\mu(E_k),\;\;y_{k-1}\leqslant\xi_k\leqslant y_k\tag{2}\]
\[\lim_{\delta(D)\to 0}S(D)=s=\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu\tag{3}\]
式（2）中\(\xi_k\)分别取\(y_k,y_{k-1}\)而得到的和数，分别叫“大和数”\(\overline{S}(D)\)和“小和数”\(\underline{S}(D)\)。对两个分组点\(D_1,D_2\)，可以将它们合并为分组点\(D\)，不难证明式（4）的不等关系，以及大小和数之差可以任意小（必须要\(E\)有限）。这说明大和数的下确界\(\overline{S}\)与下和数的上确界\(\underline{S}\)，不仅有\(\overline{S}\geqslant\underline{S}\)，而且等号是成立的（式（5）），即\(f(x)\)总是可积的。
\[\underline{S}(D_i)\leqslant\underline{S}(D)\leqslant\overline{S}(D)\leqslant\overline{S}(D_j),\;(D_i,D_j\subset D)\tag{4}\]
\[\underset{D}{\sup}\underline{S}(D)=\underset{D}{\inf}\overline{S}(D)=\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu\tag{5}\]
1.2 积分的性质
简单讨论几个积分的性质，下段的一般积分中也会用到它们，更多的性质到后面再讨论。在定义域上，记\(E_1,\cdots,E_n\)是\(E\)的一个分割，直接利用定义（交换级数顺序），可得式（6）的有限可加性。在值域上，就是讨论积分函数的线性和，证明其实没有本质困难，根本上用到的还是\(E\)的有限性。对\(f(x),g(x)\)各自的分组区间\(d_i,d'_j\)，记子集\(e_{ij}=E(f(x)\in d_i,\,g(x)\in d'_j)\)，不难有式（7）的不等关系（以及类似的反向关系）。两边级数求和并取极限就得到\(\int_E(f+g)\mathrm{d}\mu=\int_Ef\mathrm{d}\mu+\int_Eg\mathrm{d}\mu\)，再加上显然的常数等式，就是式（8）的线性关系。
\[\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^n\int_{E_i}f(x)\,\mathrm{d}\mu\tag{6}\]
\[\int_{e_{ij}}(f+g)\,\mathrm{d}\mu\leqslant \delta\mu(e_{ij})+\int_{e_{ij}}f\,\mathrm{d}\mu+\int_{e_{ij}}g\,\mathrm{d}\mu\tag{7}\]
\[\int_E(\alpha f(x)+\beta g(x))\,\mathrm{d}\mu=\alpha \int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu+\beta \int_Eg(x)\,\mathrm{d}\mu\tag{8}\]
有限可加性和线性是两个最基本、最常用的性质，由此还能得到一些有用的性质。首先容易证明式（9）的单调性，并由此推出式（10）的绝对值不等式。特别地，如果\(f(x)\underset{\mu}{\geqslant}0\)，且\(\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu=0\)，则\(E(f>0)=\bigcup E\left(f>\dfrac{1}{n}\right)\)是零集，即有\(f(x)\underset{\mu}=0\)。
\[f(x)\underset{\mu}{\geqslant}g(x)\;\Rightarrow\;\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu\geqslant\int_Eg(x)\,\mathrm{d}\mu\tag{9}\]
\[\left|\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu\right|\leqslant\int_E|f(x)|\,\mathrm{d}\mu\tag{10}\]
在Lebesgue测度空间上，可以定义Lebesgue可积（积分），积分一般记作\((L)\int_Ef(x)\,\mathrm{d}x\)或省去\((L)\)，为区分Riemann积分则要使用标识\((R)\)。现在我们要证明，Lebesgue积分是兼容Riemann积分的。具体来说，如果\(f(x)\)在\([a.b]\)上Riemann可积（普通积分，不包含反常积分），那么它也是Lebesgue可积的，且有式（11）成立。从Riemann积分的定义入手，构造\([a,b]\)上的分点组列\(\{D_n\}\)，满足\(D_n\subset D_{n+1},\delta(D_n)\to 0\)。在每个分点组上构造上下界阶梯函数\(\varphi_n(x),\psi_n(x)\)，这些函数便是连接两种积分的桥梁，因为它们的积分极限等价于Riemann积分的定义，而且它们又都是可测函数。
\[(L)\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=(R)\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\tag{11}\]
根据普通Riemann积分的定义，不难证明\(f(x)\)是有界的，从而\(\{\varphi_n(x)\},\{\psi_n(x)\}\)单调且有界，它们存在极限函数\(\varphi(x),\psi(x)\)且也是可测的。考察阶梯函数的积分并取极限，不难证得式（12）成立。另外从函数列极限的角度，有式（13）左成立，结合式（12）便有式（13）的结论。在全测度空间上，\(f(x)\)也是可测函数以及有积分式（11）。
\[(L)\int_E\varphi(x)\,\mathrm{d}x=(L)\int_E\psi(x)\,\mathrm{d}x=(R)\int_Ef(x)\,\mathrm{d}x\tag{12}\]
\[\varphi(x)\leqslant f(x)\leqslant\psi(x);\;\;\varphi(x)\underset{\mu}{=}f(x)\underset{\mu}{=}\psi(x)\tag{13}\]
2. 更一般的积分
2.1 完整的积分定义
现在把测度定义扩展到无限的无穷可测函数上，或者也可以看成积分定义的后续部分。具体来说，实变可测函数\(f(x)\)的定义域\(E\)是\(\sigma\)-有限集，值域也可能没有上下界。\(E\)是\(\sigma\)-有限集意味着，存在一列测度有限的单调覆盖集，使得式（14）成立。扩展的积分应当是\(E_n\)上普通积分的极限，这正是限定在\(\sigma\)-有限集上而不是任意无限集上的原因。对于无界函数，自然的想法是先把函数值限定在\([-N,N]\)上，然后讨论\(N\to\infty\)时积分的极限。为了描述方便，假定\(f(x)\)被限定在\([-N,N]\)之后记作\([f]_N(x)\)（\(f(x)>N(<-N)\)的函数值修改为\(N(-N)\)。
\[E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n,\;\;\mu(E_n)<\infty,\;E_1\subset E_2\subset\cdots\tag{14}\]
为了得到更好的结果，我们需要暂时再加一个限制条件：假定\(f(x)\)是非负函数，这将是新积分与黎曼积分的一个较大差别。条件具备后，要定义的积分就是：如果式（15）右的极限存在，则称\(f(x)\)在测度空间是可积的，极限值就是\(f(x)\)的积分。当然你可能发现，这个积分定义好像比较依赖\(\{E_N\}\)和\(N\)，而积分值理应跟覆盖集还有值域增序列的选取无关。其实根据式（15）右积分的递增性，不难证明任何一种新的选取都不会超过式（15）的极限值，然后由对称关系可知，所有选取的极限值一定都相等。所以式（15）定义的积分式是确定的，而且是最简洁的一种。
\[\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu=\underset{N\to\infty}{\lim}\int_{E_N}[f(x)]_N\,\mathrm{d}\mu\tag{15}\]
现在来看\(f(x)\)的值为任意实数的情况，在已有如上定义的状况下，一个自然的想法是：分别计算函数正部\(f^+=\max(f,0)\)和负部\(f^-=\max(-f,0)\)的积分。式（16）便是积分定义的第三部分，它与式（3）（15）组成完整的积分定义。“正负部”分离可能会缩小可积函数的范围，但这更符合实际使用的需求，而且可以得到更多有意义的性质。虽然普通积分（3）没有分正负部，但式（15）的积分是完全兼容（3）的。以下就基于这个完整的积分定义，讨论剩下的积分性质。
\[\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu=\int_Ef^+(x)\,\mathrm{d}\mu-\int_Ef^-(x)\,\mathrm{d}\mu\tag{16}\]
2.2 积分的性质
在讨论一般积分的性质时，一定会用到上面普通积分的性质，只是还要留意积分存在性的证明，以及定义第二、三部分的分步讨论。其中式（16）提醒我们，\(f(x)\)可积与\(|f(x)|\)可积是等价的，可以先在正值上讨论，然后顺便推广到一般值上。这一点与Riemann积分是不同的，Riemann积分可积还包括那种“正负部都不可积，但合在一起刚好相互抵消”的情况，Lebesgue积分并不讨论这种特殊情况。然后式（15）极限的存在性，在正值函数的情况下，其实只要证明极限存在上限即可。
比如证明式（6）的有限可加性，先看\(f(x)>0\)的情况，设\(\{F_n\}\)是\(E\)的一个单调覆盖，则有式（17）普通积分的有限可加性。它就足以说明，\(f(x)\)在\(E\)上可积的充要条件是：它在\(\{E_i\}\)上都可积，而且取极限后也得到式（6）。对一般的\(f(x)\)，它在\(E\)上可积等价于\(f^+(x),f^-(x)\)都在\(E\)上可积，结合刚刚的结论并同时将其推广到一般函数。
\[\int_{F_N}[f(x)]_N\,\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^n\int_{E_i\cap F_N}[f(x)]_N\,\mathrm{d}\mu\tag{17}\]
再来证明式（8）的线性，即如果\(f(x),g(x)\)是\(E\)上的可积函数，则\(\alpha f(x)+\beta g(x)\)也是可积函数，且有式（8）的等式。其中\(\alpha f(x)\)的可积性和等式不难证明（还是要分两步说明），下面只需证\(f(x)+g(x)\)可积且有等式成立。还是先看\(f(x),g(x)\)都为正的情况，记\(\{E_N\}\)为\(E\)的一个单调覆盖，由普通积分的单调性可有式（18）成立。中间项的极限就是\(f(x),g(x)\)的积分之和，左边不等式即说明\(f(x)+g(x)\)可积，三者同时取极限就得到式（8）。最后对于一般的\(f(x),g(x)\)，分正负部也很容易得到可积性和等式。
\[\int_{E_N}[f+g]_N\,\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{E_N}([f]_N+[g]_N)\,\mathrm{d}\mu\leqslant\int_{E_N}[f+g]_{2N}\,\mathrm{d}\mu\tag{18}\]
有了这两大基本性质，你可以自行证明式（9）的单调性、和式（10）的绝对值不等式，以及式（19）的结论。结合这些定理，证明式（20）的可列可加性就很自然了，即\(f(x)\)可积的充要条件是：\(f(x)\)在\(E_i\)上（可列分割）可积，且有式（21）成立。考虑式（22）的划分，\(\{F_n\}\)就是\(E\)的一个单调覆盖，式（21）其实就是\(E\)上\(|f(x)|\)积分的上限，从而\(E\)上\(f(x)\)的积分存在。反之如果\(E\)上\(f(x)\)可积，则\(|f(x)|\)的积分就是\(E_i\)上\(|f(x)|\)积分的上限，即\(E_i\)上\(|f(x)|\)可积且有式（21）成立。最后易证\(\int_{F_n}f(x)\,\mathrm{d}\mu\)在\(n\to\infty\)时趋向于零（考虑\(|f(x)|\)），这样即得到式（20）。
\[\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu=0,\,(f(x)\underset{\mu}{\geqslant}0)\;\Rightarrow\;f(x)\underset{\mu}=0\tag{19}\]
\[\int_Ef(x)\,\mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^{\infty}\int_{E_i}f(x)\,\mathrm{d}\mu\tag{20}\]
\[\sum_{i=1}^{\infty}\int_{E_i}|f(x)|\,\mathrm{d}\mu<\infty\tag{21}\]
\[E=F_n\cup(E-F_n),\;F_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}E_i\tag{22}\]
最后作为练习，请自行证明积分的全连续性：如果\(f(x)\)可积，则对任意\(\varepsilon>0\)都存在\(\delta>0\)，使得对任意子集\(\mu(e)<\delta\)都有式（23）成立。
\[\mu(e)<\delta\;\Rightarrow\;\left|\int_ef(x)\,\mathrm{d}\mu\right|<\varepsilon\tag{23}\]
