【实变函数】03 - 可测函数

　　上篇在\(\sigma\)-环上延拓了测度的概念，并讨论了实数轴上典型的可测集\(\mathbf{L},\mathbf{L^g},\mathbf{B}\)。这些理论精巧而有其独立性，但还需放到合适的领域里才能展现其本质和威力。\(\sigma\)-环是个普遍的代数结构，它的可列交并运算特别适用于需要级数运算的场合，这也将是我们建立新的积分理论的核心工具。以下再来回顾一下新的积分理论的基本思想。

　　对取值为实数的函数\(f(x)\)（定义域可以为一般集合），黎曼积分是将定义域分割为若干连续片段，要求每个片段上的函数值相近，以此进行累加。新的积分思想则是将值域分割为若干区间\([y_i,y_{i+1})\)，然后考察每个值区间原象\(E_i\)的测度，并依次进行累加（式（1））。两种积分都可以看成是加权级数，前者以函数值为权重赋在定义域上，而后者则以原象的测度为权重赋在值域上。黎曼积分虽然直观，却不如新积分触及到积分的本质，从而理论中有诸多限制和不便。以下便逐步展开新积分的定义和性质。

\[S=\sum_{i=0}^n\xi_i\mu(E_i);\;\;y_i\leqslant\xi_i<y_{i+1},\,E_i=E(y_i\leqslant f(x)<y_{i+1})\tag{1}\]

1. 可测函数

1.1 定义和一般性质

　　新积分中要求对任何值区间\([y_i,y_{i+1})\)，其原象\(E_i\)都要有测度。这里我们需要放缓脚步，把原象集\(E_i\)和测度先分开考虑，因为测度是可以后来赋予的。先从纯粹集合论的角度，定义清楚我们的讨论对象，比如我们期望原象集\(E_i\)能组成\(\sigma\)-环，以便自由地进行交并运算。为此，在基本空间\(X\)上的任意集类\(\mathbf{R}\)，如果它是\(\sigma\)-环，我们便称\((X,\mathbf{R})\)是可测空间，其元素\(E\in\mathbf{R}\)称为\((X,\mathbf{R})\)上的可测集。这里的“可测”二字即抛开了具体的测度定义，而关注集合论上的通用性质。
　　进而，如果函数\(f(x)\)的原象\(E=E(c\leqslant f(x))\)总是\((X,\mathbf{R})\)上的可测集，\(f(x)\)便称为\((X,\mathbf{R})\)上的可测函数。当然，这里的\(c\leqslant f(x)\)可以换成\(c< f(x),f(x)\leqslant c,f(x)<c\)或者任何一种区间，都会得到等价的定义，后面我们将不加区别地使用它们。当\(X\)取实数集\(E^1\)，\(\mathbf{R}\)取\(\mathbf{L},\mathbf{L^g},\mathbf{B}\)时，相应地就是 Lebesgue 可测集（函数）、Lebesgue-Stieltjes 可测集（函数）、Borel 可测集（函数）。请特别注意：本篇除明确指出外，都是在一般可测空间上的讨论。

• 求证：定义在区间上的连续函数，一定是Lebesgue可测函数。

　　不难证明，可测函数\(f(x)\)的定义域\(E\)一定是可测集，\(f(x)\)在任意可测子集\(E_i\subset E\)上还是可测函数。以及更多在定义域的交并运算上推导出的结论，都没有根本性的困难。反过来，函数在值域上的代数运算，是否还是可测函数，这需要一点细致的讨论。比如\(f,g\)都是可测函数，要证明\(E(c<f(x)+g(x))=E(f(x)>c-g(x))\)是可测集，可将其拆分为式（2）的等价定义。其中\(r_i\)是全体有理数的一个排列，这里用到了有理数的可列可数性和稠密性。另外容易证明，对任意实数\(a\)，\(af(x)\)也是可测函数，所以可测函数的线性和还是可测函数。

\[E(c<f+g)=\bigcup_{i=1}^\infty(E(f>r_i)\cap E(g>c-r_i)) \tag{2}\]

　　继续看函数乘除运算的情况。对乘法\(f(x)g(x)\)，可以先证\(f^2(x)\)是可测函数，再使用等式\(fg=[(f+g)^2-(f-g)^2]/4\)，便知\(f(x)g(x)\)也是可测函数。对除法\(f(x)/g(x)\)，只要先证\(1/g(x)\)是可测函数，便知\(f(x)/g(x)\)也是可测函数。最后还不难证明，\(\min(f(x),g(x)),\max(f(x),g(x))\)，以及\(|f(x)|=\max(f(x),-f(x))\)都是可测函数。至此便知，可测函数的一般代数运算仍然是可测函数。

1.2 函数列极限

　　函数列极限是积分中的一个重要课题，有必要先讨论这些极限函数是否为可测函数。首先，\(\{f_n(x)\}\)的上确界函数\(F(x)\)其实是式（3）的极限函数，式（4）说明\(F(x)\)是可测函数。由此也不难证明，\(\{f_n(x)\}\)的下确界函数也是可测函数。记\(G_n(x)\)为\(f_n,f_{n+1},\cdots\)的上确界函数，则易知\(G_1\geqslant G_2\geqslant G_3\geqslant\cdots\)都是可测函数。式（5）说明\(f_n(x)\)的上限函数是\(\{G_n(x)\}\)的下确界，故而也是可测函数，同样可证下限函数\(\underset{n\to\infty}{\underline\lim}f_n(x)\)也是可测函数。进而如果极限\(\underset{n\to\infty}\lim f_n(x)\)存在，它也是可测函数。

\[F(x)=\lim_{n\to\infty}F_n(x),\;F_n(x)=\max\{f_1(x),\cdots,f_n(x)\}\tag{3}\]

\[E(c<F(x))=\bigcup_{n=1}^\infty E(c<F_n(x))\tag{4}\]

\[\underset{n\to\infty}{\overline\lim}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}G_n(x)\tag{5}\]

　　以上关于函数极限的结论，要求各种极限是存在的（极限为有限实函数）。其实如果把\(\pm\infty\)也包含在实函数的定义中，并不会产生冲突和意外，甚至在表述上还会更加简练。作为函数极限的一个举例，我们来构造可测函数列\(\{f_n(x)\}\)，以逼近给定的可测函数\(f(x)\)。思路非常直观，先将值域分成若干长度为\(\dfrac{1}{n}\)的区间\(E_i^n\)（式（6）），构造函数\(f_n(x)\)在\(E_i^n\)的值都是\(\dfrac{i}{n}\)。\(f_n(x)\)其实是由若干特征函数构成，且不难证明\(\underset{n\to\infty}\lim f_n(x)\to f(x)\)。这个结论的关键价值不是函数列的存在性，而是\(E_i^n\)只有可列个。

\[f_n(x)=\sum_i\dfrac{i}{n}\chi_{E_i^n},\;\;E_i^n=E\left(\dfrac{i}{n}\leqslant f(x)<\dfrac{i+1}{n}\right)\tag{6}\]

　　最后来讨论一个比较综合问题，当是对本段内容的一个回顾。我们知道\(\mathbf{B}\in\mathbf{L}\)，所以Borel可测函数一定是Lebesgue可测函数。反过来也可以证明，一个定义在\(E\)上的Lebesgue可测函数\(f(x)\)，“稍作修改”后也可以是Borel可测函数。先如上面构造\(f(x)\)的逼近函数列\(f_n(x)\)，然后对每个Lebesgue集\(E_i^n\)存在Borel集\(B_i^n\subset E_i^n\)，且\(m(E_i^n-B_i^n)=0\)。如果以\(B_i^n\)构造函数列\(h_n\)，则它们都是Borel可测的，且易知\(m(f_n\ne h_n)=0\)，然后不难证明式（7）。为了构造Borel可测函数，在定义域上一定要小心论证，这里还需要找到Borel集\(B_0\supset E_0,E(B_0)=0\)，然后在\(B_1=E^1-B_0\)上定义\(h(x)\)（式（8），\(B_0\)上补零）。这样的\(h(x)\)才是Borel可测函数，且在\(E-B_0\)上收敛于\(f(x)\)，即有\(m(E(f\ne g))=0\)。

\[\lim_{n\to\infty}h_n(x)\to f(x),\;x\in E-E_0,\,E_0=\bigcup_{n=1}^\infty E(f_n\ne h_n)\tag{7}\]

\[h(x)=\lim_{n\to\infty}h_n(x)\chi_{B_1}(x),\;\;B_1=E^1-B_0\tag{8}\]

2. 可测函数列的收敛

2.1 基于测度的两种收敛

　　现在是时候在可测空间\((X,\mathbf{R})\)上引入测度，并继而在测度上计算积分。现假定引入的测度为\(\mu\)，则称\((X,\mathbf{R},\mu)\)为测度空间。其中\(\mu\)可能是有限测度、全有限测度、\(\sigma\)-有限测度、\(\sigma\)-全有限测度等。然而在讨论积分之前，需要把零测度给讨论带来的问题边界梳理清楚。因为零测度对积分或其它问题的讨论不构成本质影响，我们大可以抛开这部分定义域，而使得讨论对象超出可测函数的范围。以下讨论两种在测度上“近似”的函数极限，以及它们之间的关系。

　　当讨论\(E\subset X\)（不一定有\(E\in\mathbf{R}\)）上的一个命题\(P\)时，如果存在测度为零的集\(E_0\)（不一定有\(E_0\subset E\)），使得命题在\(E-E_0\)上成立，则我们说命题\(P\)在\(E\)上几乎处处成立（或概成立）。留意括号中的两个注释，这里讨论的对象可以不是“可测”的，后续讨论中我们将得到更完满的结局，即找到“零测度差”的可测对象。另外还要强调，定义是基于某个测度\(\mu\)的，因此用代数式表示时命题时，一定要有测度标识。比如几乎处处相等\(f(x)\underset{\mu}{=}h(x)\)、几乎处处收敛\(\underset{n\to\infty}\lim f_n(x)\underset{\mu}{\to}f(x)\)等。

　　然而虽然讨论中会出现非“可测”的对象，可测集（函数）还是我们讨论的主要对象、以及很多结论的必要条件，这时我们需要细致妥当地处理好那个零测度的误差，用可测函数“替换”不可测函数。比如已知可测函数列\(\{f_n(x)\}\)在\(E\)上几乎处处收敛，可以先记在\(E-E_0\)上收敛于可测函数\(\tilde{f}(x)\)（所以需要函数列可测），然后再补零扩展为\(E\)上的可测函数\(f(x)\)，这时便有\(\underset{n\to\infty}\lim f_n(x)\underset{\mu}{\to}f(x)\)。再假定已知可测函数列\(\underset{n\to\infty}\lim f_n(x)\underset{\mu}{\to}h(x)\)（\(h(x)\)不一定可测），可挖去的零测度集为\(E_1\)，则显然在\(\left(E-E_0\cup E_1\right)\)上有\(f(x)=h(x)\)，也就是说存在可测函数\(f(x)\)使得\(f(x)\underset{\mu}{=}h(x)\)。

　　关于可测函数列的收敛，还有一种条件更弱、更常用的收敛定义。对\(E\)上可测函数列\(\{f_n(x)\}\)，如果存在函数\(f(x)\)（不一定可测），对任何\(\varepsilon>0\)都有式（9）成立，则称函数列依测度收敛（或度量收敛）于\(f(x)\)。这种收敛的误差集随着\(n\to\infty\)逐渐收敛于零测度，而不同于几乎处处收敛的限定于一个零测度集\(E_0\)上。然而说几乎处处收敛强于依测度收敛，却又是不太准确的。前者更强调单点上的最终收敛，后者则更强调误差测度的趋零性，请自行构造满足其一而不满足另一个例子。

\[f_n(x)\underset{\mu}{\Rightarrow}f(x) \;\Leftrightarrow\;\underset{n\to\infty}\lim\mu(E(|f(x)-f_n(x)|)>\varepsilon)=0\tag{9}\]

2.2 两种收敛的关系

　　明白两种收敛的本质后，便能容易地找到它们的关联。比如已知可测函数列\(\{f_n(x)\}\)依测度收敛于\(f(x)\)，即\(f_n(x)\)与\(f(x)\)的“偏差集测度”越来越小。我们一定可以从中挑选出子列\(\{f_{n_i}(x)\}\)，使得“偏差集测度”被限制在“充分小”的集合上，从而子列处处收敛于\(f(x)\)。这是分析学的常用方法，具体来说，取\(\varepsilon=\delta=\dfrac{1}{2^i}\)，则存在\(n_i\)使得满足式（10）的\(\varepsilon-\delta\)条件。记式中的误差集为\(E_i\)，不难证明在\(F=\underset{i\to\infty}{\overline\lim}E_i\)之外，子列处处收敛于\(f(x)\)。再由\(\underset{i=1}{\overset{\infty}{\sum}}E_i\)有限，可证\(\mu(F)=0\)，从而最终有\(\{f_{n_i}(x)\}\)几乎处处收敛于\(f(x)\)。

\[\mu\left(E(|f_n(x)-f(x)|>\dfrac{1}{2^i})\right)<\dfrac{1}{2^i},\;n\geqslant n_i\tag{10}\]

　　这个结论可以帮助得到依测度收敛的简单性质。比如因为存在几乎处处收敛的子列，\(f(x)\)在\(E-F\)上就是可测函数，它可以修改为\(E\)上的可测函数\(h(x)\)，即有\(f(x)\underset{\mu}{=}h(x)\)。而且任何满足\(f_n(x)\underset{\mu}{\Rightarrow}g(x)\)的收敛函数都有\(g(x)\underset{\mu}{=}h(x)\)。但要注意，暂时还不能证明\(f_n(x)\underset{\mu}{\Rightarrow}h(x)\)，“可替换性”要用下面构造的基本函数列证明。

　　反过来，如果\(\{f_n(x)\}\)几乎处处收敛于\(f(x)\)，为讨论方便先假定\(f(x)\)是可测函数。则存在\(\mu(E_0)=0\)使得函数列在\(E_1=E-E_0\)上处处收敛于\(f(x)\)，这其实等价于式（11）（有必要复习上下限函数的意义和不等式）。如果\(\mu(E)=\mu(E_1)\)是有限的，根据不等式不难得知\(\mu(E_1(|f_n-f|>\varepsilon))\)是趋于零的，从而\(\{f_n(x)\}\)依测度收敛于\(f(x)\)。也就是说，当\(\mu(E)<\infty\)时，几乎处处收敛的确是比依测度收敛更强的条件。最后利用上面的替换法，这里\(f(x)\)是可测函数的条件可以拿掉，而结论换成可测函数\(h(x)\underset{\mu}{=}f(x)\)。

\[E_1=\underset{n\to\infty}{\underline\lim}E_1(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon),\;\;\varepsilon>0\tag{11}\]

　　以下继续假定\(\mu(E)<\infty\)，如果可测函数列\(\{f_n(x)\}\)不依测度收敛于可测函数\(f(x)\)，则可以从中选出子列\(\{f_{n_i}(x)\}\)（“误差集测度”恒\(>\delta\)），使其没有依概率收敛的子列，从而也没有几乎处处收敛的子列。综合以上，\(\{f_n(x)\}\)依测度收敛于\(f(x)\)的充要条件是，对任何\(\{f_{n_i}(x)\}\)都能再找到几乎处处收敛于\(f(x)\)的子列。利用这个结论不难证明，依概率收敛的函数列（\(\mu(E)<\infty\)），它们的简单代数运算也是依概率收敛的（式（12），写出证明）。

\[f_n\underset{\mu}\Rightarrow f,\,g_n\underset{\mu}\Rightarrow g\;\mapsto\;af_n+bg_n\Rightarrow af+bg,\,f_ng_n\Rightarrow fg,\,f_n/g_n\Rightarrow f/g\tag{12}\]

　　在数列的极限中，往往用柯西数列（基本数列）代替极限的判断条件，因为它不需要极限点在场，使用起来更加方便。在依测度收敛中，也可以定义类似的收敛函数列，即对任意\(\varepsilon>0\)，可测函数列\(\{f_n(x)\}\)在下标足够大后满足式（13）。称这样的函数列为依测度的基本函数列，或简称基本函数列。依测度收敛的函数列显然是基本函数列，反之对于基本函数列\(\{f_n(x)\}\)，可以先证明存在子列\(\{f_{n_i}(x)\}\)依测度收敛于某可测函数\(f(x)\)，再证得\(\{f_n(x)\}\)依测度收敛于\(f(x)\)（请自行证明，注意\(\mu(E)\)不一定有限）。

\[E(|f_n(x)-f_m(x)|)<\varepsilon,\;\;m,n>N\tag{13}\]

　　选择子列的方法仍然是我们熟悉的基本分析技巧，即选出的下标使得“偏差测度”以指数递减（式（14））。不难证明，在\(F=\underset{i\to\infty}{\overline\lim}E_i\)之外，子列处处收敛且有\(\mu(F)=0\)，即子列几乎处处收敛于某可测函数\(f(x)\)。这就证明了依测度收敛和基本函数列的等价性。证明中还间接说明了，基本函数列以测度收敛于某可测函数\(f(x)\)。如果预先知道函数列依测度收敛于\(h(x)\)（不一定可测），那么它一定是基本函数列，继而可知\(h(x)\underset{\mu}{=}f(x)\)，这就是依测度收敛的“可替换性”了。

\[E_i=E(|f_{n_i}(x)-f_{n_k}(x)|)<\dfrac{1}{2^i},\;\;k>i\tag{14}\]

2.3 一致收敛和连续性

　　收敛的一致性是许多性质的来源，我们现在证明，几乎处处收敛的函数列也是“近乎”一致收敛的。具体来说，如果可测函数列\(\{f_n(x)\}\)几乎处处收敛到\(f(x)\)，则对任意\(\delta>0\)存在可测集\(E_{\delta}\)，使得\(\mu(E-E_\delta)<\delta\)且函数列在\(E_{\delta}\)上一致收敛于\(f(x)\)。证明没有本质难度，又是那个“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的把戏。先是定义式（15）的“误差范围内子集”，几乎处处收敛即表示极限\(\underset{n\to\infty}\lim\mu(E_{n,k})=\mu(E)\)成立（假定在\(E\)上处处收敛，因为零测度误差很好处理）。因此对任何\(\varepsilon=\dfrac{1}{k}\)，总存在下标\(n_k\)使得式（16）成立，不难证明集合\(\underset{n=0}{\overset{\infty}{\bigcap}}B_{n_k,k}\)就是我们要找的\(E_{\delta}\)。

\[B_{n,k}=E\left(|f_m(x)-f(x)|<\dfrac{1}{k},\;m\geqslant n\right)\tag{15}\]

\[\mu(E)-\mu(B_{n_k,k})<\dfrac{\delta}{2^k}\tag{16}\]

　　连续性是很多函数列收敛性质的关键，然而基于测度的连续就不能也不必像数学分析里那样严苛了。设\(f(x)\)为点集\(E\)上的函数，其中一点\(x_0\in E\)，如果对任意\(\varepsilon>0\)都存在\(x_0\)的邻域\(|x-x_0|<\delta,\,x\in E\)，使得\(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\)，则称\(x_0\)是\(f(x)\)的连续点。如果所有\(x\in E\)都是连续点，则\(f(x)\)称为连续函数。比如有理数域的常量函数，再比如闭集上的常量函数，请自行证明。另外类似数学分析中的证明，如果\(E\)上的连续函数列\(\{f_n(x)\}\)一致收敛于\(f(x)\)，则\(f(x)\)也是\(E\)上的连续函数。

　　最后来看一个Lebesgue可测函数的惊人事实。设\(f(x)\)是\(E\)上的Lebesgue可测函数，先假定\(m(E)\)有限，将其分成式（17）的可数个子集。根据\(m(E)\)有限，可先剔除掉\(|n|>n_k\)的子集并确保式（18）左足够小，然后在剩下的子集中作闭集\(F_{n,k}\)使得式（18）右成立。在闭集\(F_k=\bigcup F_{n,k}\)上作特征函数\(f_k(x)\)（\(F_{n,k}\)上的值为\(\dfrac{n}{k}\)），它们显然是连续函数。最后在闭集\(F=\bigcap F_k\)上观察，\(f_k(x)\)连续且一致收敛于\(f(x)\)，从而\(f(x)\)在\(F\)上是连续函数！由于\(\mu(E-F_k)\)可以任意小，再次使用“日取其半”的方法，对任意\(\delta>0\)都能找到\(\mu(E-F)<\delta\)。

\[E_{n,k}=E\left(\dfrac{n}{k}\leqslant f(x)<\dfrac{n}{k}\right),\;n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\tag{17}\]

\[\underset{|n|>n_k}{\sum}m(E_{n,k})<\delta;\;\underset{|n|\leqslant n_k}{\sum}m(E_{n,k}-F_{n,k})<\delta\tag{18}\]

　　当\(\mu(E)=+\infty\)时，可以把直线\(E^1\)分割成可列个不相交的有限区间\((a_k,b_k]\)，在每个子集\((a_k,b_k]\cap E\)上对\(\dfrac{\delta}{2^k}\)使用刚才的结论。最终得知结论在\(\mu(E)=+\infty\)上也成立，它被称为鲁津定理。由于\(F\)是闭集，那么\(E^1-F\)就是开集，连接每个开集区间的端点（属于\(F\)），便得到了整个\(E^1\)上的连续函数\(h(x)\)。所以有鲁津定理的一种形式：设\(f(x)\)是\(E\)上的Lebesgue可测函数，对任意\(\delta>0\)都存在\(E^1\)上的连续函数\(h(x)\)，使得\(m(E(f\neq h))<\delta\)。