【实变函数】03 - 可测函数

合集 - 实变与泛函(8)

1.【实变函数】01 - 更合理的积分2023-05-032.【实变函数】02 - 测度论基础2023-05-03

3.【实变函数】03 - 可测函数2023-05-03

4.【实变函数】04 - 基于测度的积分2023-05-035.【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度2023-05-036.【实变函数】06 - 导数和单调函数2023-05-037.【实变函数】07 - 微积分基本定理2023-05-038.【实变函数】08 - 广义测度和积分2023-05-03

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　　上篇在$\sigma$-环上延拓了测度的概念，并讨论了实数轴上典型的可测集$\mathbf{L},{\mathbf{L}}^{\mathbf{g}},\mathbf{B}$。这些理论精巧而有其独立性，但还需放到合适的领域里才能展现其本质和威力。$\sigma$-环是个普遍的代数结构，它的可列交并运算特别适用于需要级数运算的场合，这也将是我们建立新的积分理论的核心工具。以下再来回顾一下新的积分理论的基本思想。

　　对取值为实数的函数$f(x)$（定义域可以为一般集合），黎曼积分是将定义域分割为若干连续片段，要求每个片段上的函数值相近，以此进行累加。新的积分思想则是将值域分割为若干区间$[y_i,y_{i+1})$，然后考察每个值区间原象$E_i$的测度，并依次进行累加（式（1））。两种积分都可以看成是加权级数，前者以函数值为权重赋在定义域上，而后者则以原象的测度为权重赋在值域上。黎曼积分虽然直观，却不如新积分触及到积分的本质，从而理论中有诸多限制和不便。以下便逐步展开新积分的定义和性质。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& S=\sum _{i=0}^n{\xi }_i\mu (E_i);y_i⩽{\xi }_i<y_{i+1},E_i=E(y_i⩽f(x)<y_{i+1})\end{array}$$

1. 可测函数

1.1 定义和一般性质

　　新积分中要求对任何值区间$[y_i,y_{i+1})$，其原象$E_i$都要有测度。这里我们需要放缓脚步，把原象集$E_i$和测度先分开考虑，因为测度是可以后来赋予的。先从纯粹集合论的角度，定义清楚我们的讨论对象，比如我们期望原象集$E_i$能组成$\sigma$-环，以便自由地进行交并运算。为此，在基本空间$X$上的任意集类$\mathbf{R}$，如果它是$\sigma$-环，我们便称$(X,\mathbf{R})$是可测空间，其元素$E\in \mathbf{R}$称为$(X,\mathbf{R})$上的可测集。这里的“可测”二字即抛开了具体的测度定义，而关注集合论上的通用性质。
　　进而，如果函数$f(x)$的原象$E=E(c⩽f(x))$总是$(X,\mathbf{R})$上的可测集，$f(x)$便称为$(X,\mathbf{R})$上的可测函数。当然，这里的$c⩽f(x)$可以换成$c<f(x),f(x)⩽c,f(x)<c$或者任何一种区间，都会得到等价的定义，后面我们将不加区别地使用它们。当$X$取实数集$E^1$，$\mathbf{R}$取$\mathbf{L},{\mathbf{L}}^{\mathbf{g}},\mathbf{B}$时，相应地就是 Lebesgue 可测集（函数）、Lebesgue-Stieltjes 可测集（函数）、Borel 可测集（函数）。请特别注意：本篇除明确指出外，都是在一般可测空间上的讨论。

• 求证：定义在区间上的连续函数，一定是Lebesgue可测函数。

　　不难证明，可测函数$f(x)$的定义域$E$一定是可测集，$f(x)$在任意可测子集$E_i\subset E$上还是可测函数。以及更多在定义域的交并运算上推导出的结论，都没有根本性的困难。反过来，函数在值域上的代数运算，是否还是可测函数，这需要一点细致的讨论。比如$f,g$都是可测函数，要证明$E(c<f(x)+g(x))=E(f(x)>c-g(x))$是可测集，可将其拆分为式（2）的等价定义。其中$r_i$是全体有理数的一个排列，这里用到了有理数的可列可数性和稠密性。另外容易证明，对任意实数$a$，$af(x)$也是可测函数，所以可测函数的线性和还是可测函数。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& E(c<f+g)=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(E(f>r_i)\cap E(g>c-r_i))\end{array}$$

　　继续看函数乘除运算的情况。对乘法$f(x)g(x)$，可以先证$f^2(x)$是可测函数，再使用等式$fg=[(f+g{)}^2-(f-g{)}^2]/4$，便知$f(x)g(x)$也是可测函数。对除法$f(x)/g(x)$，只要先证$1/g(x)$是可测函数，便知$f(x)/g(x)$也是可测函数。最后还不难证明，$min(f(x),g(x)),max(f(x),g(x))$，以及$|f(x)|=max(f(x),-f(x))$都是可测函数。至此便知，可测函数的一般代数运算仍然是可测函数。

1.2 函数列极限

　　函数列极限是积分中的一个重要课题，有必要先讨论这些极限函数是否为可测函数。首先，$\{f_n(x)\}$的上确界函数$F(x)$其实是式（3）的极限函数，式（4）说明$F(x)$是可测函数。由此也不难证明，$\{f_n(x)\}$的下确界函数也是可测函数。记$G_n(x)$为$f_n,f_{n+1},\cdots$的上确界函数，则易知$G_1⩾G_2⩾G_3⩾\cdots$都是可测函数。式（5）说明$f_n(x)$的上限函数是$\{G_n(x)\}$的下确界，故而也是可测函数，同样可证下限函数$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{lim}}{f}_n(x)$也是可测函数。进而如果极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)$存在，它也是可测函数。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& F(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_n(x),F_n(x)=max\{f_1(x),\cdots ,f_n(x)\}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& E(c<F(x))=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}E(c<F_n(x))\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overline{lim}}{f}_n(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{G}_n(x)\end{array}$$

　　以上关于函数极限的结论，要求各种极限是存在的（极限为有限实函数）。其实如果把$\pm \mathrm{\infty }$也包含在实函数的定义中，并不会产生冲突和意外，甚至在表述上还会更加简练。作为函数极限的一个举例，我们来构造可测函数列$\{f_n(x)\}$，以逼近给定的可测函数$f(x)$。思路非常直观，先将值域分成若干长度为${\displaystyle \frac{1}{n}}$的区间$E_i^n$（式（6）），构造函数$f_n(x)$在$E_i^n$的值都是${\displaystyle \frac{i}{n}}$。$f_n(x)$其实是由若干特征函数构成，且不难证明$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)\to f(x)$。这个结论的关键价值不是函数列的存在性，而是$E_i^n$只有可列个。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& f_n(x)=\sum _i{\displaystyle \frac{i}{n}}{\chi }_{E_i^n},E_i^n=E({\displaystyle \frac{i}{n}}⩽f(x)<{\displaystyle \frac{i+1}{n}})\end{array}$$

　　最后来讨论一个比较综合问题，当是对本段内容的一个回顾。我们知道$\mathbf{B}\in \mathbf{L}$，所以Borel可测函数一定是Lebesgue可测函数。反过来也可以证明，一个定义在$E$上的Lebesgue可测函数$f(x)$，“稍作修改”后也可以是Borel可测函数。先如上面构造$f(x)$的逼近函数列$f_n(x)$，然后对每个Lebesgue集$E_i^n$存在Borel集$B_i^n\subset E_i^n$，且$m(E_i^n-B_i^n)=0$。如果以$B_i^n$构造函数列$h_n$，则它们都是Borel可测的，且易知$m(f_n\ne h_n)=0$，然后不难证明式（7）。为了构造Borel可测函数，在定义域上一定要小心论证，这里还需要找到Borel集$B_0\supset E_0,E(B_0)=0$，然后在$B_1=E^1-B_0$上定义$h(x)$（式（8），$B_0$上补零）。这样的$h(x)$才是Borel可测函数，且在$E-B_0$上收敛于$f(x)$，即有$m(E(f\ne g))=0$。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{h}_n(x)\to f(x),x\in E-E_0,E_0=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}E(f_n\ne h_n)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& h(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{h}_n(x){\chi }_{B_1}(x),B_1=E^1-B_0\end{array}$$

2. 可测函数列的收敛

2.1 基于测度的两种收敛

　　现在是时候在可测空间$(X,\mathbf{R})$上引入测度，并继而在测度上计算积分。现假定引入的测度为$\mu$，则称$(X,\mathbf{R},\mu )$为测度空间。其中$\mu$可能是有限测度、全有限测度、$\sigma$-有限测度、$\sigma$-全有限测度等。然而在讨论积分之前，需要把零测度给讨论带来的问题边界梳理清楚。因为零测度对积分或其它问题的讨论不构成本质影响，我们大可以抛开这部分定义域，而使得讨论对象超出可测函数的范围。以下讨论两种在测度上“近似”的函数极限，以及它们之间的关系。

　　当讨论$E\subset X$（不一定有$E\in \mathbf{R}$）上的一个命题$P$时，如果存在测度为零的集$E_0$（不一定有$E_0\subset E$），使得命题在$E-E_0$上成立，则我们说命题$P$在$E$上几乎处处成立（或概成立）。留意括号中的两个注释，这里讨论的对象可以不是“可测”的，后续讨论中我们将得到更完满的结局，即找到“零测度差”的可测对象。另外还要强调，定义是基于某个测度$\mu$的，因此用代数式表示时命题时，一定要有测度标识。比如几乎处处相等$f(x)\underset{\mu }{=}h(x)$、几乎处处收敛$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)\underset{\mu }{\to }f(x)$等。

　　然而虽然讨论中会出现非“可测”的对象，可测集（函数）还是我们讨论的主要对象、以及很多结论的必要条件，这时我们需要细致妥当地处理好那个零测度的误差，用可测函数“替换”不可测函数。比如已知可测函数列$\{f_n(x)\}$在$E$上几乎处处收敛，可以先记在$E-E_0$上收敛于可测函数$\tilde{f}(x)$（所以需要函数列可测），然后再补零扩展为$E$上的可测函数$f(x)$，这时便有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)\underset{\mu }{\to }f(x)$。再假定已知可测函数列$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)\underset{\mu }{\to }h(x)$（$h(x)$不一定可测），可挖去的零测度集为$E_1$，则显然在$(E-E_0\cup E_1)$上有$f(x)=h(x)$，也就是说存在可测函数$f(x)$使得$f(x)\underset{\mu }{=}h(x)$。

　　关于可测函数列的收敛，还有一种条件更弱、更常用的收敛定义。对$E$上可测函数列$\{f_n(x)\}$，如果存在函数$f(x)$（不一定可测），对任何$\epsilon >0$都有式（9）成立，则称函数列依测度收敛（或度量收敛）于$f(x)$。这种收敛的误差集随着$n\to \mathrm{\infty }$逐渐收敛于零测度，而不同于几乎处处收敛的限定于一个零测度集$E_0$上。然而说几乎处处收敛强于依测度收敛，却又是不太准确的。前者更强调单点上的最终收敛，后者则更强调误差测度的趋零性，请自行构造满足其一而不满足另一个例子。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& f_n(x)\underset{\mu }{\Rightarrow }f(x)\iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (E(|f(x)-f_n(x)|)>\epsilon )=0\end{array}$$

2.2 两种收敛的关系

　　明白两种收敛的本质后，便能容易地找到它们的关联。比如已知可测函数列$\{f_n(x)\}$依测度收敛于$f(x)$，即$f_n(x)$与$f(x)$的“偏差集测度”越来越小。我们一定可以从中挑选出子列$\{f_{n_i}(x)\}$，使得“偏差集测度”被限制在“充分小”的集合上，从而子列处处收敛于$f(x)$。这是分析学的常用方法，具体来说，取$\epsilon =\delta ={\displaystyle \frac{1}{2^i}}$，则存在$n_i$使得满足式（10）的$\epsilon -\delta$条件。记式中的误差集为$E_i$，不难证明在$F=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\overline{lim}}{E}_i$之外，子列处处收敛于$f(x)$。再由$\underset{i=1}{\sum ^{\mathrm{\infty }}}{E}_i$有限，可证$\mu (F)=0$，从而最终有$\{f_{n_i}(x)\}$几乎处处收敛于$f(x)$。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \mu (E(|f_n(x)-f(x)|>{\displaystyle \frac{1}{2^i}}))<{\displaystyle \frac{1}{2^i}},n⩾n_i\end{array}$$

　　这个结论可以帮助得到依测度收敛的简单性质。比如因为存在几乎处处收敛的子列，$f(x)$在$E-F$上就是可测函数，它可以修改为$E$上的可测函数$h(x)$，即有$f(x)\underset{\mu }{=}h(x)$。而且任何满足$f_n(x)\underset{\mu }{\Rightarrow }g(x)$的收敛函数都有$g(x)\underset{\mu }{=}h(x)$。但要注意，暂时还不能证明$f_n(x)\underset{\mu }{\Rightarrow }h(x)$，“可替换性”要用下面构造的基本函数列证明。

　　反过来，如果$\{f_n(x)\}$几乎处处收敛于$f(x)$，为讨论方便先假定$f(x)$是可测函数。则存在$\mu (E_0)=0$使得函数列在$E_1=E-E_0$上处处收敛于$f(x)$，这其实等价于式（11）（有必要复习上下限函数的意义和不等式）。如果$\mu (E)=\mu (E_1)$是有限的，根据不等式不难得知$\mu (E_1(|f_n-f|>\epsilon ))$是趋于零的，从而$\{f_n(x)\}$依测度收敛于$f(x)$。也就是说，当$\mu (E)<\mathrm{\infty }$时，几乎处处收敛的确是比依测度收敛更强的条件。最后利用上面的替换法，这里$f(x)$是可测函数的条件可以拿掉，而结论换成可测函数$h(x)\underset{\mu }{=}f(x)$。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& E_1=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{lim}}{E}_1(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon ),\epsilon >0\end{array}$$

　　以下继续假定$\mu (E)<\mathrm{\infty }$，如果可测函数列$\{f_n(x)\}$不依测度收敛于可测函数$f(x)$，则可以从中选出子列$\{f_{n_i}(x)\}$（“误差集测度”恒$>\delta$），使其没有依概率收敛的子列，从而也没有几乎处处收敛的子列。综合以上，$\{f_n(x)\}$依测度收敛于$f(x)$的充要条件是，对任何$\{f_{n_i}(x)\}$都能再找到几乎处处收敛于$f(x)$的子列。利用这个结论不难证明，依概率收敛的函数列（$\mu (E)<\mathrm{\infty }$），它们的简单代数运算也是依概率收敛的（式（12），写出证明）。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& f_n\underset{\mu }{\Rightarrow }f,g_n\underset{\mu }{\Rightarrow }g\mapsto a{f}_n+b{g}_n\Rightarrow af+bg,f_n{g}_n\Rightarrow fg,f_n/g_n\Rightarrow f/g\end{array}$$

　　在数列的极限中，往往用柯西数列（基本数列）代替极限的判断条件，因为它不需要极限点在场，使用起来更加方便。在依测度收敛中，也可以定义类似的收敛函数列，即对任意$\epsilon >0$，可测函数列$\{f_n(x)\}$在下标足够大后满足式（13）。称这样的函数列为依测度的基本函数列，或简称基本函数列。依测度收敛的函数列显然是基本函数列，反之对于基本函数列$\{f_n(x)\}$，可以先证明存在子列$\{f_{n_i}(x)\}$依测度收敛于某可测函数$f(x)$，再证得$\{f_n(x)\}$依测度收敛于$f(x)$（请自行证明，注意$\mu (E)$不一定有限）。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& E(|f_n(x)-f_m(x)|)<\epsilon ,m,n>N\end{array}$$

　　选择子列的方法仍然是我们熟悉的基本分析技巧，即选出的下标使得“偏差测度”以指数递减（式（14））。不难证明，在$F=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\overline{lim}}{E}_i$之外，子列处处收敛且有$\mu (F)=0$，即子列几乎处处收敛于某可测函数$f(x)$。这就证明了依测度收敛和基本函数列的等价性。证明中还间接说明了，基本函数列以测度收敛于某可测函数$f(x)$。如果预先知道函数列依测度收敛于$h(x)$（不一定可测），那么它一定是基本函数列，继而可知$h(x)\underset{\mu }{=}f(x)$，这就是依测度收敛的“可替换性”了。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& E_i=E(|f_{n_i}(x)-f_{n_k}(x)|)<{\displaystyle \frac{1}{2^i}},k>i\end{array}$$

2.3 一致收敛和连续性

　　收敛的一致性是许多性质的来源，我们现在证明，几乎处处收敛的函数列也是“近乎”一致收敛的。具体来说，如果可测函数列$\{f_n(x)\}$几乎处处收敛到$f(x)$，则对任意$\delta >0$存在可测集$E_{\delta }$，使得$\mu (E-E_{\delta })<\delta$且函数列在$E_{\delta }$上一致收敛于$f(x)$。证明没有本质难度，又是那个“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的把戏。先是定义式（15）的“误差范围内子集”，几乎处处收敛即表示极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (E_{n,k})=\mu (E)$成立（假定在$E$上处处收敛，因为零测度误差很好处理）。因此对任何$\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{k}}$，总存在下标$n_k$使得式（16）成立，不难证明集合$\underset{n=0}{\bigcap ^{\mathrm{\infty }}}{B}_{n_k,k}$就是我们要找的$E_{\delta }$。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& B_{n,k}=E(|f_m(x)-f(x)|<{\displaystyle \frac{1}{k}},m⩾n)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \mu (E)-\mu (B_{n_k,k})<{\displaystyle \frac{\delta }{2^k}}\end{array}$$

　　连续性是很多函数列收敛性质的关键，然而基于测度的连续就不能也不必像数学分析里那样严苛了。设$f(x)$为点集$E$上的函数，其中一点$x_0\in E$，如果对任意$\epsilon >0$都存在$x_0$的邻域$|x-x_0|<\delta ,x\in E$，使得$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$，则称$x_0$是$f(x)$的连续点。如果所有$x\in E$都是连续点，则$f(x)$称为连续函数。比如有理数域的常量函数，再比如闭集上的常量函数，请自行证明。另外类似数学分析中的证明，如果$E$上的连续函数列$\{f_n(x)\}$一致收敛于$f(x)$，则$f(x)$也是$E$上的连续函数。

　　最后来看一个Lebesgue可测函数的惊人事实。设$f(x)$是$E$上的Lebesgue可测函数，先假定$m(E)$有限，将其分成式（17）的可数个子集。根据$m(E)$有限，可先剔除掉$|n|>n_k$的子集并确保式（18）左足够小，然后在剩下的子集中作闭集$F_{n,k}$使得式（18）右成立。在闭集$F_k=\bigcup F_{n,k}$上作特征函数$f_k(x)$（$F_{n,k}$上的值为${\displaystyle \frac{n}{k}}$），它们显然是连续函数。最后在闭集$F=\bigcap F_k$上观察，$f_k(x)$连续且一致收敛于$f(x)$，从而$f(x)$在$F$上是连续函数！由于$\mu (E-F_k)$可以任意小，再次使用“日取其半”的方法，对任意$\delta >0$都能找到$\mu (E-F)<\delta$。

$$\begin{array}{}\text{(17)}& E_{n,k}=E({\displaystyle \frac{n}{k}}⩽f(x)<{\displaystyle \frac{n}{k}}),n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \sum _{|n|>n_k}m(E_{n,k})<\delta ;\sum _{|n|⩽n_k}m(E_{n,k}-F_{n,k})<\delta \end{array}$$

　　当$\mu (E)=+\mathrm{\infty }$时，可以把直线$E^1$分割成可列个不相交的有限区间$(a_k,b_k]$，在每个子集$(a_k,b_k]\cap E$上对${\displaystyle \frac{\delta }{2^k}}$使用刚才的结论。最终得知结论在$\mu (E)=+\mathrm{\infty }$上也成立，它被称为鲁津定理。由于$F$是闭集，那么$E^1-F$就是开集，连接每个开集区间的端点（属于$F$），便得到了整个$E^1$上的连续函数$h(x)$。所以有鲁津定理的一种形式：设$f(x)$是$E$上的Lebesgue可测函数，对任意$\delta >0$都存在$E^1$上的连续函数$h(x)$，使得$m(E(f\ne h))<\delta$。