【高等代数】01 - 行列式和矩阵的秩
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高等代数究竟应该包含哪些内容?从名字上看它应当包含代数学中的所有高等内容。但一般来讲,这里的“高等”只是相对中学的“初等”而言的,它包含线性代数、多项式等内容。抽象代数这样的“高级”分支比它更抽象,需要独立分支去讨论。前面我们已经学习过线性代数,请先回顾一下该课程。首先要清楚,线性代数的三大内容:线性空间、线性变换、线性函数(向量的度量)。线性空间的概念之前已经阐述得比较完备了,这里只强调一点:我们说的向量是一种代数结构,而非特指坐标向量,虽然通过映射可以将它们等价起来。
之前的线性代数课程更偏重概念的阐述和结构的搭建,而忽略了一些具体的例子和方法。这里我想先花一些篇幅,整理一下教材中经常出现的好的问题,以及一些有趣的结论。这些问题将以不同的课题进行组织,其中会穿插不同的知识点。它们不光在现实场景中有着广泛的应用,对这些典型问题的思考,也非常有助于理解基本概念。为了保持概念的连续性,这里还是会重复提出已经熟知的概念,既是回顾也是扩展。
1. 行列式
线性空间的一个基本问题就是解线性方程组,这其中需要用到一个叫行列式的东西。不要忘记,行列式本质上是一个
行列式是相对独立的内容,计算时有很多技巧,这里再搜集一些常见的题型。除了定义之外,之前我们还介绍了几种常用方法,比如基本变换法、拉普拉斯定理(按行展开)、加边法、待定系数法、递推方程法、矩阵分解法等。这里再具体看一些例子和方法,来丰富之前行列式的内容。还有更多特殊行列式的计算方法,会在相关的主题中继续讨论。
1.1 一般方法
首先计算时不能完全忘记最原始的定义,就是所有代表元素的乘积之和。例如对于元素全为
初等变换一直是行列式计算最重要的方法,而矩阵的分块变换对复杂表达式的行列式更是提供了便捷的途径。最简单就数式(2)左的变换,它用最直观的方法证明了
用
还有,通过式(5)的两种变换,可以得到重要的结论(6)。所以对于具有形式
1.2 其它方法
递推法是计算行列式的常用方法,比如式(8)左的三对角型
矩阵分解法的代表是如式(9)左的循环矩阵
我还看到过行列式的一个有趣应用,就是利用行列式的初等变换来进行因式分解。比如很容易知道式(11)左可以写成式中的行列式,简单的初等变换就能得到因子
2. 矩阵的秩
2.1 一般方法
解线性方程组衍生出的另一个问题就是矩阵和它的秩,但这里矩阵的作用也仅仅是一种记法,可以讨论的也只有行向量和列向量。这里最重要的结论当然就是:矩阵的行秩和列秩相同,它们统称为矩阵的秩。现在设矩阵
线性相关性是秩的根本意义,这个简单的认知却是很多结论的关键,由此得到的式(12)(13)以后会经常用到。另外假设
• 求证:
和行列式一样,初等变换是判断矩阵秩的基本方法,其中分块初等变换同样能带来惊喜的结论。比如由(2)的变换,容易得到式(14)的Sylvester秩不等式。类似地由变换
2.2 其它方法
我们知道,矩阵的乘法其实就是多组线性表示,也许乘法的秩和线性方程组能建立起联系。首先把
等价的方程组形式并不是什么特殊的结论,但对于描述论证更加方便。比如如果
利用线性方程讨论矩阵的秩,还有一个非常特殊的例子。先看实系数方程
最后来考察对角占优矩阵
【前序学科】 线性代数,微积分,抽象代数
【参考资料】
[1] 《高等代数(上、下)》,丘维声,2010
这部上下分册的高等代数可谓国内最经典的教材之一,上册基本涵盖了线性代数的内容,下册则引入了更多抽象和理论的东西。通篇题材广泛,例题和习题都十分丰富和具有启发性。
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