【高等代数】02 - 矩阵的逆和相似矩阵

　　矩阵本质的意义在于线性变换，可以说离开线性变换，矩阵是毫无用处的。而线性变换的基本运算就是加法和乘法，其中对矩阵乘法的研究一直是线性代数中的核心内容。其中包括矩阵的幂次方、矩阵的逆、矩阵的分解，而且它们是互相渗透的。虽然说研究矩阵乘法的目的是线性变换，但乘法本身的性质可以脱离线性变换而讨论，我们将再花两篇的空间来展开阐述。

1. 矩阵的逆

1.1 矩阵的计算

　　一般矩阵的乘法是不可交换的（\(AB\ne BA\)），但在一些特殊情况可以满足交换律，适当地使用交换性将得到很多漂亮的结论。一个典型的代表就是同一个矩阵的幂次\(A^k\)之间是可交换的，这使得对任何多项式\(f(x)\)，\(f(A)\)可以自由使用。这包含两层意思，一个是不管\(f(x)\)写成什么样的因式形式，\(f(A)\)都是相同的；另一个意思是对任何多项式都有\(f(A)g(A)=g(A)f(A)\)，这使得一些复杂表达式的处理更加自由。

 　　另外，证明矩阵可逆和求矩阵的逆，一般使用定义（行列式非零和代数余子式）以及初等变换法。对于一些特殊矩阵，其实可以直接拼凑出\(AB=I\)的形式，这样就得到\(A^{-1}=B\)。在本篇特殊矩阵部分，我们还会碰到这样的例子，这里先举一些普通的例子。比如已知\(A+B=AB\)，则有\(A(B-I)=B\)，两边减去\(I\)整理得\((I-A)(I-B)=I\)，从而\(I-A,I-B\)互为逆矩阵。随之还能得到\((I-B)(I-A)=I\)，展开后有\(A+B=BA\)，从而还能得到\(AB=BA\)。

　　另外前面已经证明\(|I_m-AB|=|I_n-BA|\)，那么如果已经知道\(C=(I_m-AB)^{-1}\)，如何来求\((I_n-BA)^{-1}\)呢？基本思路其实就是拼凑，首先由于\((I_m-AB)C=I\)，为了凑出\(BA\)，现在两边同时乘上\(B\)，整理后得到\(B=(I_n-BA)BC\)。两边同时乘上\(A\)并用\(I_n\)来减，整理后得到\((I_n-BA)(I_n+BCA)=I_n\)，所以有式（1）成立。

\[(I_n-BA)^{-1}=I_n+B(I_m-AB)^{-1}A\tag{1}\]

1.2 广义逆矩阵

　　以前我们简单介绍过广义逆矩阵，这里再稍微细致地讨论一下。在一般矩阵方程\(AX=B\)中，如果\(A\)可逆，则\(X\)完全确定且可以简单地表示出来\(A^{-1}B\)。但\(A\)不可逆时，现在却没有较好的工具描述\(AX=B\)有解的充要条件，并给出解的一般形式。这时我们希望能有类似\(A\)的逆的概念，或者说矩阵的逆进行扩展，下面从方程\(AX=\beta\)的解中寻找广义逆的形式特点。

　　如果\(A\)的秩为\(r\)，则存在可逆矩阵\(P,Q\)使得\(A=P\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}Q\)，带入方程可以得到\(\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}QX=P^{-1}\beta\)。把\(P^{-1}\beta\)分块写成\([Y_r, Z]'\)，方程有解的必要条件是\(Y_r\ne 0, Z=0\)，且这时方程等价于\(QX=[Y_r, W]’\)，其中\(W\)任意。不难看出，\([Y_r,W]'\)其实可以表示为\(\begin{bmatrix}I_r&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Y_r\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_r&B\\C&D\end{bmatrix}P^{-1}\beta\)，其中\(B,D\)任意，而\(CY_r\)要能取遍所有\(W\)。由\(Y_r\ne 0\)可知\(C\)可以任意取，这就得到了式（2）方程的通解，其中\(B,C,D\)任意。

\[AX=\beta\;\Rightarrow\;X=Q^{-1}\begin{bmatrix}I_r&B\\C&D\end{bmatrix}P^{-1}\beta\tag{2}\]

　　可以看出把式（3）做为\(A\)的“逆矩阵”是合理的，它被称为\(A\)的广义逆矩阵，记作\(A^-\)。\(A^-\)虽然没有一般逆矩阵的所有性质，但也有个别性质和逆矩阵很像，比如这里的方程解。再比如有等式\(AA^-A=A\)，其实如果有\(ABA=A\)，利用\(A=P\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}Q\)，不难推到\(B=A^-\)，故\(A^-\)有式（4）的等价定义。

\[A=P\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}Q\;\Rightarrow\;A^-=Q^{-1}\begin{bmatrix}I_r&B\\C&D\end{bmatrix}P^{-1}\tag{3}\]

\[B=A^-\;\Leftrightarrow\;ABA=A\tag{4}\]

　　现在我们回到方程，还有一个问题没有解决，就是只用\(A,\beta\)来描述方程有解的充要条件。首先方程有解时，\(\beta=AX=AA^-\beta\)，反之当\(AA^-\beta=\beta\)时，方程显然有解\(A^-\beta\)。故方程\(AX=\beta\)有解的充要条件是\(AA^-\beta=\beta\)。以上通解形式只是理论结果，在使用过程中很不方便，我们需要寻找别的表示方法。当得到一个特解\(A^-\beta\)后（\(A^-\)取一特定值），只需求解其次方程\(AX=0\)。首先不难构造出解\((I-A^-A)W\)，其次对于如何解都有\((I-A^-A)X=X\)，从而\((I-A^-A)W\)是\(AX=0\)的通解，最终便有了\(AX=\beta\)的通解式（5），其中\(W\)为任意\(n\)维向量。

\[AX=\beta\;\Rightarrow\;X=A^-\beta+(I_n-A^-A)W\tag{5}\]

　　广义逆矩阵可以运用在更多的矩阵方程中，构造法往往是求得通解的方法，教材上有具体的例子。现在来看一个判断广义逆的秩方法，使用的是式（6）的秩关系式，先用Sylvester秩不等式得到\(\geqslant\)，再由变换\(\begin{bmatrix}A&0\\0&I-BA\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}A-ABA&0\\BA&I\end{bmatrix}\)可以得到\(\leqslant\)。\(B=A^-\)等价于\(A=ABA\)，而由式（6）就知道这等价于式（7）右，它便是我们要说的秩判别法。

\[\text{rank}(A-ABA)=\text{rank}(A)+\text{rank}(I-BA)-n\tag{6}\]

\[B=A^-\;\Leftrightarrow\;\text{rank}(A)+\text{rank}(I-BA)=n\tag{7}\]

1.3 Moose-Penrose广义逆

　　广义逆矩阵可能不唯一，而且也没有很多简单的性质，甚至连基本的对称性都不满足。那么在众多广义逆矩阵里，有没有更加独特的哪一个呢？既然有\(AXA=A\)，至少还应该有\(XAX=X\)吧，乘积\(A^-A,AA^-\)虽然不是单位矩阵，但至少是对称的吧。满足式（8）右的矩阵便称为Moose-Penrose广义逆，记作\(A^+\)。先来看\(A^+\)是否存在，当\(A=0\)时，容易知道有唯一解\(A^+=0\)。当\(A\ne 0\)时，设\(A=BC\)，其中\(B,C\)分别列、行满秩。可以验证式（9）右满足条件，并且讨论式（10）还能论证唯一性。

\[B=A^+\;\Leftrightarrow\;ABA=A, BAB=B,(\overline{BA})'=BA, (\overline{AB})'=AB\tag{8}\]

\[A=BC\;\;\Rightarrow\;\;A^+=C^R(CC^R)^{-1}(C^RB)^{-1}B^R, \;(X^R=\bar{X}')\tag{9}\]

\[X_1=X_1AX_1=X_1(AX_2)(AX_1)=X_1(AX_1AX_2)^R=X_1X_2^RA^R=X_1AX_2\tag{10}\]

　　自然由对称性可知\((A^+)^+=A\)，但却不能如愿地得到\((AB)^+=B^+A^+\)。还需要添加一些条件，比如令\(A,B\)分别为列、行满秩矩阵，则有\(A=AI,B=IB\)。由式（9）知\(A^+=(A^RA)^{-1}A^R,B^+=B^R(BB^R)^{-1}\)，然后就容易验证得到式（11）。

\[\text{rank}(A_{m\times n})=n,\,\text{rank}(B_{n\times m})=n\;\Rightarrow\;(AB)^+=B^+A^+\tag{11}\]

2. 线性变换

2.1 相似变换

　　我们知道，一个线性变换等价于一类矩阵，这类矩阵称为相似的，并且它们之间有相似变换\(B=P^{-1}AP\)。为了找到线性变换的根本特性，就需要找到这类矩阵的相似不变量，用尽量少而简单的特征来区分和刻画不同的线性变换。这个问题在复空间上得到完满解决，Jordan标准型给出了独一无二的刻画方法。在其它数域上，标准型经常无法给出，我们转而研究可对角化的线性变换，它们有着更加实用的形式。

　　相似变换的不变量有很多，其中有个不显眼但却很有趣的量，就是矩阵对角线之和\(\text{tr}(A)\)，它也称为方阵的迹。迹有个很重要的结论，就是式（12）左的交换乘积顺序不变性，并由此能轻松推到式（12）右的相似不变性。这个特点在有些场合有助于判断矩阵的性质，比如如果\(AB-BA=A\)，则可以判断\(A\)不可逆，否则就有\(ABA^{-1}-B=I\)，而两边的迹显然不相等。

\[\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\;\Rightarrow\;\text{tr}(P^{-1}AP)=\text{tr}(A)\tag{12}\]

2.2 特征值和特征多项式

　　当然，相似变换的最重要的不变量还是特征值（或特征多项式），它们也是矩阵对角化的主角，特征多项式是指行列式\(|\lambda I-A|\)。利用行列式的性质，可以将它按行（或列）拆成\(2^n\)个行列式之和，其中每个行列式的第\(i\)行取自\(\lambda I\)或\(-A\)。从而每个行列式都是单项式\(a\lambda^k\)，其中\(k\)等同于行列式取自\(\lambda I\)的行的个数，\(a\)则是\(-A\)剩下的主子式。这就是说特征多项式的\(\lambda^k\)系数就是\(-A\)所有\(n-k\)阶主子式之和，特别地，\(\lambda^{n-1}\)的系数是\(-\text{tr}(A)\)，常数项则是\((-1)^{n}|A|\)。

　　由于方阵是否可逆等价于\(|A|\)是否为\(0\)，这就说明了方阵可逆的充要条件是它没有特征值\(0\)。而对可逆矩阵，由\(A\alpha=\lambda\alpha\)可知\(\lambda^{-1}\alpha=A^{-1}\alpha\)，从而可逆矩阵与它的逆有相同的特征向量，且对应的特征值为其倒数。还有一个浅显的结论是，如果\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则显然\(\lambda^k\)是\(A^k\)的特征值，而\(f(\lambda)\)是\(f(A)\)的特征值。

　　反过来还可以证明，\(f(\lambda)\)便是\(f(A)\)的所有特征值。为此先设\(A\)的\(n\)个特征值为\(\lambda_i\)（包括重根），再设任意\(m\)次首\(1\)多项式\(g(x)\)的\(m\)个根为\(\mu_j\)（包括重根），不难得到式（13）的推导。从而直接有\(|\lambda I-f(A)|=\prod(\lambda-f(\lambda_i))\)，所以\(f(A)\)的所有特征值就是\(f(\lambda_i)\)，结论得证。

\[|g(A)|=\prod_{j=1}^m|A-\mu_jI|=\prod_{j=1}^m\prod_{i=1}^n(\lambda_i-\mu_j) =\prod_{i=1}^ng(\lambda_i)\tag{13}\]

　　当然也不是所有特征值都是要解特征多项式，对于一些特殊矩阵，充分利用它的特点，也可以很快计算出特征值，这里仅举两例。正交矩阵是指满足\(A'A=I\)的方阵，从而有\(A^{-1}=A'\)以及\(AA'=I\)，也就是说它的每行（列）的范数为\(1\)且互相正交。假设\(A\alpha=\lambda\alpha\)，考察\(C=(A\alpha)'A\alpha\)，首先有\(C=\alpha'A'A\alpha=|\alpha|^2\)，还可以有\((\lambda\alpha)'(\lambda\alpha)=\lambda^2|\alpha|^2\)，从而得到\(\lambda=\pm 1\)。另外容易有\(|A|=\pm 1\)，而所有特征值的积为\(|A|\)，故当\(|A|=-1\)时它必有特征值\(-1\)，当\(|A|=1\)且阶为奇数时必有特征值\(1\)。

　　再来看一下\(AB,BA\)特征值的关系，由等式\(|I_m-AB|=|I_n-BA|\)不难推导出式（14）。这就是说\(AB,BA\)完全相同的特征值和重数（\(0\)除外），且\(0\)特征值的重数相差\(|m-n|\)，当\(A,B\)为方阵时它们有相同的特征值和重数。另外如果\(\alpha\)是\(AB\)的特征向量，则有\(AB\alpha=\lambda\alpha\)，两边乘上\(B\)有\(BA(B\alpha)=\lambda(B\alpha)\)，从而\(B\alpha\)是\(BA\)同一特征值下的特征向量。

\[\lambda^n|\lambda I_m-AB|=\lambda^m|\lambda I_n-BA|\tag{14}\]

　　最后我们来一个简单的特征值的估算方法，先假设\(A\alpha=\lambda\alpha\)，其中\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\)。假设\(\{|a_i|\}\)的最大值为\(|a_k|\)，则考察\(A\alpha=\lambda\alpha\)的第\(k\)个元素，整理后不难有估计式（15）。对于\(A\)的每一行（列），式（15）的取值范围也被称为Gersgorin圆盘，从而任何特征值一定在某个圆盘中。有时把\(A\)的复特征值集合称为\(A\)的谱，而特征值模的最大值称为\(A\)谱半径\(S_r(A)\)，利用公式（15）容易得到式（16）。

\[|\lambda-a_{kk}|\leqslant\sum_{j\ne k}|a_{kj}|\tag{15}\]

\[S_r(A)\leqslant\max\sum_j|a_{ij}|;\;\;S_r(A)\leqslant\max\sum_i|a_{ij}|\tag{16}\]

2.3 对角化和实对称矩阵

　　再来回到相似对角化上来，我们知道矩阵可相似对角化的充要条件是：所有特征向量空间的秩和为\(n\)。这个判断方法使用起来比较麻烦，倒是很多充分条件判断起来更容易且更实用，比如特征值互不相同，再比如实对称矩阵等。可对角化的矩阵对于计算非常有利，尤其是计算矩阵的幂\(A^m\)，可以直接得到结果\(P^{-1}D^mP\)。

　　• 求证：（1）如果\(A\sim B\)，则\(A^*\sim B^*\)；（2）如果\(A\)可对角化，则\(A^*\)也可以对角化，并求对角元。

　　实对称矩阵是很常见的一种矩阵，它在线性代数中也占据了十分重要的地位，它的最大特点就是可以正交对角化（以下来证明）。设\(\lambda,\alpha\)是实对称矩阵\(A\)的特征值、特征向量，则易知\(\bar{\lambda},\bar{\alpha}\)也是\(A\)的特征值、特征向量。由于\(A=A'\)，从两个角度考察\(\alpha'A\bar{\alpha}\)，分别得到\(\lambda|\alpha|^2,\bar{\lambda}|\alpha|^2\)，从而得到\(\lambda=\bar{\lambda}\)，得到\(\lambda\)是实数。从而实对称矩阵的（复）特征值、特征向量都是实数，任何实对称矩阵都至少有一个特征值\(\lambda\)和特征向量\(\alpha\)。

　　• 求证：反对称实矩阵的特征值为纯虚数。

　　将特征向量\(\alpha\)扩展为一组正交基并组成正交矩阵\(T_0\)，不难证明\(T^{-1}_0AT_0\)具有形式\(\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&B\end{bmatrix}\)，且\(B\)还是实对称矩阵。利用归纳法容易证明，存在正交矩阵\(T\)使得\(A=T^{-1}DT\)，其中\(D=\text{diag}\{\lambda_i\}\)。这就是说，实对称矩阵（正交）相似于对角矩阵，且不难证明所有特征值是实对称矩阵的完全不变量。结论在另一方面还说明，实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交。这个结论其实也可以直接证明。比如从两个角度考察\(\alpha'_1A\alpha_2\)，分别得到\(\lambda_1(\alpha_1,\alpha_2),\lambda_2(\alpha_1,\alpha_2)\)，从而\(\lambda_1\ne\lambda_2\)时必然有\((\alpha_1,\alpha_2)=0\)。

　　实对称矩阵的正交可对角化是个非常重要的结论，后面的二次型中还会讨论到，这里先举个典型的例子。同样设\(A=T^{-1}DT\)，考察\(\alpha'A\alpha\)，并记\(T\alpha=[b_1,\cdots,b_n]'\)，则容易有式（17）的推导（其中\(\lambda_1,\lambda_n\)分别是\(A\)的最小和最大特征值）。这样就得到了式（18）左的估计式，特别地取\(\alpha\)为第\(i\)位为\(1\)、其它位为\(0\)的向量，还能得到式（18）右的估计式。

\[\alpha'A\alpha=\sum_{i=1}^n\lambda_ib_i^2\in[\lambda_1|T\alpha|^2,\lambda_n|T\alpha|^2]=[\lambda_1,\lambda_n]|\alpha|^2\tag{17}\]

\[\lambda_1\leqslant\dfrac{\alpha'A\alpha}{|\alpha|^2}\leqslant\lambda_n;\;\;\;\lambda_1\leqslant a_{ii}\leqslant\lambda_n\tag{18}\]

　　最后来看一个有趣的应用，Fibonacci数列大家都不陌生，它的递推式为\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)。如果记\(\alpha_n=[a_{n+1}, a_n]'\)，则递推式可以写成\(\alpha_{n+1}=A\alpha_n\)，其中\(A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\)。求得\(A\)的特征值后便可以有对角化分解\(A=P^{-1}DP\)，其中\(P=\begin{bmatrix}\lambda_1&\lambda_2\\1&1\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}\lambda_1&\\&\lambda_2\end{bmatrix}\)。另外由递推式可知\(\alpha_n=A^n\alpha_0\)，这样就能得到\(a_n\)的通项公式。

3. 特殊矩阵

　　具有特殊形式或性质的矩阵，在矩阵运算中和分析中具有很重要的作用。当然特殊矩阵的概念很宽泛，包括可逆矩阵、三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵、正交矩阵等都可以称为特殊矩阵。这里先列举几个与本篇内容相关的特殊矩阵，一是为了综合运用上面的知识，二是这些矩阵的确有自己的独特性质。下一篇中的矩阵分解中，我们将继续讨论特殊矩阵的特点和应用。

3.1 幂零矩阵

　　如果存在正整数\(k\)使得\(A^k=0\)，这样的方阵\(A\)称为幂零矩阵，它的典型代表就是式（19）左的对角线为\(0\)的上三角矩阵\(A\)，\(A^i\)只有右上角的\(n-i\)条次对角线非零，并且\(A^n=0\)。其中更特殊的就是式（19）右的矩阵，它只有上次对角线全为\(1\)的（其它为\(0\)），易知\(A^i\)只有第\(i\)条上次对角线全为\(1\)（其它为\(0\)）。

\[\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\&\ddots&\ddots&\vdots\\&&\ddots&a_{(n-1)n}\\&&&0\end{bmatrix};\;\;\begin{bmatrix}0&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&0\end{bmatrix}\tag{19}\]

　　利用式（20）我们就容易知道，\(I-aA\)和\(\sum\limits_{i=1}^{n-1}a^{i}A^i\)都是可逆矩阵，且互相为对方的逆矩阵。这就为求一类矩阵的逆提供了快捷的结论，而\(a=\pm 1\)时的结论比较常用。这种方法同样适用于全\(1\)矩阵\(J_n\)，它是一个所有元素都为\(1\)的方阵，它的典型特点是\(J^2=nJ\)。利用利用这个等式和方程思想，便可以计算一些矩阵的逆。比如要求\(I+J\)的逆，可以直接假设\((I+J)(I+xJ)=I\)，然后解得\(x=-1/(n+1)\)。

\[(I-aA)(I+aA+a^2A^2+\cdots+a^{n-1}A^{n-1})=I-a^nA^n=I\tag{20}\]

3.2 幂等矩阵

　　幂等矩阵就是满足\(A^2=A\)的方阵，由定义显然有\(A(I-A)=0\)，从这个平淡无奇的式子里能得到什么呢？令\(B=I-A\)，由对称性知\(B\)也是幂等矩阵，且\(A+B=I\)。首先由\(AB=0\)知\(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)\leqslant n\)，另外还有\(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)\geqslant \text{rank}(A+B)=n\)，从而得到\(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)=n\)。反之如果\(A+B=I\)且\(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)=\text{rank}(A+B)\)，由Sylvester秩不等式便有\(\text{rank}(AB)=0\)，从而得到\(A,B\)都是幂等矩阵。

　　这个结论其实可以得到很好的扩展，更一般地，设方阵满足\(A=A_1+\cdots+A_s\)。以下看三个条件：（I）\(A_i\)都为幂等矩阵，且\(i\ne j\)时有\(A_iA_j=0\)；（II）\(A\)为幂等矩阵；（III）\(\sum\text{rank}(A_i)=\text{rank}(A)\)。其中条件（II）等价于（II'）\(\text{rank}(A)+\text{rank}(I-A)=n\)，下面来寻找条件（I）的等价条件。令\(D=\text{diag}\{A_1,\cdots,A_s\}\)，再令\(K\)是\(s\times s\)个\(I\)组成的分块矩阵，则不难发现条件（I）等价于是说：\(K\)是\(D\)的广义逆。

　　利用公式（7）知它等价于\(\text{rank}(D)+\text{rank}(I-KD)=ns\)，对\(I-KD\)进行初等变换可以得到\(\text{diag}\{I-A,I,\cdots,I\}\)，从而有\(\text{rank}(I-KD)=n(s-1)+\text{rank}(I-A)\)。注意到\(\text{rank}(D)=\sum\text{rank}(A_i)\)，这时（I）的等价条件变为（I'）\(\sum\text{rank}(A_i)=n-\text{rank}(I-A)\)。现在看条件（I'）（II'）（III），其中任意两者都可以推导出第三者，这个结论对条件（I）（II）（III）当然也是成立的。

　　另外对于特征值\(\lambda\)和特征向量\(\alpha\)，由于\(A^2\alpha=A\alpha\)得到\(\lambda^2\alpha=\lambda\alpha\)，从而\(A\)只有特征值\(1,0\)。特征值\(0\)的特征空间就是\((0-A)X=0\)的解空间，它的秩为\(n-r\)，其中\(r\)为\(A\)的秩。特征值\(1\)的特征空间是\((I-A)X=0\)的解空间，由于\(I-A\)的秩为\(n-r\)，故解空间的秩为\(r\)。这样两个特征空间的秩和为\(n\)，故幂等矩阵能相似对角化，且对角矩阵为\(\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}\)。由于迹的不变性，反之能得到任何幂等矩阵的秩为\(\text{tr}(A)\)，这非常便于计算。比如以上条件（II）如果加上“\(A_i\)都是幂等的”，则直接得到条件（III），从而可知条件（I）成立。

　　上段的讨论还说明，幂等矩阵本质上就是特征值1的特征空间上的投影变换。设幂等矩阵\(A,B\)本质上分别是投影变换\(P_U,P_W\)，如果还有条件\(AB=0\)，用反正法可知\(U,W\)交集为空，从而他们线性无关。这样不仅有\(BA=0\)，还有\(A+B\)也是幂等变换，而且是在\(U+W\)上的投影。

3.3 位移矩阵

　　位移矩阵是指矩阵\(S_n=\begin{bmatrix}0&I_{n-1}\\1&0\end{bmatrix}\)，当它左乘矩阵\(A\)时，相当于把\(A\)循环上移一行，当它右乘矩阵\(A\)时，相当于\(A\)循环右移一列。\(S_n\)是一个特殊的正交矩阵，它的逆显然是\(\begin{bmatrix}0&1\\I_{n-1}&0\end{bmatrix}\)，\(S_n^{-1}\)的作用与\(S_n\)恰好相反。容易算得\(S_n\)的特征多项式为\(\lambda^n-1\)，故它的特征值是所有单位复数\(\omega^i\)，由\(S_n\)的循环特性不难构造出\(\omega^i\)的特征向量\([1,\omega^i,\cdots,\omega^{(n-1)i}]'\)。这样就有\(S_n=P^{-1}DP\)，其中\(D=\text{diag}\{1,\omega,\cdots,\omega^{n-1}\}\)，且\(P=\{\omega^{ij}\}\)。

　　第一篇中我们碰到过循环矩阵\(C_n\)，观察\(S_n^k\)的形式特点，不难得到式（21）。从而\(C_n\)的\(n\)个特征值为\(f(\omega^i)\)，且和\(S_n\)有相同的特征向量\(P\)，这样就可以把\(C_n\)写成\(P^{-1}D'P\)，其中\(D'=\{f(\omega^i)\}\)。这样就不难算得\(|C_n|=|D'|=\prod f(\omega^i)\)，和前一篇的结论是一样的，但思路却更加自然。

\[C_n=f(S_n)=a_1I_n+a_2S_n+a_3S_n^2+\cdots+a_nS_n^{n-1}\tag{21}\]