【实变函数】02 - 测度论基础

合集 - 实变与泛函(8)

1.【实变函数】01 - 更合理的积分2023-05-03

2.【实变函数】02 - 测度论基础2023-05-03

3.【实变函数】03 - 可测函数2023-05-034.【实变函数】04 - 基于测度的积分2023-05-035.【实变函数】05 - 积分极限和乘积测度2023-05-036.【实变函数】06 - 导数和单调函数2023-05-037.【实变函数】07 - 微积分基本定理2023-05-038.【实变函数】08 - 广义测度和积分2023-05-03

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1. 测度和$\sigma$-环

　　在上一篇我感受到，对复杂集合的描述都是很困难的事，更不好定义一个清晰普遍的测度。正确的思路应该是，从可以定义测度的简单集开始，合理地向外扩展，直至包含足够丰富的集。这样即满足了复杂性要求，也同时兼容了简单集的测度。所谓简单集，就比如实数集上的区间，区间长（测度）有公认的定义。当然我们这里不局限于实数集或者欧氏空间，而把讨论对象放在一般集合上。先是有一个全集$X$做为基本空间，测度只定义在$X$的某些子集上，由$X$的某些子集组成的集合称为集类，这里用黑体字母表示$\mathbf{E}$。

　　假设在$X$的某个简单集类上已经有公认的度量（测度）定义$\mu (E)$，它必须符合以下3个常识性的限定：（1）$\mu (\mathrm{\Phi })=0$；（2）$\mu (E)⩾0$；（3）式（1）的可加性。这3个简单直观的限定其实包含了众多具有度量性质的函数，比如个数、长度、质量、概率等。可加性结合第一条的空集为0，可以自由推导出子集的交、并、差的测度，也就是说测度对有限的集合运算是封闭的，任何对测度的扩充也应当对这些运算封闭。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& E_i\cap E_j=\mathrm{\Phi }\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^n{E}_i\right)=\bigcup _{i=1}^n\mu (E_i)\end{array}$$

　　有限运算把测度限制在了简单集类上，我们要做的就是捅破“有限”这层窗户纸，但又不能捅得太过。上一篇中强调了可列无穷的特殊意义，它是无穷中最接近有穷的存在，数学归纳法是有穷到可列无穷的桥梁。现在很自然的一步就是要把简单集类先扩展到对可列个运算的封闭，其实不难证明，只需要对可列个并封闭就行了，即如果$\mathbf{E}$对可列个并以及有限个交、差封闭，那么它对可列个交、差、并封闭。定义好了集类的可列封闭性，还需要把式（1）的可加性扩展到式（2）的可列可加性，结合前两条性质，这既是我们对测度的基本要求。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& E_i\cap E_j=\mathrm{\Phi }\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_i)\end{array}$$

　　上面的封闭性描述比较繁琐，教材上把“在有限并、差上封闭的集类”（等价于在并、交上封闭）称为$X$上的环，包含$X$的环也叫$X$上的域。简单推敲一下会发现，这个定义并不符合代数上环和域的要求，但单纯为了表述简单，以下仍沿用这两个名词。再比如任意集类$\mathbf{E}$对环（域）条件的闭包（包含$\mathbf{E}$且满足条件的最小集类）称为的张成环（域），一般记作$\mathbf{R}(\mathbf{E})$（$\mathbf{F}(\mathbf{E})$）。当然我们更关注的是满足可列可加性的环（域），它被称为$\sigma$-环（$\sigma$-域），以及相应的有张成$\sigma$-环（$\sigma$-域），记作$\mathbf{S}(\mathbf{E})$（$\mathbf{F}(\mathbf{E})$）。

　　在考虑测度的性质时，我们只需狠狠地盯住上面的三个特征，它就是单纯的一个“量”，数量、重量等。可列可加性也只是单纯的“叠加”，并不对子集之间的空间布局有任何要求。从这3个特征出发，不难得到测度的一些基本特征，这里不再罗列。但要特别提醒一点：某些特征需要避开$\mu =\mathrm{\infty }$的情景，以免产生逻辑漏洞。另外，当$\mathbf{R}$是一个$\sigma$-环，请自行证明式（3~5），其中式（4~5）要求存在$k$使得$\mu \left(\underset{i=k}{\bigcap ^{\mathrm{\infty }}}{E}_i\right)<\mathrm{\infty }$，式（5）还要求极限$lim{E}_n$存在。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mu \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{lim}}{E}_n\right)⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{lim}}\mu (E_n)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mu \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overline{lim}}{E}_n\right)⩾\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overline{lim}}\mu (E_n)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \mu \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{E}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu (E_n)\end{array}$$

　　可列可加性是测度的需求触发定义的，但如果你思考过集合论中的可列集，就会陷入无穷套无穷的漩涡出不来。所以直接证明可列可加性会是非常棘手的问题，这里需要介绍另一种使用更方便的集类。如果对集类$\mathbf{M}$中的任何单调序列$\{E_n\}$，都有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{E}_n\in \mathbf{M}$，那么$\mathbf{M}$称为单调类，类似地也有张成的单调类$\mathbf{M}(\mathbf{E})$。由可列和与单调序列的关系，不难证明：$\sigma$-环是单调类，单调环也是$\sigma$-环。但要注意，单纯的单调类并不一定是环，由此目前还不能武断地认为$\mathbf{S}(\mathbf{E})=\mathbf{M}(\mathbf{E})$。

　　不过令人惊喜的是，如果$\mathbf{R}$是一个环，那么$\mathbf{M}(\mathbf{R})$也是一个环，从而就有式（6）成立。这样在检验$\sigma$-环时，只要确保它是环的单调张成就行了。直接在单调类上证明环不好下手，不妨从运算开始构造单调类。具体来说，在一个任意的单调类$\mathbf{M}$上，记集类$\mathbf{K}(E)$由$\mathbf{M}$中与$E$的交、并、差仍然属于$\mathbf{M}$的元素组成（注意$\mathbf{K}(E)$并不是环）。首先容易证明$\mathbf{K}(E)$也是个单调类，此时如果$E\in \mathbf{R},\mathbf{M}=\mathbf{M}(\mathbf{R})$，则单调类$\mathbf{K}(E)$包含$\mathbf{R}$，从而$\mathbf{K}(E)=\mathbf{M}(\mathbf{R})$。然后把$E$取在$\mathbf{M}(\mathbf{R})$中，刚才结论又说明了$\mathbf{K}(E)$包含$\mathbf{R}$，从而有更一般的$\mathbf{K}(E)=\mathbf{M}(\mathbf{R})$，这就说明$\mathbf{M}(\mathbf{R})$是一个环。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \mathbf{S}(\mathbf{R})=\mathbf{M}(\mathbf{R})\end{array}$$

2. 测度的延拓

　　在简单的环$\mathbf{R}$上，一般已经有基于直觉的测度定义$\mu$，比如区间长度。为了获得一个更加完备的测度空间，我们希望至少能将$\mu$延拓到$\mathbf{S}(\mathbf{R})$上。注意这个过程是集类和测度的同时拓展，集类在拓展时需要完成“并运算”的封闭，而测度拓展也不能冲破“并集测度”的上限。更一般地，我们来讨论能被$\mathbf{R}$的元素“可列覆盖”的集类$\mathbf{H}(\mathbf{R})$（式（7））。因为可列个可列集之并还是可列的，易知$\mathbf{H}(\mathbf{R})$是一个$\sigma$-环。这个范围已经足够大，下面要加以限制以定义测度。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathbf{H}(\mathbf{R})=\{E|E\subseteq \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i,E_i\in \mathbf{R}\}\end{array}$$

　　如果想在任意$E\in \mathbf{H}(\mathbf{R})$上定义测度，并与已知测度产生联系，一个有益的尝试是考虑$E$的覆盖集的测度和的下限${\mu }^{\ast }(E)$（式（8））。首先${\mu }^{\ast }(E)$一定是理想测度的“上限”，所以它被称为外测度。显然${\mu }^{\ast }$在$\mathbf{R}$上等于$\mu$，另外它也满足测度的非负性、单调性，但却不一定满足可加性。利用一点数学分析的技巧（也得益于可列集的“类似有限性”），可以证明外侧度有式（9）的次可列可加性。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\mu }^{\ast }(E)=inf\{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_i)|E\subseteq \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i,E_i\in \mathbf{R}\}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\mu }^{\ast }\left(\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)⩽\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{\ast }(E_i)\end{array}$$

　　可加性是测度的核心性质，另一个角度看其实就是“可分割性”，即分割一个集合$F=E_1\cup E_2$时，其覆盖集也要能被分割并成为$E_i$的覆盖集。而这一点在$E_i$中有一个属于$\mathbf{R}$时，可以证明是成立的（式（10）），请用数学分析自行严格论证。“可分割性”为我们提供了清晰的思路，从$\mathbf{H}(\mathbf{R})$中筛选适合定义测度的集类，即它们应当有“锋利”的边界，可以“分割”集类中的所有集合。比如考察所有满足式（10）条件的集合$E$（Caratheodory条件），它们称为${\mu }^{\ast }$-可测集，其集类记为${\mathbf{R}}^{\ast }$。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\mu }^{\ast }(F)={\mu }^{\ast }(F\cap E)+{\mu }^{\ast }(F-E),F\in \mathbf{H}(\mathbf{R})\end{array}$$

　　显然有$\mathbf{R}\subseteq {\mathbf{R}}^{\ast }$，且容易证明${\mathbf{R}}^{\ast }$是一个环（对并/差运算封闭），“可分割性”可用图形直观示意，以指导证明过程。然后综合使用单调性、次可列可加性，也可以证明${\mathbf{R}}^{\ast }$对可列并运算封闭，从而它还是一个$\sigma$-环。${\mu }^{\ast }$在${\mathbf{R}}^{\ast }$上自然是满足可列可加性的，从而${\mu }^{\ast }$便是${\mathbf{R}}^{\ast }$上的测度，我们找到了任意环的测度的$\sigma$-环延拓。从下篇开始，我们总是自然地把任意环及其测度进行延拓，以及不加区分地统一使用$\mu$表示测度。

　　最后还需要分析一下${\mathbf{R}}^{\ast }$的构成，由于有$\mathbf{S}(\mathbf{R})\subseteq {\mathbf{R}}^{\ast }$，我们只需弄清$\mathbf{S}(\mathbf{R})$之外还有什么。虽然这里不能对所有环得出一般性结论，但在一类足够普遍的环上，${\mathbf{R}}^{\ast }$的构成比较清晰。如果$\mathbf{R}$上任意元素的测度$\mu (E)<\mathrm{\infty }$，则称测度$\mu$是有限的。更广泛地，如果任意元素是可列个测度有限的集之并（$E=\cup E_i,\mu (E_i)<\mathrm{\infty }$），则称测度$\mu$是$\sigma$-有限的。容易证明，如果$\mu$是$\mathbf{R}$上的$\sigma$-有限测度，那么${\mu }^{\ast }$也是${\mathbf{R}}^{\ast }$上的$\sigma$-有限测度。

　　现在来看$\sigma$-有限测度的集类${\mathbf{R}}^{\ast }$的构成，为此先要定义一类特殊的集合。如果$\mu (E)=0$，便称$E\in \mathbf{R}$为$\mu$-零集或零集。如果零集的所有子集都在环中，$\mu$称为完全测度，显然${\mu }^{\ast }$就是${\mathbf{R}}^{\ast }$上的完全测度。如果$E\in {\mathbf{R}}^{\ast }$的测度有限，利用外测度的覆盖定义（加一些数学分析的讨论），可知存在$F\in \mathbf{S}(\mathbf{R})$，使得$F\supseteq E$且${\mu }^{\ast }(F-E)=0$。进而如果${\mu }^{\ast }(E)$是$\sigma$-有限的，也可以证明存在${\mu }^{\ast }(F-E)=0$；甚至对$F-E$使用这个结论后，还可知存在${\mu }^{\ast }(E-F)=0$。

　　所以${\mathbf{R}}^{\ast }$其实就是$\mathbf{S}(\mathbf{R})$增补了所有零集而生成的，可想而知，如果把差集测度等于0的集类看成元素，它们能组成一个“商环”，这个商环才是${\mathbf{R}}^{\ast }$最根本的构成。这时候再看${\mathbf{R}}^{\ast }$的生成以及元素判断，不一定要判断Caratheodory条件，而只需$\mathbf{S}(\mathbf{R})$和$\mu$-零集即可。这一点如果从外集的覆盖性定义考虑，其实不算特别意外。最后还要提醒一点，$\mathbf{S}(\mathbf{R})$只跟$\mathbf{R}$有关，不同的${\mu }^{\ast }$-零集会延拓为不同的${\mathbf{R}}^{\ast }$。

3. Lebesgue测度

　　以上讨论的测度定义在一般集类上，所得结论适用于所有特定的环。实变函数定义在一维实数集$E^1$上，记${\mathbf{R}}_{\mathbf{0}}$是直线上有限的左开右闭区间组成的环，环的元素（区间集）$E$的长度$m(E)$可以视为测度。如果给实数集赋予密度$\rho (x)$，$E$的“重量”$g(E)$也可视为测度，显然$m(E)$是$g(E)$在$\rho =1$时的特例。接下来就把上段的结论对应到${\mathbf{R}}_{\mathbf{0}}$上，注意这里使用了Lebesgue测度的专有名词，以及注意特例中更具体的结论。

　　显然$\mathbf{H}({\mathbf{R}}_{\mathbf{0}})$包含了直线上的所有子集（范围过大），其上可以定义$m,g$的外测度$m^{\ast },g^{\ast }$。继而定义满足式（10）的集合称为Lebesgue可测集（Lebesgue-Stieltjes可测集），或简称L-可测集（L-S可测集），它们的全体记作$\mathbf{L}$（${\mathbf{L}}^{\mathbf{g}}$），它们都是$\sigma$-环，以及都是$\sigma$-有限的完全测度。后面假定总是把${\mathbf{R}}_{\mathbf{0}}$延拓为$\mathbf{L}$，外测度也将不加区分地记作$m$，L-S测度$g$最后会专题讨论。

　　为了弄清$\mathbf{L}$的构成，先要看$\mathbf{S}({\mathbf{R}}_{\mathbf{0}})$包含了哪些集合，它也被称为Borel集，记作$\mathbf{B}$。容易证明，Boral集中包含所有单点集、有限点集、可列点集，且它们的测度均为0；继而可知，Boral集中还包含所有开集，其测度等于所有构成区间的长度和；最后，由于$E^1\in \mathbf{B}$，而闭集是开集的补集，故而所有闭集也都在Boral集中，它们的测度也只需做减法运算。Borel集包含的远不止上面提到的3类典型集合，比如一列开集之交被称为$G_{\delta }$型点集或内限点集，一列闭集之并被称为$F_{\sigma }$型点集或外限点集，它们也都是常用的Borel集。当然，点集、开集、闭集都只是内（外）限点集的特例。

　　根据上段的结论，Borel集增补$m$零集后便能生成$\mathbf{L}$，在这里还有更具体的结论。首先从覆盖的定义出发，容易证明外测度$m(E)$等于所有能覆盖$E$的开集的测度下限。继而如果$E$是L-可测集，利用可分割性可知，对任何$\epsilon >0$总存在开集$O$使得式（11）左成立（需分成$m(E)$有限和无限两种情况）。取$\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{i}}$并设对应的开集为$O_i$，记内限点集$G=\cup O_i$，从式（11）左可知式（11）右成立。另外，因为$E$的补集也是L-可测集，利用式（11）可知，对任何$\epsilon >0$总存在闭集$C$使得式（12）左成立，以及存在外限点集$F$使得式（12）右成立。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& m(O-E)<\epsilon ,E\subseteq O;m(G-E)=0,G\in G_{\delta }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& m(E-C)<\epsilon ,C\subseteq E;m(E-F)=0,F\in F_{\sigma }\end{array}$$

　　关于Borel集的范围和构成，容易知道$\mathbf{B}$的势至少是$\mathrm{\aleph }$，教材上说它的势就是$\mathrm{\aleph }$，这一点暂且留空（超限归纳法）。关于$\mathbf{L}$的势，首先知道它有上限$2^{\mathrm{\aleph }}$（$E^1$的所有子集的势），同时易知康拓尔集$C\in \mathbf{L}$且$\mu (C)=0$，所以$C$的所有子集属于$\mathbf{L}$。从而确定$\mathbf{L}$的势就是$2^{\mathrm{\aleph }}$，它比$\mathbf{B}$要多得多，然而构造不是Borel集的L-可测集绝非易事，请参考资料[2]。

　　最后来讨论个有趣的问题，直线上是否有不是L-可测集的子集呢？这里的构造方法比较巧妙，利用了有理数集的可列性和稠密性，表演了一场“无中生有”的魔法。现在把有理数集$\mathbb{Q}$看成是一个同类集，同类的条件是点之间的距离是有理数，结果直线上的所有点就被分到了若干互斥的同类集$\{Q_r\}$里（$r$为代表元）。注意在任意测度非零的区间上，都有可列个$Q_r$的代表元，比如可以在区间$[0,1]$上为每个$Q_r$选出代表元并组成集$Z$（选择公理）。然后将$[-1,1]$的所有有理数排成数列$\{r_0,r_1,r_2,r_3,\cdots \}$，并考察将$Z$所有元素整体偏移$r_i$之后的集合列$Z_0,Z_1,Z_2,Z_3,\cdots$。假定$\{Z_i\}$都是可测集，易知它们测度相等，不妨记为${\mu }_0$。再由于它们是互斥的，从而并集的测度应当是${\mu }_0\cdot \mathrm{\infty }$，应该是$0$或$\mathrm{\infty }$。然而它们的并集能完整覆盖$[0,1]$但不超过$[-1,2]$，是个有限非零值，这个矛盾就说明$Z$不是L-可测集。