【几何基础】05 - 笛沙格几何

合集 - 初等几何(5)

1.【几何基础】01 - 几何的公理系统2022-01-222.【几何基础】02 - 顺序公理2022-01-223.【几何基础】03 - 合同公理、平行公理、连续公理2022-01-224.【几何基础】04 - 比例和面积2022-01-22

5.【几何基础】05 - 笛沙格几何2022-01-29

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　　上一篇讨论的非阿基米德几何，其本质上已经与欧几里得几何没有太大差别，平面几何的大部分结论也都可以得证。本篇我们试图再度简化公理系统，并以此研究特定公理对平面几何性质的影响。试想，如果我们只讨论平面上的点线关系，公理$I_{1\sim 2},II,IV$似乎已经足够，因为$I_{3\sim 6}$是关于空间几何的、$III$则是关于线段和角的度量的。下面就来看看，这两组看似无关的公理，是如何影响到两个点线定理的。

1. 笛沙格几何

1.1 笛沙格定理

　　空间公理$I_4,I_6$似乎只为宣称空间的维度，直觉上只要我们愿意，一个平面几何总能自然地拓展到空间上去。当然事实却并非如此，单纯的平面公理还不能保证这样的平面可以成为空间的一部分（满足空间公理，且所有平面也满足平面公理），或者说空间公理$I_4,I_6$目前是不可缺少的。但其实如果再补充一些平面公理，空间公理就可以被定义和证明。在此之前，单纯的平行公理$IV$不方便、也并不足以讨论平行相关的论题，这里采用其增强版$I{V}^{\ast }$（之前依据合用公理可证得）。也就是说下面的讨论先基于公理$I_{1\sim 3},I_5,II,I{V}^{\ast }$（$I{I}_3$包含了$I_3,I_5$）。

　　$I{V}^{\ast }.$ （增强的平行公理）设直线$a$和其外一点$A$确定平面$\alpha$，则$\alpha$上有且仅有一条过$A$且不与$a$相交的直线。

　　上一篇的非阿基米德几何比这里多了合同公理，那里可以为平面内的点线建立解析方程。其实可以很容易将定义扩展到空间中，用3个线段$(x,y,z)$定义点，用4个线段的比例$(u,v,w,r)$定义面。方程（1）即表示点在面上，而两个方程的公共点定义为直线。由于方程的数系兼容有理数系，接下来就可以使用解析几何的方法论证所有公理的成立，包括空间公理。也就是说，非阿基米德几何是“可空间化”的。然而如果去掉合同公理，“可空间化”就不一定成立，为了举出反例，先要介绍一个“可空间化”的必要条件。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& ux+vy+wz+r=0\end{array}$$

　　在《射影几何》中（以后单独讨论），有个基本定理叫笛沙格定理（教材译作德沙格），只需用到公理$I,II,I{V}^{\ast }$，所以该定理是“可空间化”的必要条件。以下我们只用到笛沙格定理的简单情况，如下图该定理描述为：两个不共点不共线的三角形，如果三条边分别平行，则对应点连线交于一点；反之，如果对应点连线交于一点，且有两条边分别平行，则第三条边也平行。

　　现在来构造一个平面几何，它比非阿基米德几何少了合同公理$II{I}_6$。在一般的欧几里得几何中（以下左图），选定一条垂直直线做为“轴线”，它将平面分为左右两侧。当直线穿过轴线时，如果左上侧的角为锐角$\beta$，则射线将折成锐角$\alpha$，且有$\tan \beta =2\tan \alpha$。这里其实定义了可能弯折的“直线”，它们的夹角被定义为右侧射线（原直线）的夹角。不难证明，这样的平面几何，只比非阿基米德几何少满足了公理$II{I}_6$（请自行证明两点确定一线），然而它却不满足笛沙格定理（以下右图），所以不“可空间化”。

          

1.2 新的加法和乘法

　　反过来，我们需要回答：如果在平面几何中（$I_{1\sim 3},I_5,II,I{V}^{\ast }$）引入笛沙格定理（做为公理），这样的几何“可空间化”吗？和之前的思路一样，这里将建立线段的计算和方程，用把方程拓展到空间中的方法证明“可空间化”。先来看线段加法，由于没有合同公理，线段的迁移和计算变得困难。但如果只为建立坐标和方程，可以用平行线的特性做简化的迁移。具体来说，先选择两条相交于$O$的直线做“坐标轴”（以下左图），以下只讨论坐标轴上以$O$为端点的线段的计算。然后再选定某个方向的平行线簇，它们在两轴上截得的线段被视为“相等”的。其中$O$点本身代表0线段，选定一个单位线段并记作1，截得线段1的平行线叫“单位直线”。

          

　　对于线段$a,b$，把它们放到不同的轴上（本段论述与教材不同），分别引出两轴的平行线并交于点$A$（以上右图）。从$A$作单位直线的平行线，截两轴得到的线段定义为$a+b$，加法天然是满足交换律的。但这个定义还要检查其是否“良性”，即如果两个线段放置的轴交换一下，得到的和应该相同。如以下左图，设$a,b$两种放置得到的交点分别为$C,C^{\prime }$，要证明的是$C{C}^{\prime }//A{A}^{\prime }$。先对$\mathrm{△}OA{A}^{\prime }$和$\mathrm{△}D{B}^{\prime }B$使用笛沙格定理，得到$OED$共线；再对$\mathrm{△}EA{A}^{\prime }$和$\mathrm{△}DC{C}^{\prime }$使用笛沙格定理，得到$C{C}^{\prime }//A{A}^{\prime }$。

          

　　这里要特别指出，针对某个轴上的线段加法，其实跟另一个轴、以及单位直线的选取都无关。比如以上右图，我们选择不同的第二条轴和单位直线，先用轴$OD$得到$OC=a+b$。对$\mathrm{△}ODE$和$\mathrm{△}BFG$使用笛沙格定理，得到$DE//FG$；再对$\mathrm{△}ADE$和$\mathrm{△}CFG$使用笛沙格定理，得到$AE//CG$。你如果明白了以上两段证明，加法结合律也不会有根本困难，请做为练习自行证明。

　　现在来定义线段乘法，受启发于欧几里得几何的比例关系，把1和$b$放在同一个轴、$a$放在另一个轴，平行线截得的线段定义为$ab$。当然，这里也要证明定义的“良性”，即$a$和$1,b$位置调一下，截得的$D$点应该满足$D{D}^{\prime }//A{A}^{\prime }$。对$\mathrm{△}GB{B}^{\prime }$和$\mathrm{△}FE{E}^{\prime }$使用笛沙格定理，得到$OFG$共线；再对$\mathrm{△}GD{D}^{\prime }$和$\mathrm{△}FA{A}^{\prime }$使用笛沙格定理，便得到$D{D}^{\prime }//A{A}^{\prime }$。接下来的乘法结合律、两个分配率也没有根本困难，请自行证明（注意单位直线对加法不重要）。特别强调一下，乘法定义里$a,b$的角色是不对称的，故乘法没有交换律。

          

1.3 笛沙格几何

　　以上我们在公理$I_{1\sim 3},I_5,II,I{V}^{\ast }$和笛沙格定理的条件下，定义了线段的加法和乘法，它们构成了一个非交换域（乘法不满足交换律）。为了进一步地构造数系，还需要定义线段大小，这一点只要在坐标轴上规定好方向即可（以$O$为参考）。假设$a>b,c>0$，还需要证明$a+c>b+c$和$ac>bc$，详细的讨论是通过顺序公理的一些引理获得的，这里仅叙述一下引理的内容，请自行补全证明。引理包括（以下左图）：一组平行线在两坐标轴上截得的点（投影）的顺序是相同的；一个轴上两点$A,B$到另一轴的两组投影$A^{\prime },B^{\prime }$和$A^{″},B^{″}$满足：$A^{″},B^{″}$分别在$A^{\prime },B^{\prime }$的相同侧。最终建立起来的数系称为笛沙格数系。

          

　　有了数系就能建立坐标系。首先在平面上（以上右图），把空间任意一点$P$在两轴的投影定义为它的坐标$(x,y)$，假设$P$所在直线$l$截$y$轴的线段为$m$，以及$l$的“斜率”为$k$。不难由加法定义得到$kx+y=m$，它就是直线的解析方程（直线上所有点都满足）。反之对于任意方程$ax+by=c$，两边同时左乘$b^{-1}$也能得到格式$kx+y=c$，故$ax+by=c$总能表示一条直线。建立坐标系的意义在于，以数系建立方程，并将之对应成"点线面”的定义，反过来用解析函数验证公理的成立，使得论证代数化、流程化。

　　在空间上，同样用三个线段$(x,y,z)$定义点，用方程（1）定义平面，以平面的公共点定义直线。由于笛沙格数系没有交换律，不能完全按有理数域的解析方程论证公理$I,II,I{V}^{\ast }$，但也不会有根本困难，请参考教材注解部分。结论就是：笛沙格数系建立的几何满足公理$I,II,I{V}^{\ast }$，也即笛沙格定理是公理$I_{1\sim 3},I_5,II,I{V}^{\ast }$“可空间化”的充要条件。

2. 帕斯卡几何

　　本篇我们彻底抛开了合同公理，建立起笛沙格数系及其几何，这样的几何只讨论点线面的位置关系（射影几何）。细心的你可能发现，上篇中的帕斯卡定理其实也只关系到点线的位置关系，那么它是否可以脱离合同公理而存在呢？它与笛沙格定理的关系又是什么呢？由于笛沙格定理是$I,II,I{V}^{\ast }$的直接推论，以下我们把笛沙格几何（只需满足$I,II,I{V}^{\ast }$）作为基本的几何空间，讨论帕斯卡定理成立的条件。先由下图可知，帕斯卡定理本质上等价于乘法交换律。而笛沙格数系是非交换域，教材上也构造出了一个非交换域，其中乘法不满足交换律。所以帕斯卡定理不能在笛沙格几何中直接得出，它依赖乘法交换律的成立。

　　如果我们不想把乘法交换律纳入公理系统，其实还有一个更便捷的出路，那就是阿基米德公理$V_1$。当然在没有合同公理的情况下，需要借助线段的加法定义重新描述公理如下。现在要证明的是，当$V_1^{\ast }$成立时，乘法交换律（帕斯卡定理）也成立。首先容易证明对整数$n$，乘法交换律是成立的（转化为加法）。选定线段$a>0,b>0$，则对任意$d>0$总存在整数$m,n$使得式（2）成立，整理可有式（3）成立。由于$d$可以任意取，式（3）左侧就可以任意“小”而不得不为0（反证法），从而乘法交换律恒成立。所以这里的结论就是：笛沙格几何中如果引入公理$V_1^{\ast }$，也能得到帕斯卡定理。

　　$V_1^{\ast }.$ （基于加法的阿基米德公理）给定直线上的线段$a,b$（以固定点$O$为起点），则总存在整数$n$使得$na<b⩽(n+1)a$。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& md<a⩽(m+1)d;nd<b⩽(n+1)d\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& ab-ba<(m+n+1)d^2<(a+b+1)d\end{array}$$

　　但以上论述，其实还不足以说明：帕斯卡定理要强于笛沙格定理（不同于上一篇有合同公理的场景），现在就来补齐这最后一块。还是先基于平面公理$I_{1\sim 3},I_5,II,I{V}^{\ast }$，假设帕斯卡定理成立，下图有条件$AB//A^{\prime }{B}^{\prime },AC//A^{\prime }{C}^{\prime }$。过$A$作$OB$的平行线，其它点线自行生成（特殊情况请另外证明）。先对$A^{\prime }{B}^{\prime }O-FAD$使用帕斯卡定理，得到$OF//A^{\prime }D$；继而分别对$BOF-EAC$和$B^{\prime }OF-ED{C}^{\prime }$使用帕斯卡定理，得到$FE//BC$和$FE//B^{\prime }{C}^{\prime }$。从而$BC//B^{\prime }{C}^{\prime }$，笛沙格定理成立。

　　由此我们知道，帕斯卡定理比笛沙格定理更强，可以把满足$I,II,I{V}^{\ast }$和帕斯卡定理的几何定义为帕斯卡几何。帕斯卡几何的数域兼容有理数域，由此能表示所有仅包含点线面关系的几何问题，其中任何问题的证明，都可以由一系列帕斯卡定理完成！这个结论称为交点定理。

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 【全篇完】