【实变函数】02 - 测度论基础
1. 测度和\(\sigma\)-环
在上一篇我感受到，对复杂集合的描述都是很困难的事，更不好定义一个清晰普遍的测度。正确的思路应该是，从可以定义测度的简单集开始，合理地向外扩展，直至包含足够丰富的集。这样即满足了复杂性要求，也同时兼容了简单集的测度。所谓简单集，就比如实数集上的区间，区间长（测度）有公认的定义。当然我们这里不局限于实数集或者欧氏空间，而把讨论对象放在一般集合上。先是有一个全集\(X\)做为基本空间，测度只定义在\(X\)的某些子集上，由\(X\)的某些子集组成的集合称为集类，这里用黑体字母表示\(\mathbf{E}\)。
假设在\(X\)的某个简单集类上已经有公认的度量（测度）定义\(\mu(E)\)，它必须符合以下3个常识性的限定：（1）\(\mu(\Phi)=0\)；（2）\(\mu(E)\geqslant0\)；（3）式（1）的可加性。这3个简单直观的限定其实包含了众多具有度量性质的函数，比如个数、长度、质量、概率等。可加性结合第一条的空集为0，可以自由推导出子集的交、并、差的测度，也就是说测度对有限的集合运算是封闭的，任何对测度的扩充也应当对这些运算封闭。
\[E_i\cap E_j=\Phi\;\Rightarrow\;\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}E_i\right)=\bigcup_{i=1}^{n}\mu(E_i)\tag{1}\]
有限运算把测度限制在了简单集类上，我们要做的就是捅破“有限”这层窗户纸，但又不能捅得太过。上一篇中强调了可列无穷的特殊意义，它是无穷中最接近有穷的存在，数学归纳法是有穷到可列无穷的桥梁。现在很自然的一步就是要把简单集类先扩展到对可列个运算的封闭，其实不难证明，只需要对可列个并封闭就行了，即如果\(\mathbf{E}\)对可列个并以及有限个交、差封闭，那么它对可列个交、差、并封闭。定义好了集类的可列封闭性，还需要把式（1）的可加性扩展到式（2）的可列可加性，结合前两条性质，这既是我们对测度的基本要求。
\[E_i\cap E_j=\Phi\;\Rightarrow\;\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right)=\bigcup_{i=1}^\infty\mu(E_i)\tag{2}\]
上面的封闭性描述比较繁琐，教材上把“在有限并、差上封闭的集类”（等价于在并、交上封闭）称为\(X\)上的环，包含\(X\)的环也叫\(X\)上的域。简单推敲一下会发现，这个定义并不符合代数上环和域的要求，但单纯为了表述简单，以下仍沿用这两个名词。再比如任意集类\(\mathbf{E}\)对环（域）条件的闭包（包含\(\mathbf{E}\)且满足条件的最小集类）称为的张成环（域），一般记作\(\mathbf{R}(\mathbf{E})\)（\(\mathbf{F}(\mathbf{E})\)）。当然我们更关注的是满足可列可加性的环（域），它被称为\(\sigma\)-环（\(\sigma\)-域），以及相应的有张成\(\sigma\)-环（\(\sigma\)-域），记作\(\mathbf{S}(\mathbf{E})\)（\(\mathbf{F}(\mathbf{E})\)）。
在考虑测度的性质时，我们只需狠狠地盯住上面的三个特征，它就是单纯的一个“量”，数量、重量等。可列可加性也只是单纯的“叠加”，并不对子集之间的空间布局有任何要求。从这3个特征出发，不难得到测度的一些基本特征，这里不再罗列。但要特别提醒一点：某些特征需要避开\(\mu=\infty\)的情景，以免产生逻辑漏洞。另外，当\(\mathbf{R}\)是一个\(\sigma\)-环，请自行证明式（3~5），其中式（4~5）要求存在\(k\)使得\(\mu\left(\underset{i=k}{\overset{\infty}{\bigcap}}E_i\right)<\infty\)，式（5）还要求极限\(\lim E_n\)存在。
\[\mu\left(\underset{n\to\infty}{\underline\lim}E_n\right)\leqslant\underset{n\to\infty}{\underline\lim}\mu(E_n)\tag{3}\]
\[\mu\left(\underset{n\to\infty}{\overline\lim}E_n\right)\geqslant\underset{n\to\infty}{\overline\lim}\mu(E_n)\tag{4}\]
\[\mu\left(\underset{n\to\infty}\lim E_n\right)=\underset{n\to\infty}\lim\mu(E_n)\tag{5}\]
可列可加性是测度的需求触发定义的，但如果你思考过集合论中的可列集，就会陷入无穷套无穷的漩涡出不来。所以直接证明可列可加性会是非常棘手的问题，这里需要介绍另一种使用更方便的集类。如果对集类\(\mathbf{M}\)中的任何单调序列\(\{E_n\}\)，都有\(\underset{n\to\infty}\lim E_n\in\mathbf{M}\)，那么\(\mathbf{M}\)称为单调类，类似地也有张成的单调类\(\mathbf{M}(\mathbf{E})\)。由可列和与单调序列的关系，不难证明：\(\sigma\)-环是单调类，单调环也是\(\sigma\)-环。但要注意，单纯的单调类并不一定是环，由此目前还不能武断地认为\(\mathbf{S}(\mathbf{E})=\mathbf{M}(\mathbf{E})\)。
不过令人惊喜的是，如果\(\mathbf{R}\)是一个环，那么\(\mathbf{M}(\mathbf{R})\)也是一个环，从而就有式（6）成立。这样在检验\(\sigma\)-环时，只要确保它是环的单调张成就行了。直接在单调类上证明环不好下手，不妨从运算开始构造单调类。具体来说，在一个任意的单调类\(\mathbf{M}\)上，记集类\(\mathbf{K}(E)\)由\(\mathbf{M}\)中与\(E\)的交、并、差仍然属于\(\mathbf{M}\)的元素组成（注意\(\mathbf{K}(E)\)并不是环）。首先容易证明\(\mathbf{K}(E)\)也是个单调类，此时如果\(E\in\mathbf{R},\,\mathbf{M}=\mathbf{M}(\mathbf{R})\)，则单调类\(\mathbf{K}(E)\)包含\(\mathbf{R}\)，从而\(\mathbf{K}(E)=\mathbf{M}(\mathbf{R})\)。然后把\(E\)取在\(\mathbf{M}(\mathbf{R})\)中，刚才结论又说明了\(\mathbf{K}(E)\)包含\(\mathbf{R}\)，从而有更一般的\(\mathbf{K}(E)=\mathbf{M}(\mathbf{R})\)，这就说明\(\mathbf{M}(\mathbf{R})\)是一个环。
\[\mathbf{S}(\mathbf{R})=\mathbf{M}(\mathbf{R})\tag{6}\]
2. 测度的延拓
在简单的环\(\mathbf{R}\)上，一般已经有基于直觉的测度定义\(\mu\)，比如区间长度。为了获得一个更加完备的测度空间，我们希望至少能将\(\mu\)延拓到\(\mathbf{S}(\mathbf{R})\)上。注意这个过程是集类和测度的同时拓展，集类在拓展时需要完成“并运算”的封闭，而测度拓展也不能冲破“并集测度”的上限。更一般地，我们来讨论能被\(\mathbf{R}\)的元素“可列覆盖”的集类\(\mathbf{H}(\mathbf{R})\)（式（7））。因为可列个可列集之并还是可列的，易知\(\mathbf{H}(\mathbf{R})\)是一个\(\sigma\)-环。这个范围已经足够大，下面要加以限制以定义测度。
\[\mathbf{H}(\mathbf{R})=\{E|E\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty E_i,\;E_i\in\mathbf{R}\}\tag{7}\]
如果想在任意\(E\in\mathbf{H}(\mathbf{R})\)上定义测度，并与已知测度产生联系，一个有益的尝试是考虑\(E\)的覆盖集的测度和的下限\(\mu^*(E)\)（式（8））。首先\(\mu^*(E)\)一定是理想测度的“上限”，所以它被称为外测度。显然\(\mu^*\)在\(\mathbf{R}\)上等于\(\mu\)，另外它也满足测度的非负性、单调性，但却不一定满足可加性。利用一点数学分析的技巧（也得益于可列集的“类似有限性”），可以证明外侧度有式（9）的次可列可加性。
\[\mu^*(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^\infty\mu(E_i)\;|\;E\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty E_i,\;E_i\in\mathbf{R}\right\}\tag{8}\]
\[\mu^*\left(\sum_{i=0}^\infty E_i\right)\leqslant\sum_{i=0}^\infty\mu^*(E_i)\tag{9}\]
可加性是测度的核心性质，另一个角度看其实就是“可分割性”，即分割一个集合\(F=E_1\cup E_2\)时，其覆盖集也要能被分割并成为\(E_i\)的覆盖集。而这一点在\(E_i\)中有一个属于\(\mathbf{R}\)时，可以证明是成立的（式（10）），请用数学分析自行严格论证。“可分割性”为我们提供了清晰的思路，从\(\mathbf{H}(\mathbf{R})\)中筛选适合定义测度的集类，即它们应当有“锋利”的边界，可以“分割”集类中的所有集合。比如考察所有满足式（10）条件的集合\(E\)（Caratheodory条件），它们称为\(\mu^*\)-可测集，其集类记为\(\mathbf{R}^*\)。
\[\mu^*(F)=\mu^*(F\cap E)+\mu^*(F-E),\;\;F\in\mathbf{H}(\mathbf{R})\tag{10}\]
显然有\(\mathbf{R}\subseteq\mathbf{R}^*\)，且容易证明\(\mathbf{R}^*\)是一个环（对并/差运算封闭），“可分割性”可用图形直观示意，以指导证明过程。然后综合使用单调性、次可列可加性，也可以证明\(\mathbf{R}^*\)对可列并运算封闭，从而它还是一个\(\sigma\)-环。\(\mu^*\)在\(\mathbf{R}^*\)上自然是满足可列可加性的，从而\(\mu^*\)便是\(\mathbf{R}^*\)上的测度，我们找到了任意环的测度的\(\sigma\)-环延拓。从下篇开始，我们总是自然地把任意环及其测度进行延拓，以及不加区分地统一使用\(\mu\)表示测度。
最后还需要分析一下\(\mathbf{R}^*\)的构成，由于有\(\mathbf{S}(\mathbf{R})\subseteq\mathbf{R}^*\)，我们只需弄清\(\mathbf{S}(\mathbf{R})\)之外还有什么。虽然这里不能对所有环得出一般性结论，但在一类足够普遍的环上，\(\mathbf{R}^*\)的构成比较清晰。如果\(\mathbf{R}\)上任意元素的测度\(\mu(E)<\infty\)，则称测度\(\mu\)是有限的。更广泛地，如果任意元素是可列个测度有限的集之并（\(E=\cup E_i,\,\mu(E_i)<\infty\)），则称测度\(\mu\)是\(\sigma\)-有限的。容易证明，如果\(\mu\)是\(\mathbf{R}\)上的\(\sigma\)-有限测度，那么\(\mu^*\)也是\(\mathbf{R}^*\)上的\(\sigma\)-有限测度。
现在来看\(\sigma\)-有限测度的集类\(\mathbf{R}^*\)的构成，为此先要定义一类特殊的集合。如果\(\mu(E)=0\)，便称\(E\in\mathbf{R}\)为\(\mu\)-零集或零集。如果零集的所有子集都在环中，\(\mu\)称为完全测度，显然\(\mu^*\)就是\(\mathbf{R}^*\)上的完全测度。如果\(E\in\mathbf{R}^*\)的测度有限，利用外测度的覆盖定义（加一些数学分析的讨论），可知存在\(F\in\mathbf{S}(\mathbf{R})\)，使得\(F\supseteq E\)且\(\mu^*(F-E)=0\)。进而如果\(\mu^*(E)\)是\(\sigma\)-有限的，也可以证明存在\(\mu^*(F-E)=0\)；甚至对\(F-E\)使用这个结论后，还可知存在\(\mu^*(E-F)=0\)。
所以\(\mathbf{R}^*\)其实就是\(\mathbf{S}(\mathbf{R})\)增补了所有零集而生成的，可想而知，如果把差集测度等于0的集类看成元素，它们能组成一个“商环”，这个商环才是\(\mathbf{R}^*\)最根本的构成。这时候再看\(\mathbf{R}^*\)的生成以及元素判断，不一定要判断Caratheodory条件，而只需\(\mathbf{S}(\mathbf{R})\)和\(\mu\)-零集即可。这一点如果从外集的覆盖性定义考虑，其实不算特别意外。最后还要提醒一点，\(\mathbf{S}(\mathbf{R})\)只跟\(\mathbf{R}\)有关，不同的\(\mu^*\)-零集会延拓为不同的\(\mathbf{R}^*\)。
3. Lebesgue测度
以上讨论的测度定义在一般集类上，所得结论适用于所有特定的环。实变函数定义在一维实数集\(E^1\)上，记\(\mathbf{R_0}\)是直线上有限的左开右闭区间组成的环，环的元素（区间集）\(E\)的长度\(m(E)\)可以视为测度。如果给实数集赋予密度\(\rho(x)\)，\(E\)的“重量”\(g(E)\)也可视为测度，显然\(m(E)\)是\(g(E)\)在\(\rho=1\)时的特例。接下来就把上段的结论对应到\(\mathbf{R_0}\)上，注意这里使用了Lebesgue测度的专有名词，以及注意特例中更具体的结论。
显然\(\mathbf{H}(\mathbf{R_0})\)包含了直线上的所有子集（范围过大），其上可以定义\(m,\,g\)的外测度\(m^*,\,g^*\)。继而定义满足式（10）的集合称为Lebesgue可测集（Lebesgue-Stieltjes可测集），或简称L-可测集（L-S可测集），它们的全体记作\(\mathbf{L}\)（\(\mathbf{L^g}\)），它们都是\(\sigma\)-环，以及都是\(\sigma\)-有限的完全测度。后面假定总是把\(\mathbf{R_0}\)延拓为\(\mathbf{L}\)，外测度也将不加区分地记作\(m\)，L-S测度\(g\)最后会专题讨论。
为了弄清\(\mathbf{L}\)的构成，先要看\(\mathbf{S}(\mathbf{R_0})\)包含了哪些集合，它也被称为Borel集，记作\(\mathbf{B}\)。容易证明，Boral集中包含所有单点集、有限点集、可列点集，且它们的测度均为0；继而可知，Boral集中还包含所有开集，其测度等于所有构成区间的长度和；最后，由于\(E^1\in\mathbf{B}\)，而闭集是开集的补集，故而所有闭集也都在Boral集中，它们的测度也只需做减法运算。Borel集包含的远不止上面提到的3类典型集合，比如一列开集之交被称为\(G_{\delta}\)型点集或内限点集，一列闭集之并被称为\(F_{\sigma}\)型点集或外限点集，它们也都是常用的Borel集。当然，点集、开集、闭集都只是内（外）限点集的特例。
根据上段的结论，Borel集增补\(m\)零集后便能生成\(\mathbf{L}\)，在这里还有更具体的结论。首先从覆盖的定义出发，容易证明外测度\(m(E)\)等于所有能覆盖\(E\)的开集的测度下限。继而如果\(E\)是L-可测集，利用可分割性可知，对任何\(\varepsilon>0\)总存在开集\(O\)使得式（11）左成立（需分成\(m(E)\)有限和无限两种情况）。取\(\varepsilon=\dfrac{1}{i}\)并设对应的开集为\(O_i\)，记内限点集\(G=\cup O_i\)，从式（11）左可知式（11）右成立。另外，因为\(E\)的补集也是L-可测集，利用式（11）可知，对任何\(\varepsilon>0\)总存在闭集\(C\)使得式（12）左成立，以及存在外限点集\(F\)使得式（12）右成立。
\[m(O-E)<\varepsilon,\;E\subseteq O;\;\;\;m(G-E)=0,\;G\in G_{\delta}\tag{11}\]
\[m(E-C)<\varepsilon,\;C\subseteq E;\;\;\;m(E-F)=0,\;F\in F_{\sigma}\tag{12}\]
关于Borel集的范围和构成，容易知道\(\mathbf{B}\)的势至少是\(\aleph\)，教材上说它的势就是\(\aleph\)，这一点暂且留空（超限归纳法）。关于\(\mathbf{L}\)的势，首先知道它有上限\(2^\aleph\)（\(E^1\)的所有子集的势），同时易知康拓尔集\(C\in\mathbf{L}\)且\(\mu(C)=0\)，所以\(C\)的所有子集属于\(\mathbf{L}\)。从而确定\(\mathbf{L}\)的势就是\(2^\aleph\)，它比\(\mathbf{B}\)要多得多，然而构造不是Borel集的L-可测集绝非易事，请参考资料[2]。
最后来讨论个有趣的问题，直线上是否有不是L-可测集的子集呢？这里的构造方法比较巧妙，利用了有理数集的可列性和稠密性，表演了一场“无中生有”的魔法。现在把有理数集\(\mathbb{Q}\)看成是一个同类集，同类的条件是点之间的距离是有理数，结果直线上的所有点就被分到了若干互斥的同类集\(\{Q_r\}\)里（\(r\)为代表元）。注意在任意测度非零的区间上，都有可列个\(Q_r\)的代表元，比如可以在区间\([0,1]\)上为每个\(Q_r\)选出代表元并组成集\(Z\)（选择公理）。然后将\([-1,1]\)的所有有理数排成数列\(\{r_0,r_1,r_2,r_3,\cdots\}\)，并考察将\(Z\)所有元素整体偏移\(r_i\)之后的集合列\(Z_0,Z_1,Z_2,Z_3,\cdots\)。假定\(\{Z_i\}\)都是可测集，易知它们测度相等，不妨记为\(\mu_0\)。再由于它们是互斥的，从而并集的测度应当是\(\mu_0\cdot\infty\)，应该是\(0\)或\(\infty\)。然而它们的并集能完整覆盖\([0,1]\)但不超过\([-1,2]\)，是个有限非零值，这个矛盾就说明\(Z\)不是L-可测集。
